函数的极值教案
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3、观察图1，极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？
注意：驻点不一定是极值点，例如函数 的驻点 就不是极值点．定理1表明，对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点．根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点．由此我们得到下面的定理
定理2（极值的第一充分条件）设函数 在点 处连续，且在点 的某一邻域 （点 可除外）内具有导数，对于 ，
（1）若当 时， ，当 ， ，则 是函数 的极大值；
（2）若当 时， ，当 ， ，则 是函数 的极小值；
（3）若在 两侧， 的符号相同，则 不是 的极值．
分析：显然（1）与（2）的证明是类似的．由于证明极值是比较 处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明．
例2求函数 的极值．
解该函数的定义域为 ．
当 时， ；当 时， 不存在．
当 时， ；当 时， ，又 在 处连续，所以 是函数 的极大值点，极大值为 ．
注意：以上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函数在驻点处是取得极大值还是极小值．
第一充分条件15分钟
第二充分条件15分钟
极值求法应用举例20分钟
小结、巩固练习15分钟
参考书目
1、《高等数学》辽宁省师范院校初等教育专业教材．
2、《高等数学》同济大学第五版．
四、课堂小结
1、函数极值的概念．
2、函数存在极值的必要条件．
3、函数存在极值的充分条件．
4、求函数极值的方法．
五、思考题
1、证明：定理2（第一充分条件）的（2）、（3）结论．
2、求函数 的极值．
3、试证明：如果函数 满足条件 ，那么函数没有极值．
主要内容与时间分配（大约）
极值的概念 10分钟
极值的必要条件15分钟
3、函数的极值点一定出现在区间内部．
（二）、函数存在极值的必要条件
观察图1，极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？
定理1﹙极值的必要条件﹚设函数 在 处可导，且在 处取得极值，则一定有 ．
分析：我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引理的内容．
定理3表明，如果函数 在其驻点 处的二阶导数 ，则驻点 一定是函数 的极值点．
注意：如果 ，就不能用定理3来判断 是否为极值点．事实上，当 ， ， 在 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值．例如 ， ， ，这三个函数就分别属于这三种情况。所以，当函数在驻点处的二阶导数为零时，只能用定理2来判断，即：由驻点左右两侧一阶导数的符号来判断．
一、复习导入
上节课我们应用导数来研究了函数的单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．即
设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导．
（1）如果在 内 ，则 在 上单调增加；
（2）如果在 内 ，则 在 上单调减少．
观察下面函数的图像：
图1
函数值 与函数 在点 附近的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在 、 、 与 点处的情况如何呢？
应用举例：
例3求函数 的极值．
解： ．
令 ，得 ， ， ．
．
因 ，所以 在 处取得极小值，极小值为 ．
又 ，此时定理3失效，仍用定理2来判断．
当 时， ；当 时， ，所以 在 处没有极值．同理， 在 处没有极值．
三、巩固练习
P167习题6．2
1、求下列函数的极值
（1） （2）
2、 为何值时，函数 在 取得极值，它是极大值还是极小值，求此极值．
教 案
编号：1号
课程名称：高等数学编写时间：
授课章节
§6.2函数的极值及其求法
目的要求
１、掌握函数极值的概念和函数极值存在的必要条件和两个充分条件．
2、根据相关知识点会求某些函数的极值．
3、通过本节课的学习，使学生领悟局部与整体的辩证关系．
重点难点
1、极值的必要、充分条件．
2、函数极值的求法的理解与掌握．
证明：设 为极大值（ 为极小值时可类似证明）．
根据极值的定义，对于 ，恒有 ，于是
当 ， ，故 ．
当 ， ，故 ．
从而， ．
（三）、函数存在极值的充分条件
定义2使导数 的点称为函数的驻点（稳定点）．
定理1表明：可导函数的极值点必定是驻点。
讨论：1、函数的驻点一定是极值点吗？
2、函数的导数不存在的点可能是极值点吗？
定理3﹙极值的第二充分条件﹚设函数 在点 处具有二阶导数，且 ， ，则
（1）当 时，函数 在点 处取得极大值；
（2）当 时，函数 在点 处取得极小值．
证明只证情形⑴，情形⑵的证明是类似的．
由导数的定义及 和 ，得
根据函数极限的局部保号性定理，对于 ，有 ．
因此，当 时， ；当 ， ．
根据定理2，函数 在点 处取得极大值．
问题：根据定理2能否寻求到求函数极值的方法？
求极值的步骤：
(1)求出导数 ；
(2)求出 的全部驻点和不可导点；
(3)根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
(4)求出各极值点处的函数值,就得到函数 的全部极值．
应用举例：
例1求函数 的极值．
解该函数的定义域为 ．
二、探究新课
（一）、函数极值的定义
定义1设函数 在点 的某一邻域 内有定义，如果对于去心邻域 内的任一 ，都有
（或 ）
则称函数值 是函数 的一个极大值（或极小值）．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．
对极值定义的理解：
1、函数的极大值、极小值概念是局部性的概念．
2、函数的极大值不一定比极小值大．
令 ，得驻点 ， ．驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：
-1
3
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，函数 在 处取得极大值，极大值为 ；在 处取得极小值，极小值为 ．
上述有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数，再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了．但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：
证明：仅证⑴，设 为 内任意一点，根据拉格朗日（Lagrange）中值定理得
．
由（1）的条件可知：
当 时， ，所以 ，所以 ；当 ， ，所以 ，所以 ．
对于 内任意一点 ，都有 ．根据极值的定义知 是函数 的极大值．
（2）、（3）的证明是类似的，建议学生给出．
定理2表明：如果在点 两侧的导数符号相反， 就一定是极值点，如果在点 两侧的导数符号相同，则 就一定不是极值点．
注意：驻点不一定是极值点，例如函数 的驻点 就不是极值点．定理1表明，对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点．根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点．由此我们得到下面的定理
定理2（极值的第一充分条件）设函数 在点 处连续，且在点 的某一邻域 （点 可除外）内具有导数，对于 ，
（1）若当 时， ，当 ， ，则 是函数 的极大值；
（2）若当 时， ，当 ， ，则 是函数 的极小值；
（3）若在 两侧， 的符号相同，则 不是 的极值．
分析：显然（1）与（2）的证明是类似的．由于证明极值是比较 处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明．
例2求函数 的极值．
解该函数的定义域为 ．
当 时， ；当 时， 不存在．
当 时， ；当 时， ，又 在 处连续，所以 是函数 的极大值点，极大值为 ．
注意：以上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函数在驻点处是取得极大值还是极小值．
第一充分条件15分钟
第二充分条件15分钟
极值求法应用举例20分钟
小结、巩固练习15分钟
参考书目
1、《高等数学》辽宁省师范院校初等教育专业教材．
2、《高等数学》同济大学第五版．
四、课堂小结
1、函数极值的概念．
2、函数存在极值的必要条件．
3、函数存在极值的充分条件．
4、求函数极值的方法．
五、思考题
1、证明：定理2（第一充分条件）的（2）、（3）结论．
2、求函数 的极值．
3、试证明：如果函数 满足条件 ，那么函数没有极值．
主要内容与时间分配（大约）
极值的概念 10分钟
极值的必要条件15分钟
3、函数的极值点一定出现在区间内部．
（二）、函数存在极值的必要条件
观察图1，极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？
定理1﹙极值的必要条件﹚设函数 在 处可导，且在 处取得极值，则一定有 ．
分析：我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引理的内容．
定理3表明，如果函数 在其驻点 处的二阶导数 ，则驻点 一定是函数 的极值点．
注意：如果 ，就不能用定理3来判断 是否为极值点．事实上，当 ， ， 在 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值．例如 ， ， ，这三个函数就分别属于这三种情况。所以，当函数在驻点处的二阶导数为零时，只能用定理2来判断，即：由驻点左右两侧一阶导数的符号来判断．
一、复习导入
上节课我们应用导数来研究了函数的单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．即
设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导．
（1）如果在 内 ，则 在 上单调增加；
（2）如果在 内 ，则 在 上单调减少．
观察下面函数的图像：
图1
函数值 与函数 在点 附近的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在 、 、 与 点处的情况如何呢？
应用举例：
例3求函数 的极值．
解： ．
令 ，得 ， ， ．
．
因 ，所以 在 处取得极小值，极小值为 ．
又 ，此时定理3失效，仍用定理2来判断．
当 时， ；当 时， ，所以 在 处没有极值．同理， 在 处没有极值．
三、巩固练习
P167习题6．2
1、求下列函数的极值
（1） （2）
2、 为何值时，函数 在 取得极值，它是极大值还是极小值，求此极值．
教 案
编号：1号
课程名称：高等数学编写时间：
授课章节
§6.2函数的极值及其求法
目的要求
１、掌握函数极值的概念和函数极值存在的必要条件和两个充分条件．
2、根据相关知识点会求某些函数的极值．
3、通过本节课的学习，使学生领悟局部与整体的辩证关系．
重点难点
1、极值的必要、充分条件．
2、函数极值的求法的理解与掌握．
证明：设 为极大值（ 为极小值时可类似证明）．
根据极值的定义，对于 ，恒有 ，于是
当 ， ，故 ．
当 ， ，故 ．
从而， ．
（三）、函数存在极值的充分条件
定义2使导数 的点称为函数的驻点（稳定点）．
定理1表明：可导函数的极值点必定是驻点。
讨论：1、函数的驻点一定是极值点吗？
2、函数的导数不存在的点可能是极值点吗？
定理3﹙极值的第二充分条件﹚设函数 在点 处具有二阶导数，且 ， ，则
（1）当 时，函数 在点 处取得极大值；
（2）当 时，函数 在点 处取得极小值．
证明只证情形⑴，情形⑵的证明是类似的．
由导数的定义及 和 ，得
根据函数极限的局部保号性定理，对于 ，有 ．
因此，当 时， ；当 ， ．
根据定理2，函数 在点 处取得极大值．
问题：根据定理2能否寻求到求函数极值的方法？
求极值的步骤：
(1)求出导数 ；
(2)求出 的全部驻点和不可导点；
(3)根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
(4)求出各极值点处的函数值,就得到函数 的全部极值．
应用举例：
例1求函数 的极值．
解该函数的定义域为 ．
二、探究新课
（一）、函数极值的定义
定义1设函数 在点 的某一邻域 内有定义，如果对于去心邻域 内的任一 ，都有
（或 ）
则称函数值 是函数 的一个极大值（或极小值）．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．
对极值定义的理解：
1、函数的极大值、极小值概念是局部性的概念．
2、函数的极大值不一定比极小值大．
令 ，得驻点 ， ．驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：
-1
3
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
由表可知，函数 在 处取得极大值，极大值为 ；在 处取得极小值，极小值为 ．
上述有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数，再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了．但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：
证明：仅证⑴，设 为 内任意一点，根据拉格朗日（Lagrange）中值定理得
．
由（1）的条件可知：
当 时， ，所以 ，所以 ；当 ， ，所以 ，所以 ．
对于 内任意一点 ，都有 ．根据极值的定义知 是函数 的极大值．
（2）、（3）的证明是类似的，建议学生给出．
定理2表明：如果在点 两侧的导数符号相反， 就一定是极值点，如果在点 两侧的导数符号相同，则 就一定不是极值点．