自动控制原理之非线性系统和离散系统

自动控制原理

一、 非线性系统

1、按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于0时，系统处于平衡状态。

2、自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。

3、描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。

对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。

4、奇点定义

以微分方程()x x f x ,=表示的二阶系统，其相轨迹每点切线的斜率为()x

x x f dx x d ,=，若

在某点处()x

x f ,和x 同时为0，即有0

0=dx x

d 的不定形式，则称该点为相平面的奇点。

5、相平面的奇点亦称为平衡点，奇点必与x 轴相交。

6、奇线

奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。最常见的奇线就是极限环。

极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。极限环是非线性系统特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统能量做交替变化。由此就有可能从某种非周期性的能源中获取能量从而维持周期运动。

7、描述函数法的基本思想

当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。

8、描述函数的定义

设非线性环节输入输出描述为()x f y =，当非线性环节输入为()t A t x ωsin =时，可对非线性环节的稳态输出()t y 进行谐波分析。一般情况下()t y 为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数()()()∑∑∞

=∞

=++=++

=1

01

0sin sin cos n n n n n n

t n Y A t n B t n A

A t y ϕωωω，

其中0A 为直流分量；()n n t n Y ϕω+sin 为第

n 次谐波分量，且有

n

n

n n

n n B A B A Y arctan

2

2=+=ϕ，式中n n B A ，为傅里叶系数，用下式描述 ()()()

()t

d t y A n t td n t y B t

td n t y A n n ωπ

ωωπ

ωωπ

π

π

π

⎰⎰⎰=

==

=

20

020

20

212,1sin 1

cos 1

若00=A ，且当n>1时，n Y 均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：()()1111sin sin cos ϕωωω+=+≈t Y t B t A t y

上式表明，非线性环节可以近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。 为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用()A N 表示：

()()()A

jA B e A Y e A N A N j A N j 1

111+==

=∠ϕ 一般情况下，描述函数N 是输入信号幅值A 和频率ω的函数，当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位与ω无关，故描述函数只与输入信号幅值有关。

9、特殊情况下的简化计算

①对于直流分量0A ，若非线性环节的正弦响应为关于t 的奇对称函数，即

()()

()()0

sin 0=⎪⎭

⎫

⎝⎛+-==-=-A t y t A f t y x f x f 则ωπω

②若()t y 为奇函数，即()()t y t y --=，则01=A ③若()t y 为奇函数，且为半周期对称，即()⎪⎭

⎫

⎝⎛-=t y t y ωπ 则()t td t y B A ωωπ

π

sin 4

020

11⎰=

= 线性部分阶次越高，低通滤波性能越好，而欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左半平面

10、定积分的重要结论

()()()()()()()()⎰⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=⋅⨯⨯--⨯⨯⨯--+=⨯⨯⨯--⨯⨯--==20

22

2442135311

2135422

431sin ππωωk n n n n n n k n n n n n n t td I n n

11、化非线性系统为典型结构形式

当系统由多个非线性环节组成时，在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。等效变换的原则是在()0=t r 的条件下，根据非线性特性串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分。

12、当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为

()()()()

A N j G j G A N 1

01-

==+ωω 称()A N 1/-为非线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制G Γ曲线和()A N 1/-曲线时，

()A N 1/-曲线上箭头表示随A 增大，()A N 1/-的变化方向。

13、非线性系统的稳定性判据

若G Γ曲线不包围()A N 1/-曲线，则非线性系统稳定； 若G Γ曲线包围()A N 1/-曲线，则非线性系统不稳定。

14、非线性系统存在周期运动时的稳定性分析

当G Γ曲线和()A N 1/-曲线有交点时，()()A N j G /1-=ω 即有

()()

()()

()()[]()()[]0

Im 1Re 1=-=∠-=∠-=

A N j G A N j G A N j G A N j G ωωπωω

由上两式可解得交点处频率ω和幅值A 。系统周期运动时，非线性环节输入近似为等幅振荡

()t A t x ωsin =。每一个交点对应着一个周期运动。

二、线性离散系统

1、开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系统无闭合回路； 闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内。