单边拉普拉斯变换的性质

F1 s 1 esT e2sT L
故有
F
s
F1 s
1
1 e sT
3.尺度变换特性
f ( t ) 1 F ( j )
为 非 0实 数
如果： f (t) F(s)
则：
f ( t)
1 F ( s )
其中： 实数 0
3.尺度和时移特性
f( t
b)
1
e
j
b a
F
(
j
)
为 非 0实 数
f (t) F (s)
1 (1 es )2 s2
6.时域积分特性
t f ( )d
1 F ( j ) F (0) ( ) j
如果：
f (t) F(s)
则：
t
f ( )d
若 f(t)为因果信号：
则：
t f ( )d
F ( s ) 1 0 f ( )d
s
s
F (s) s
若f(t)为因果信号，则：
f (t) sF (s) d n f ( t ) s nF ( s )
dtn
5.时域微分特性的应用
例6
s
cos(0t)
(t)
s2
2 0
(1)
d cos(
dt
0t )
(t)
s s 0
s 2
2 0
s2
s2 02
(2)
d dt
cos(
0t
)
s s 1
s2
2 0
0 2 s2 02
信号与系统
第22讲 单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的性质
线性性质 时移性质 尺度变换性质 复频移特性 时域微分特性 时域积分特性 S域微分特性 S域积分特性 卷积定理 初值定理和终值定理
利用常用信号 的拉普拉斯变换 对 和拉普拉斯变 换的 性质，可以 求解复 杂信号的 拉氏变换 和反变 换.
t t0 1 e s t0 (t t0 ) (t t0) s2
例3 f ( t ) e t ( t 2 ) e e 2 (t 2) (t 2)
F ( s ) e 2 e 2s s 1
2.时移特性应用 例
4
利用t (t)
1 ，计算
s2
f 1(t) t t 0，f 2(t)
t t
0 (t)
f3(t) t(t t0 ) ， f4 (t) (t t0 ) (t t0 ) 的拉氏变换。
L L F1 s f1(t)
t
t0
1 s2
t0 s
f1(t)
f2(t)
F2s
L
t
t 0 (t)
F1 s
1 s2
t0 s
L F3 s
f3(t)
0
t (t
t0
5.时域微分特性的应用
例 7：首先对 f (t) 求二次导，得到 f (t) (t) 2 (t 1) (t 2)
利用时移特性，则 L f (t) F2(s) 1 2es e2s (1 es)2
根据时域微分性质， F2 (s) s2F(s) (1 es )2
则
f (t) 的拉氏变换为L
如果： f (t) F(s)
则： f ( t t0 ) ( t t0 ) 其中： 实数 0
1
e
t0 s
F
s
4.复频移特性
f ( t ) e j0 t F j ( 0 )
如果： f (t) F(s)
则：f (t ) e s0 t F ( s s0 ) 其中s0为复常数
例5：求 e t c o s t 的 拉 氏 变 换 同理：
t
T
2T 3T
如果： f1(t) F1(s)
1 则： f (t) 1 e s T F1 ( s )
f (t) f1(t)+f1(t T )(t T ) f1(t 2T)(t 2T) L
若 f1 t F1s ，则根据延时特性，则
F s F1 s F1 sesT F1 s e2sT L
)
est dt
t estdt
t0
t0
t
t t0
t0 s
est0
1 s2
est0
L L F4 s f4(t)
(t t0) (t t0)
1 s2
est0
f3(t)
f4(t)
t t0
t0
t
只有完整波形的移动，才可直接
利用时移特性。
对于单边有始周期信号 f(t)
f (t)
f1 (t )
延时特性的典型应用是求 有始周期信号的单边拉普 拉斯变换
0
f
(t
t0) (t
t0) est dt
令 t t0
st
t0 f (t t0 ) e dt
f ( )e s +t0d 0
则有 t 0
=est0 f ( )es d est0 F(s) 0
2.时移特性的应用
f (t t0 ) (t t0 ) 1
例2 t s2
e s t0 F(s)
2 s j0 s j0
s
s2 02
2.时移特性
j t
f (t t0 ) e 0 F ( j )
如果： f (t) F(s) 则： f (t t0 ) (t t0 ) e s t0 F ( s )
其中： 实数 t0 0
2.时移特性的证明
证明：L f (t t 0) (t t 0)
பைடு நூலகம்
6.时域积分特性应用
例8
t 2 (t ) ?
t
【解】
( )d t (t )
t (t )
1 s2
t ( )d 1 t 2 (t )
2
t 2 ( t ) 2
s3
推广之
tn
(t)
n! sn1
7. S域微分特性
tn
f
(t)
(
j)
n
d
n
F ( j) d n
如果： 则：
1.线性性质
如果： 则：
f1 (t) F1(s) f2 (t)
c1 f1 (t) c2 f2 (t)
其中：c1,c2为任意复常数
F2 (s)
c1F1(s) c2 F2 (s)
例1：
f (t ) cos( 0t )
1 ( e j0t e j0t ) 2
F ( s ) 1 1 1
f ( t )e st d t
0
f ( t ) e st
s
f ( t )e st d t
0
0
sF (s) f (0 )
5.时域微分特性
一般的： y(t) s2Y (s) sy(0 ) y(0)
d n y ( t ) s n Y dtn
(s)
sn1 y(0
)
y (n1) (0 )
0
c o s ( 0t)
t cos0 t
s
s2
2 0
s
(s
)2
2 0
e t sin t 0
0
(s
)2
2 0
5.时域微分特性
df (t ) jF ( j )
dt
如果： f (t) F(s)
则：
df (t) dt
s F ( s ) f ( 0 )
证明： L
d
f (t dt
)