两种电四极矩产生的势

2 2 1 Q ∂2 1 ∂2 ∂2 2 2 ) 3z − R ( D D D = a − b + + 11 22 33 24π R5 ∂z 2 ∂y 2 ε0 ∂x 2 ε0 R 40π
３ 两种电四极矩的物理意义
两个电四极矩的定义都是从电势的多极展开式中得出的。第一个定义是直接从展开式中提出四极矩 ′ 表示分布在 x 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献， D22 ′ 表示 项来定义，每个分量有较明显的物理意义， D11 ′ 表示分布在 z 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献， 分布在 y 轴上的电荷体系对电四极矩的贡献， D33 ′ = D 21 ′ 表示分布在 xy 平面上的电荷体系对电四极矩的贡献， D13 ′ = D31 ′ 表示分布在 xz 平面上的电荷体系 D12 ′ = D 32 ′ 表示分布在 yx 平面上的电荷体系对电四极矩的贡献。第二个定义是考虑到 对电四极矩的贡献， D23 1 ∇ 2 = 0(R ≠ 0) 恒成立的特点来定义的，得出：D11 + D 22 + D33 = 0 ，使变量个数在第一个定义的基础上减 R 少一个，但 D11 , D22 , D33 分量无上述明显的物理意义。
来求解的。从中等效出点电荷（电单极矩） 、电偶极矩和电四极矩。 电多极矩法主要是求电四极矩项，电四极矩大小表示电荷体系分布偏离球对称的程度，可等效为两个 大小相等方向相反的电偶极矩分布。
１ 两种电四极矩的定义
′ ＝ ∫v 3 xi' x 'j ρ ( x ' ) dV ' 。，根据此式，电四极矩张量 Dij ′ 在文献［１］中有两种电四极矩的定义。一种定义式为 Dij ′ ， D22 ′ ， D33 ′ ， D12 ′ = D 21 ′ ， D13 ′ = D31 ′ ， D23 ′ = D 32 ′ 。 他是根据电势的多极展 是对称张量，他有 ６ 个独立分量： D11 开式直接得出的定义。另一种定义式为 Dij = ∫v 3xi' x 'j − r '2δ ij ρ (x ' )dV ' 。根据此式，电四极矩张量 Dij 满足关 系 D11 + D22 + D33 = 0 ，因而只有 ５ 个独立分量： D11 , D22 , D33中的两个，D12 = D21，D13 = D31 , D23 = D32 。他 是考虑到电势展开式中 ∇ 2 同的。 1 = 0(R ≠ 0 ) 恒成立。从定义上看两个电四极矩是不同的，但他们产生的势是相 R
2 − r '2 ) D 11 = ∑ (3 x n q n = − ∑ r '2 q n = − 2 qa 2 2 − r '2 ) D 22 = ∑ (3 y n q n = − ∑ r ' 2 q n = − 2 qa 2 2 − r '2 ) D 33 = ∑ (3 z n q n = 4 qa 2
第 ４ 期 两种电四极矩产生的势 ・１１１・
参 考 文 献
［１］ 郭硕鸿． 电动力学． 第 ２ 版， 北京：高等教育出版社， １９９７；８４～９１ ［２］ 林旋英，张之翔． 电动力学题解． 北京：科学出版社， １９９９； １６６～１７８
用电多极矩法［１］ 求解静电学问题是解决有限电荷分布求远场的重要方法，对解决实际问题非常有用。 电多极矩法是由电荷体系激发的电势在远处的多极展开式 ϕ (x ) = 1 1 1 1 ∂2 1 +Λ ∫V ρ (x ' ) − x ' ⋅ ∇ + ∑ xi' x 'j 4ð ε 0 R 2! i , j ∂xi ∂x j R R dV '
４ 结论
对于同一个问题用不同定义方法求的电四极矩是不一样的，但它们产生的势却是一个。在文献［１］中认 为第二个电四极矩定义少一个分量，求解简单，所以经常采用。但从例题 １ 的计算来看用第一个电四极矩 的定义来求却更简单。这就需要具体问题具体分析。 ′ 和 Dij 的形式和意义是不同的，在空间产生的势是相同的。在实际问题中视情况可采用不同的方式 Dij 求解不会影响结果。
第 ４ 期 两种电四极矩产生的势 ・１０９・
′ = 3qa 2 + 3q( − a) 2 = 6qa 2 D33 ′ = D′ ′ = D 21 ′ = D13 ′ = D31 ′ = D′ ′ = 0 D11 = D12 = D32 22 23 所以电势
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｔｗｏ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｑｕａｄｒｕｐｏｌｅ ｍｏｍｅｎｔ， ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅｍ． Ｆｏｒ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ， ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｑｕａｄｒｕｐｏｌｅ ｍｏｍｅｎｔ ｍａｙ ｂｅ ｕｓｅｄ， ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ ｍｏｍｅｎｔｓ． Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｑｕａｄｒｕｐｏｌｅ ｍｏｍｅｎｔ；ｔｅｎｓｏｒ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ （上接第 ９９ 页） 参 考 文 献
例 ２［１］ 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴 a ，半短轴 b ， 带总电荷 Q ，求它的电四极矩和远处的势。 解法 １ 用第一个电四极矩定义求解。 解 取 Z 轴为旋转轴，方程为 ρ0 = x2 + y2 z 2 + 2 = 1 ，电荷密度 b2 a
z
3Q ′ ＝ ρ 0 ∫v 3 xi′x′j dV ′ 。 由对称性 ，电四极矩 Dij 4π ab 2
两种电四极矩产生的势
刘晓军 刘立伟 王治金
（齐齐哈尔大学理学院物理系，齐齐哈尔 １６１００６）
摘 要 通过分析电四极矩的两个定义的异同，举例分析它们求电势的方法。对于不同的问题可采用不同的电四 极矩来求电势，从而深入理解电多极矩法求解静电场问题的意义。 关 键 词：电四极矩；张量；势 中图分类号：Ｏ４４１．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－９８４Ｘ（２００２）０４－０１０８－０４
［ １ ］ 哈尔滨工大主编． 机床夹具设计． 上海：上海科学技术出版社，１９８５ ［ ２ ］ 林清安主编． Ｐｒｏ／ＥＮＧＩＮＥＥＲ 零件组合． 北京：北京大学出版社，２０００ ［ ３ ］ 赵德永等编． Ｐｒｏ／ＥＮＧＩＮＥＥＲ 数控加工． 北京：清华大学出版社，２００２
Ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ ｄｅｓｉｇｎ ｏｎ ｆｉｘｔｕｒｅ ｏｆ ｍａｃｈｉｎｅ ｔｏｏｌｓ ｉｎ ＰＲＯ／ＥＮＧＩＮＥＥＲ ＺＨＡＯ Ｂｅｉ －ｃｈｅｎ ＬＵＯ Ｙｏｕｎｇ －ｘｉｎｇ
2 2 ∂2 ∂2 ∂2 1 1 Q 2 2 3z − R ′ ′ ′ + + D D D = a − b ( ) 11 22 33 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 24ð ε 0 R5 R 40ð ε 0
3Q 12π 3Q 12π a 3b 2 3Qa 2 ab 4 3Qb 2 2 ′ ＝ ( 3 ) d = ， ρ z V = = D ∫ v 0 33 4π 5 4π 15 5 ab 2 15 ab 2
第 １８ 卷第 ４ 期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Ｖｏｌ． １８， Ｎｏ．４ ２００２ 年 １２ 月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｄｅｃ．，２００２
( )
y
∫v xydV = ∫v yzdV = ∫v zxdV = 0
所以， ′ = D23 ′ = D 31 ′ = 0 D12
2 2 2 令 x + y = s ， 由对称性
x
图 ２ 带电椭球体的势
・１１０・ 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 ２００２ 年
所以 1 1 ∂2 1 1 ϕ= = ∑ Dij 4π ε 0 6 ij ∂xi ∂x j R 4π ε0 =
∑ xi' x 'j Dij
ij
2R 5
=
D11 x 2 + D22 y 2 + D33 z 2 8π ε 0R5
qa 2 (− x 2 − y 2 + 2 z 2 ) qa 2 (3 cos 2 θ − 1) = 4π ε 0R 5 4π ε 0 R3
解法 ２ 用第二个电四极矩定义求解。 解 如解法 １ 建方程、积分同理可得 D12 = D23 = D31 = 0 ， D11 = D22 ＝ − 1 1 D33 = − ( a 2 − b 2 )Q 2 5 2 2 (a − b 2 )Q 5
D33 = ∫v ρ 0 (3z 2 − r 2 )dV = ρ 0 ∫v (2 z 2 − 2 x 2 )dV = 产生的电势为
(
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)
２ 举例
例 １［２］ 如图 １，三个点电荷线性排布，求线性电四极子的势。 解法 １ 用第一个电四极矩定义求解。 解 此带电系统电量 Q ＝０，电偶极矩 P = ∑ xi qi = 0 ，电四极矩只有
收稿日期：２００２—０６－－０６ 作者简介：刘晓军，男，１９７２ 年生，本科，讲师，主要从事基础物理教学与研究。
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｑｕａｄｒｕｐｏｌｅ ｍｏｍｅｎｔ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ＬＩＵ Ｘｉａｏ－ｊｕｎ ＬＩＵ Ｌｉ－ｗｅｉ ＷＡＮＧ Ｚｈｉ－ｊｉｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｎａｔｕｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｑｉｑｉｈａｒ １６１００６）
z 1 1 a b 1− a ∫v x dV = ∫v y dV = ∫v s 2dV = ∫− a dz ∫0 2 2 2 2
2 ∫v z dV =
2 2
2
1
ds ⋅ 2π s3 =
4π ab 4 15
4π a 3b 2 15
所以， ′ = D 22 ′ ＝ ∫v ρ 0 (3x 2 )dV = D11 产生的电势为
2 1 1 1 qa 2 3 cos 2 θ − 1 (6qa 2 ) d 2 ϕ (x ) = ＝ 4π ε0 6 dz R 4πε 0 R3
q a -2q a q
图 １ 线性电四极子的势
R
解法 ２ 用第二个电四极矩的定义求解。 解 同解法 １，只求电四极矩项。 D ij = ∑ 3x i' x 'j − r '2 δ ij q n 当 i ≠ j 时 Dij ＝０ 当 i = j 时