函数解析式的求法
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●变式练习 已知 2 f ( x) f ( x) 2 x ，能求出 f ( x ) 的表达式吗？
解： 2 f ( x) f ( x) 2（）； x1 2 2 f ( x) f ( x) 2（ x 2） f ( x) x 3
2 例 4.用对称法画出函数 y x 2 x 3 的图象，并写出作图步骤． 2 思路启迪：函数 y x 2 x 3 背后隐藏着怎样的基本函数，怎样甩掉
一、学习准备
快乐体验 1.已知 f ( x +1）= x +2 x ，求 f ( x) 的表达式及定义域．
x 2 x (( x) x 1)2 1 f ( x 1) ( x 1)2 1 f ( x) x2 1( x 1)
2.在同一坐标系下作出下列两组函数图象． （1） ① y x 1 ； （2）① y x ；
1、请同学们课前将学案与教材 结合进行自主学习 （对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说 明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅 P 1516 读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问 题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、 “举”、“联”、 用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢 于提问、敢于质疑、 敢于讲解与表达..
y 1 。
1.2.5 图2
x 1(1 x 0) 解：y 1 x(0 x 2) 2
2 x
-1
0 -1
例 2、已知二次函数 f ( x) 满足 f (1) 1, f ( 3) f (5) 0 ， 求函数 f ( x ) 的解析式． 思路启迪：二次函数 f ( x) 有几种表达式？请用三种方法解答， 比较哪一种方法更好？ 解： 由题可令二次函数为y=a(x+3)(x-5)将f(1)=1代入上式中
可得a=●解后反思 条件下选用？ ●变式练习 求函数解析式．
1 1 1 15 , 故所求二次函数为y x 2 x 16 16 8 16
你能写出二次函数 f ( x) 的三种解析式吗？各有什么特点？各自在什么
已知二次函数图象经过点 A(2，1)， B(4，1)，且与 x 轴只有一个交点，
Байду номын сангаас
3 x(0 x 1) 2 y 3 x 3(1 x 2) 2
1.2.5 图1
●解后反思（1）归纳出例1的解题步骤；应该注意什么问题？
（2）在什么情况下用待定系数法求函数解析式？（链接1）
●变式练习 函数 f ( x) 在闭区间 [ 1, 2] 上的图象如 1.2.5 图 2 所示，求此函数的解析式．
保留x轴上方的图像，下方的图像沿x轴翻折到上 方 函数 y f ( x) 的图象经______________ ____的变换可以得到函
数 y f ( x) 的图象；函数 y f ( x ) 的图象经______________ 换可以得到函数 y f ( x ) 的图象（链接 1） 函数 y f ( x ) 的图象经过
2
② y x 1 ； ② y ( x 1) ；
2
③ y x 1 ③ y x 1；
2
④ y ( x 1) 1
2
运用函数的对称、平移法作图
（1）观察思考 观察思考学习准备的“快乐体验2”中的两组函数图象 之间有什么关系？你能用比较简练的语言来描述吗？ （2）归纳概括 请试着写出你发现的结论．
绝对值，还原它的本来面目，再作函数的图像.
●解后反思 （1）在作图过程中用到什么方法？画这类函数图像有何规律？ 画出函数 y x 2 x 3 的图象，并写出作图步骤．
2
（2）你能用描点法作出函数图象吗？比较描点作图与对称作图哪个更为恰当？ ●变式练习
解：由题可知对称轴为x 3, 顶点在x轴上，可令y a( x 3)2 , 将A(2,1)代入上式可得a 1, 故二次函数为y ( x 3) 2
例 3.设 f ( x ) 是定义在 (1, ) 上的函数，且有 f ( x) 2 f ( ) x 1 ，试求 f ( x ) 思路启迪 从式子的结构特征出发，特别注意 f ( x ) 与 f ( 1 ) 的关系在哪？
一、学习准备
1.函数表示方法有（1） ，（２） ，（３） ． 其中解析式是揭示函数两个变量之间关系的常用方法，它是 研究函数性质的重要途径．前面见过哪些求函数解析式的 题型？有哪些求法与步骤呢？ 2.什么叫分段函数与复合函数？怎样求有关复合函数与分段 函数的解析式与定义域？ 3.在初中我们是怎样作一次函数、反比例函数、二次函数的 图象的？
x
1 x
怎样消掉 f ( 1 ) ，便可求出 f ( x ) .
x
1 1 1 解 f ( x) 2 f ( ) x 1(1); f ( ) 2 f ( x) 1(2) x x x 2 1 将（2）代入（1）中解之有f(x)= x 3 3
解后反思 该题是什么题型？求解它的方法是什么？求解的入手点、 关键点在哪里？
__
___的变
去掉y轴左侧的图像，保留y轴右侧的图像， 再将右侧的图像翻折到左侧
的变换可以得到函数
向左移m个单位，向上平移n个单位
； y f ( x m) n 的图象（m>0,n>0）
例１.已知函数的图象如1.2.5图1所示，求函数解析式． ●思路启迪：观察函数的图象，思考应对应着怎样的函数 形式，是一次还是二次？是一个表达式还是分段函数？ 解：
1.能换元法、待定系数法求函数解析式； 2.会用图象法、换元法、待定系数法求二 次函数的解析式． 3.能直接或运用函数的对称、平移等方法作出 简单或较为复杂的函数的图象，从函数的图象 感受函数及自然的魅力.
重点：
函数解析式的求法、简单函数图象的作法
难点提示：
抽象函数的解析式的求法、运用对称、平移等方法作 较为复杂的函数的图象
解： 2 f ( x) f ( x) 2（）； x1 2 2 f ( x) f ( x) 2（ x 2） f ( x) x 3
2 例 4.用对称法画出函数 y x 2 x 3 的图象，并写出作图步骤． 2 思路启迪：函数 y x 2 x 3 背后隐藏着怎样的基本函数，怎样甩掉
一、学习准备
快乐体验 1.已知 f ( x +1）= x +2 x ，求 f ( x) 的表达式及定义域．
x 2 x (( x) x 1)2 1 f ( x 1) ( x 1)2 1 f ( x) x2 1( x 1)
2.在同一坐标系下作出下列两组函数图象． （1） ① y x 1 ； （2）① y x ；
1、请同学们课前将学案与教材 结合进行自主学习 （对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说 明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅 P 1516 读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问 题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、 “举”、“联”、 用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢 于提问、敢于质疑、 敢于讲解与表达..
y 1 。
1.2.5 图2
x 1(1 x 0) 解：y 1 x(0 x 2) 2
2 x
-1
0 -1
例 2、已知二次函数 f ( x) 满足 f (1) 1, f ( 3) f (5) 0 ， 求函数 f ( x ) 的解析式． 思路启迪：二次函数 f ( x) 有几种表达式？请用三种方法解答， 比较哪一种方法更好？ 解： 由题可令二次函数为y=a(x+3)(x-5)将f(1)=1代入上式中
可得a=●解后反思 条件下选用？ ●变式练习 求函数解析式．
1 1 1 15 , 故所求二次函数为y x 2 x 16 16 8 16
你能写出二次函数 f ( x) 的三种解析式吗？各有什么特点？各自在什么
已知二次函数图象经过点 A(2，1)， B(4，1)，且与 x 轴只有一个交点，
Байду номын сангаас
3 x(0 x 1) 2 y 3 x 3(1 x 2) 2
1.2.5 图1
●解后反思（1）归纳出例1的解题步骤；应该注意什么问题？
（2）在什么情况下用待定系数法求函数解析式？（链接1）
●变式练习 函数 f ( x) 在闭区间 [ 1, 2] 上的图象如 1.2.5 图 2 所示，求此函数的解析式．
保留x轴上方的图像，下方的图像沿x轴翻折到上 方 函数 y f ( x) 的图象经______________ ____的变换可以得到函
数 y f ( x) 的图象；函数 y f ( x ) 的图象经______________ 换可以得到函数 y f ( x ) 的图象（链接 1） 函数 y f ( x ) 的图象经过
2
② y x 1 ； ② y ( x 1) ；
2
③ y x 1 ③ y x 1；
2
④ y ( x 1) 1
2
运用函数的对称、平移法作图
（1）观察思考 观察思考学习准备的“快乐体验2”中的两组函数图象 之间有什么关系？你能用比较简练的语言来描述吗？ （2）归纳概括 请试着写出你发现的结论．
绝对值，还原它的本来面目，再作函数的图像.
●解后反思 （1）在作图过程中用到什么方法？画这类函数图像有何规律？ 画出函数 y x 2 x 3 的图象，并写出作图步骤．
2
（2）你能用描点法作出函数图象吗？比较描点作图与对称作图哪个更为恰当？ ●变式练习
解：由题可知对称轴为x 3, 顶点在x轴上，可令y a( x 3)2 , 将A(2,1)代入上式可得a 1, 故二次函数为y ( x 3) 2
例 3.设 f ( x ) 是定义在 (1, ) 上的函数，且有 f ( x) 2 f ( ) x 1 ，试求 f ( x ) 思路启迪 从式子的结构特征出发，特别注意 f ( x ) 与 f ( 1 ) 的关系在哪？
一、学习准备
1.函数表示方法有（1） ，（２） ，（３） ． 其中解析式是揭示函数两个变量之间关系的常用方法，它是 研究函数性质的重要途径．前面见过哪些求函数解析式的 题型？有哪些求法与步骤呢？ 2.什么叫分段函数与复合函数？怎样求有关复合函数与分段 函数的解析式与定义域？ 3.在初中我们是怎样作一次函数、反比例函数、二次函数的 图象的？
x
1 x
怎样消掉 f ( 1 ) ，便可求出 f ( x ) .
x
1 1 1 解 f ( x) 2 f ( ) x 1(1); f ( ) 2 f ( x) 1(2) x x x 2 1 将（2）代入（1）中解之有f(x)= x 3 3
解后反思 该题是什么题型？求解它的方法是什么？求解的入手点、 关键点在哪里？
__
___的变
去掉y轴左侧的图像，保留y轴右侧的图像， 再将右侧的图像翻折到左侧
的变换可以得到函数
向左移m个单位，向上平移n个单位
； y f ( x m) n 的图象（m>0,n>0）
例１.已知函数的图象如1.2.5图1所示，求函数解析式． ●思路启迪：观察函数的图象，思考应对应着怎样的函数 形式，是一次还是二次？是一个表达式还是分段函数？ 解：
1.能换元法、待定系数法求函数解析式； 2.会用图象法、换元法、待定系数法求二 次函数的解析式． 3.能直接或运用函数的对称、平移等方法作出 简单或较为复杂的函数的图象，从函数的图象 感受函数及自然的魅力.
重点：
函数解析式的求法、简单函数图象的作法
难点提示：
抽象函数的解析式的求法、运用对称、平移等方法作 较为复杂的函数的图象