统计计算第四章离散随机变量的生成

算法二的步骤：
一、设P1P2 Pn是1，2， ，n的任一排列； 二、令k n; 三、生成一随机数U，记I Int (kU) 1； 四、交换PI 和Pk； 五、令k k 1，如果k 1，转至步骤三； 六、P1P2 Pn是所求随机排列；
例3 平均值的计算
请 近 似 计 算a
n i 1
例2 随机排列的生成
如何得到一个1,2, , n的随机排列？
解： 算法一
在1,2, , n中任选一个，将其放在位置n; 在剩余n 1个中任选一个，将其放在位置n 1; 在剩余n 2个中任选一个，将其放在位置n 2; 依次下去.
该算法的问题在于每次得到的数字不确定， 每次都要判断该数字是否在前面出现过。
i 1
于是，可先生成随机数U，
并令X等于满足下式的j,
1 q j1 U 1 q j
于是得到
ln(1 U ) j ln(1 U ) 1
ln q
ln q
又注意到1 U ~ U(0,1)，再利用记号Int ()， 可把X表示成
X
Int
lnU ln q
1
例4 独立伯努利随机变量的生成
P( X FX1( y)) FX (FX1( y)) y
又易知Y的取值为[0,1]区间，所以Y ~ U(0,1)。
说明
当X是离散变量时，只要定义 F 1( y) x j , 当F( x j1) y F( x j )
上述结论仍成立。
几条注释
一、逆变换法
记X的分布函数为F，将xi , i 0从小到大排列
pi
P(X
i)
i
i!
e ,
i 0,1,
可得如下递推式
pi1 i 1 pi .
生成泊松随机变量的算法
步骤1：生成一个U (0,1)分布的随机数U ; 步骤2：i 0, p e , F p; 步骤3：如果U F，令X i且停止;
步骤4：p p , F F p, i i 1;
为x0 x1 x2 , 则F ( xk )
k i0
pi，其逆变换为
X F 1(U) xj , 当F( xj1) U F(xj )
因 此 ， 得 到X的方法是先生成U (0,1)分 布 的 随 机 数U， 然 后 通 过 逆 变 换F 1(U )得 到X。 这 种 生 成 随机数的方法称为逆变换 法 。
ai， n
其
中n非
常
大
，
且ai
,
i 1, , n的值非常复杂，不易计算。
解： 题目中的均值可看成对以下变量求期望,
a1 a2 an
1 n
1 n
1 n
可 将 其 看 成 容 量 为n的 总 体 ， 要 求 总 体 均 值，
只 要 抽 取 容 量 为k的 样 本 ， 用 样 本 均 值 估计
总体均值即可。
二、算法步骤
生成一个随机数ຫໍສະໝຸດ Baidu;
如果U p0，令X x0且停止； 如果U p0 p1，令X x1且停止； 如果U p0 p1 p2，令X x2且停止；
三、搜索时间
生 成 一 个 离 散 变 量 所 需时 间 与 要 搜 索 的 区 间
个
数
成
正
比
，
按p
的
j
降
序
排
列X的
取
值x
j
可
以
降
先 由X
Int
lnU ln q
1生 成 一 个 几 何 分 布 随 机数j;
如果j n, 令X i 0, i 1, , n;
如果j n, 令X1 X j1 0, X j 1;
如果j n, 重复上述操作以得到其余n j个伯努利 随机变量的值。
4.2 泊松随机变量的生成
由泊松随机变量X的概率分布函数
如果U 0.35，令X 2且停止；
如果U 0.60，令X 3且停止；
否则令X 4.
算法二
生成一个U (0,1)分布的随机数U ; 如果U 0.40，令X 4且停止； 如果U 0.65，令X 3且停止； 如果U 0.85，令X 2且停止； 否则令X 1.
上述两种算法中，算法二更有效。
算法二：位置随机排列
设数列的初始顺序为P1P2 Pn
在1,2, , n位置中任选一个，将其位置的数 与位置n上的数互换;
在1,2, , n 1位置中任选一个，将其位置的 数与位置n 1上的数互换;
依次下去. 该算法的好处在于每次都是等可能地在数字 1,2, …,k中等可能地抽取，选的是位置，与前一 个数字是什么无关，不需判断。
x0
x1 X
x
j
如 果U p0 如 果p0 U p0 p1
j 1
j
如 果 pi U pi
i0
i0
命题 设随机变量X的分布函数FX ( x)是严增函数，
则Y FX ( X )服从区间(0,1)上的均匀分布。
证明 FY ( y) P(Y y) P(FX ( X ) y)
试 给 出 生 成n个 独 立 同 分 布 ， 参 数 为p的
伯 努 利 随 机 变 量X 1 ,
,
X
的
n
算
法
。
解： 算法一
生成n个U (0,1)的随机数U1, ,Un ,
令
1 X i 0
如果Ui p 如果Ui p
得到的变量列X1 , , X niid, 且服从b(1, p)。
算法二 不妨设p 0.5.
所以只要生成k个随机数U
，
i
令X i Int (nU i ) 1,
计算a( X i )，i 1,2, , k,
则有a k a( X i ). i1 k
例3 几何随机变量的生成
解： 几何随机变量的分布律为
P( X i) pqi1, i 1
易得
j1P(X i) 1 q j1, j 1
第4章 离散随机变量的生成
4.1 逆变换法 4.2 泊松随机变量的生成 4.3 二项随机变量的生成 4.4 筛选技术 4.5 复合法 4.6 随机向量的生成
4.1 逆变换法
设要生成一个概率分布为P( X x j ) p j , j 0,1,2, 的离散随机变量，可以先生成一个
(0,1)均匀分布的随机数U , 且令：
低
搜索次数。
四、离散均匀随机变量的生成
如要求的是离散均匀随机变量，则上述区间 搜索是不必要的。只要令X Int (nU ) 1即可。
例1 用逆变换法给出一个分布列为
X P
1 0.20
2 0.15
3 0.25
4 0.40
的随机变量X的随机数。
解： 算法一
生成一个U (0,1)分布的随机数U ;
如果U 0.20，令X 1且停止；