贝塞尔函数 柱函数

成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）
设 u(x, y, t) = u(r,j, t) = T (t)U (r,j ) ，对泛定方程分离变量（取 l = k2 ）得
T ¢¢ + k 2a2T = 0 （14.1.2）
ì ï í
U r¢¢
+
1 r
U r¢
+
1 r2
Uj¢¢
+
k 2U
=
0
ïîU |r=l = 0
ìíîHHnn((12))
( x) ( x)
= =
Jn Jn
(x) (x)
+ -
i i
× ×
Nn Nn
(x) (x)
14.3 贝塞尔函数的基本性质
14.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（14.2.1）容易推出
d [ Jn ( x) ] = - Jv+1 (x)
dx xn
xv
d dx
+ 0
u
yy
)
ï u(x, y,t) |t=0 = j (x, y)
ïî ut (x, y, t) |t=0 =y (x, y)
(0 £ x2 + y2 < l2 ,t > 0) (t ³ 0)
（14.1.1）
其中 l 为已知正数，j(x, y),y ( x, y) 为已知函数．这个定解问题因宜于使用柱坐标，从而构
14.1 贝塞尔方程及其解
14.1.1 贝塞尔方程
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程，由于贝塞尔方程的 普遍性，我们还能从其它典型的数学物理定解问题来导出贝塞尔方程的一般形式．
考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题
ìïïuutt í
= a2 (uxx | = x2 + y2 =l2
l=0 l!
故
å å x ( z-1 )
e2 z =
¥
( x )k 2
zk
¥
( x )l 2 (-z)-l
k=0 k!
l=0 l!
对于固定的 z ，以上两级数在 0 < z < +¥ 内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令 k - l = n, n = 0,±1,±2,L, 得
å å å å x(z-1)
m
)
r
)
，然后两式相减，再积分，利
用分部积分法得到
ò {[ki(m) ]2
-
[k
(m j
)
]2
}
r0 0
J
m
(ki(
m
)
r
)Jm
(k
( j
m
)
r
)
rdr
= [rJm
(ki(m) r )
d dr
J
m
(k
( j
m
)
r
)
-
r
J
m
(k
( j
m
)
r)Βιβλιοθήκη d drJm
(
ki(
m
)
r
)]
|r 0
0
=
0
故当
k (m) i
定义第二类贝塞尔函数 Nn (x) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为
y(x) = AJn (x) + BNn (x)
（14.1.7）
（第二类贝塞尔函数也可写成 Yn (x) ，本书之所以选取 Nn (x) ，是因为它又称为诺依曼函 数，取第一大写字母）下面我们会看到不管n 是否为整数，上式均成立．
(3) 当n 取任意值时：
（14.1.6）
其中 A, B 为任意常数， Jn (x) 定义为n 阶第一类贝塞尔函数（简称为贝塞尔函数）．但
是我们应该注意到：当 n = n 整数时，有 J-n (x) = (-1)n Jn (x) ，故上述解中的 Jn (x) 与
J-n (x) 是线性相关的，所以(14.1.6)成为通解必须是n ¹ 整数. （2）当n 取任意值时：
（14.2.7）
（i）当n ¹ 整数时，显然它与 Jn (x) 线性独立；
（ii）当n = n （整数）时，可以用洛必达法则求极限的办法来证明它也与 Jn (x) 线性
独立，且其结果与用级数法寻找的第二个线性独立的解一致．
图 20.1
14.2.3 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数（又称为汉克尔（Hankel）函数，或第三类柱函数），根据其定 义式即
[
x-
v
Z
v
(
x)]
=
-
x-
v
Z
v+1
(
x)
把两式左端展开, 又可改写为
Zn¢ (x)
-
v x
Zv
(x)
=
- Z v +1
(x)
Zn¢
+
v x
Zv (x)
=
Z v -1 ( x )
从(14.3.5)和(14.3.6)消去 Zn 或消去 Zn¢ 可得
Zv+1 (x) = Zv-1(x) - 2Zv¢ (x)
2v Zv+1(x) = -Zv-1(x) + x Zv (x) 即为从 Z v-1 (x) 和 Zv (x) 推算 Z v+1 (x) 的递推公式. 上式也可以写成为
(14.3.3) (14.3.4)
(14.3.5) (14.3.6)
v Zv-1(x) + Zv+1(x) = 2 x Zv (x)
（i） y(x) = AJn (x) + BJ-n (x) (n ¹ 整数） （ii） y(x) = AJn (x) + BNn (x) (n 可以取任意数） （iii） y(x) = AHn(1) (x) + BHn(2) (x) (n 可以取任意数）
注明：第一、第二、第三类贝塞尔函数分别称为贝塞尔函数、诺依曼函数、汉克尔函数， 还可以分别简称为第一、第二、第三类柱函数．
[xvJv
(x)]
=
x v J v -1 (
x)
(14.3.1) (14.3.2)
以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数 Nv (x)和汉克尔函数也应该满足
上述递推关系．
若用 Zv (x) 代表 v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有
d dx
[xvZv (x)]
=
xv Zv-1 (x)
d dx
（14.1.5）
边界条件为 y(k r ) |r =l = y(kl) = 0 . 方程（14.1.5）称为n 阶贝塞尔微分方程．这里n 和 x 可以为任意数．
14.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当n ¹ 整数时，贝塞尔方程(14.1.6)的通解为
y(x) = AJn (x) + BJ-n (x)
Zv-1( x) - Zv+1 ( x) = 2Zn¢ ( x)
任一满足一组递推关系的函数 Zv (x) 统称为柱函数．
（14.3.7） （14.3.8）
ò 例 14.3.1 求 xJ2 (x)dx
【解】 根据公式 (14.3.8) Zv-1(x) - Zv+1 (x) = 2Zn¢ (x) 有
J2 (x) = J0 (x) - 2J1¢ (x)
（14.2.5）
Jn (-x) = (-1)n Jn (x) 14.2.2 第二类贝塞尔函数
第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数或第二类柱函数）定义为
（14.2.6）
Nn
(x)
=
cos(n
π)Jn (x) sin(n π)
J -n
( x)
这样定义的的理由是它既满足贝塞尔方程，又与 Jn (x) 线性无关
（14.1.2）
再令 U (r,j) = R(r )F(j ) ，得到
令 kr = x,
F¢¢ +n 2F = 0
(14.1.3)
r 2 R¢¢ + r R¢ + (k 2r 2 -n 2 )R = 0
R(r ) = y(x) 于是(14.1.5)得到
（14.1.4）
x2 d2 y + x dy + (x2 -n 2 ) y = 0 dx2 dx
1. 母函数（生成函数）
（14.3.13） (14.3.14)
考虑解析函数 G( x, z)
=
e
x(z-1) 2z
在
0
<
z
< +¥ 内的罗朗展式（注意，此处的 x 为参变
数，不是复变数 z 的实部）．因为
å x z
e2
=
¥
( x )k 2
zk
k=0 k!
，
å - x z-1
e2 =
¥
( x )l 2 (-z)-l
(14.3.15)
2.加法公式
¥
å G(x, z) = Jn (x)zn
利用母函数公式
n = -¥
故有
å x+ y ( z -1 )
G(x + y, z) = e 2 z =
¥
Jm(x + y)zm
n = -¥
å å x 1 y 1 (z- ) (z- )
= e2 z e 2 z = G(x, z)G( y, z) =
k =n
1 k !G(-n + k
( x )-n+2k +1) 2
å¥
= (-1)n (-1)l
1
( x )n+2l ,
l=0
l!G(n + l +1) 2
所以
(l = k - n)
(14.2.3)
同理可证
J-n (x) = (-1)n Jn (x)
（14.2.4）
因此有重要关系
J-n (x) = Jn (-x)
14.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质
14.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式
第一类贝塞尔函数（也可直接简称为贝塞尔函数，或第一类柱函数） Jn (x) 的级数表示
式为
å Jn
( x)
=
¥ k=0
(-1)k
1 k !G(n +
k
+ 1)
( x )n +2k 2
å J-n
(x)
=
¥
(-1)k
k=0
1 k !G(-n + k
d dr
[r
dJ m dr
]
+ {[ki(m)
]2
-
m2 r2
}J m
(ki(m) r )
=
0
(14.3.9)
d dr
[r
dJ m dr
]
+
{[k
( j
m
)
]2
-
m2 r2
}J m
(k
( j
m)
r
)
=
0
(14.3.10)
将(14.3.9)乘以
J
m
(k
(m j
)
r
)
，将(14.3.10)乘以
J
m
(
ki(
级数展开的基．
定义在区间[0, r0 ] 上的函数 f ( r ) ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为
¥
å f (r ) = fnJm (kn(m) r ) n=1
ò 1
其中广义傅氏系数
fn
=
[
N
(m n
)
]2
r0 0
f
(r)Jm (kn(m) r )rdr
14.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）
¥
G(x, z) = e2 z =
¥ (-1)l ( x )k+l zk -l =
¥¥
[
(-1)l ( x )2l+n ]zn
k=0 l=0 k !l ! 2
n=-¥ l=0 (n + l)!l ! 2
故
¥
å G(x, z) = Jn (x)zn
n = -¥
x(z-1 )
称 e 2 z 为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．
ò ò ò ò xJ2 (x)dx = xJ0 (x)dx - 2 xJ1¢(x)dx = xJ1(x) - 2[xJ1(x) - J1(x)dx]
ò = xJ1(x) - 2[xJ1(x) +
J
¢
0
(
x)dx]
=
-
xJ1
(
x)
-
2J
0
(
x)
+
c
14.3.2 贝塞尔函数正交性和模
1．正交性 对应不同本征值的本征函数分别满足
第十四章 贝塞尔函数 柱函数
贝塞尔函数(也称为圆柱函数)是现代科学技术领域中经常遇到的一类特殊函数．1732 年伯努利研究直悬链的摆动问题，以及 1764 年欧拉研究拉紧圆膜的振动问题时，都涉及到 这类函数．1824 年德国数学家贝塞尔（F.W.贝塞尔, 1784~1846）在研究天文学问题时又遇到了这类函数，并首次系统地研究了这类函数．因此 人们称这类 函数为贝塞尔函数，并被广泛应用到数学、物理、光通信和其它科 学技术领域之中． 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得 到了一种特殊类型的常微分 方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝 塞尔函数．贝塞尔函数具有 一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交 完备性．
¥
Jk (x)zk
¥
Jn( y)zn
k =-¥
n = -¥
比较两边的 z m 项的系数，即得加法公式
+¥
å Jm (x + y) = Jk (x)Jm-k ( y)
k =-¥
3．贝塞尔函数的积分表达式
利用母函数公式(14.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到
(14.3.16)
x(z-1)
实际上由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数 Hn (x) ，又
称为汉克尔函数．
ìíîHHnn((12))
(x) (x)
= =
Jn Jn
(x) (x)
+ -
iNn iNn
(x) ( x)
（14.1.8）
并分别将
H (1) n
,
H(2) n
称为第一种和第二种汉克尔函数．
最后，总结n 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
+ 1)
( x )-n +2k 2
（14.2.1）
式中 G( x) 是伽马函数．当 n = n 整数时，上述的级数实际上是从 k = n 的项开始，即
å Jn (x)
=
¥
(-1)k
k=0
1 k !(n +
( x)n+2k , k)! 2
而
(n ³ 0)
(14.2.2)
å J-n (x)
=
¥
(-1)k
¹
k (m) j
时
ò r0 0
J
m
(ki(m
)
r
)J
m
(k
( j
m)
r
)r
dr
=
0