点集拓扑学期末复习材料

第五章 有关可数性的公理

① 几种可数性的关系

定理 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。

证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。对于每一个

x ∈X ，根据定理，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ．

定理 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．

证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个

非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B

这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集．

定理 （Lindelöff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间．

② 可数性的定义

定义 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空

间，或简称为2A 空间。

定义 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足

第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。

定义 设X 是一个拓扑空间，X D ⊂．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间． 定义 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ⊃⋃A

∈则称集族A 是集合B 的一

个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或

有限覆盖．

设集族A 是集合B 的一个覆盖．如果集族A 的一个子族A1也是集合B 的覆盖，

则称集族A1是覆盖A （关于集合B ）的一个子覆盖．

设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A 是X 的子集B 的

一个覆盖，则称集族A 是集合B 的一个开（闭）覆盖．

定义 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X

是一个Lindel öff 空间．

③ 可数性与序列

定理 设X 是一个拓扑空间．如果在x ∈X 处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域

基

{}+

∈Z

i i U 使得对于任何

+

∈Z i 有

1+⊃i i U U ，即

.........21⊃⊃⊃⊃i U U U

定理 设X 是一个满足第一可数性公理的空间，X A ⊂.则点x ∈X 是集合A 的一个凝聚点的

充分必要条件是在集合A －{x}中有一个序列收敛于x ．

④ 性质 Ⅰ. 拓扑不变性

定理 设X 和Y 是两个拓扑空间，f: X →Y 是一个满的连续开映射．如果X 满足第二可数性公

理（满足第一可数性公理），则y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．

Ⅱ. 遗传性

定理 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可

数性公理（满足第一可数性公理）的空间．

定理 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间。 可分空间的任意开子空间是可分的。

Ⅲ. 有限可积性 < 除Lindeloff 空间外 >

⑤ 特殊空间

度量空间：1A

R 、n

R ：2A 、1A 、可分 、Lindeloff 离散空间：

当X 是可数集：2A 、1A 、可分 、Lindeloff

当X 是不可数集：1A 、非2A 、非可分 、非Lindeloff 可数补空间： 当X 是可数集：2A

当X 是不可数集：Lindeloff 、非可分 、非1A （例） 、非2A

第六章 分离性公理

①几种分离性的关系

定理 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.

定理每一个完全正则空间都是正则空间.

②分离性的定义及其等价定义

0X T ⇔为空间,,,,,,.x y x y X x y U U y U V U x V ∀∈≠∈∉∈∉则或者使得或者使得,,,{}{}x y X x y x y ⇔∀∈≠≠则

⇔X 中每一个单点集都是闭集； ⇔X 中每一个有限子集都是闭集．

拓扑空间X 是正则空间⇔如果X x ∈∀及闭集X A ⊂，且A x ∉，则存在开领域

x U U ∈，开领域A U V ∈，使得φ=V U I 。

⇔如果X x ∈∀及∀开领域x U U ∈，∃开领域x U V ∈，使

得U V ⊂。

拓扑空间X 是正规空间⇔如果∀闭集X B A ⊂,，且φ=B A I ，则存在A U U ∈，

B U V ∈，使得φ=V U I .

⇔如果X A ⊂∀及∀开领域A U U ∈，∃开领域B U V ∈，

使得U V ⊂。

正则的1T 空间称为空3T 间，正规的1T 空间称为4T 空间．

[Urysohn 引理] 设X 是一个拓扑空间，[a ，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅

当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射f : X →[a ，b]使得当x ∈A 时f(x)=a 和当x ∈B 时f(x)=b ．

设X 是一个拓扑空间．如果对于任意x ∈X 和X 中任何一个不含点x 的闭集B ,存在一个连续映射f: X →[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y ∈B 有f(y)=1,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间．

完全正则的1T 空间称为Tychonoff 空间，或5.3T 空间．

1X T 为空间,,,,.x x y X x y U U y U ⇔∀∈≠∃∈∉则使得2X T ⇔为空间,,,,,x y x y X x y U U V U U V ∀∈≠∃∈∈⋂=Φ

则使得