三角形中位线定理

DE与BC有怎样的关系？
D
猜想：
B
两 DE条与线B段C的的关关系系
A E C
分析：
位DE置∥关B系C D数E量？关1系BC 2
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC 且 DE= 1 BC 2
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC，EF=DE
∴四边形ADCF是平行四边形
A
∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形
D
EF
∴ DF∥BC，DF=BC
又DE= 1DF
2 ∴DE∥BC且DE=
1
BC
2
B
C
三角形中位线定理： 有何作用？
三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半。
A
符号语言：
∵DE是△ABC的中位线，
18.1.2平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
DE是△ ABC的中位线
A
什么叫三角形
的中位线 呢？
D
E
B
C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。
画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线，
A
并说出中位线和中线的区别.
D
F
端点不同！
B
C
E
观察猜想
如图，DE是△ABC的中位线，
OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次
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连接点D、G、F、E.
证明：求证：四边形DGFE是平行四边形.
ABC中， AD BD，AE CE
A

DE=//
1 2
BC
OBC中， OG BG，OF CF D
E
GF=//
1 2
BC
O
DE=// GF
∴四边形DGFE是□
B
G
F C
例1：如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、
BD交于点O, 点E是CD的中点，BD=12，
求△DOE的周长. 15
OE 1 AD
2
ED 1 CD 2
A
D
OE ED
6
1 ( AD CD) 2
O
E
1 36
4
B
C
9
例2：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中
点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、
2
EF∥AB且EF= 1 AB
2
由此可知：……
1. 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和
12cm ，求连接各边中点所成三角形的A 周长.
14 cm
12 D
5
F6
36
B
C
E
10
2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连 接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是 什么？
ABCD各边中点。
求证：四边形EFGH为平行四边形。
证明：连接AC
AE H
D
G
∵ E、F是AB、BC边中点
1
B ∴EF∥AC且EF＝ AC
F
同理：HG
∥
2
AC且HG
＝
1
AC
2
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG C
∴四边形EFGH为平行四边形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理.
3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第 三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在 三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.
5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学 方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)
例3：如图，△ABC中，D是AB上一点，且 AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：ACD中， AD AC，AE CD
CE DE
C
CF BF
BD 2EF
EF
A
B
D
例4：如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是 ∠ B AC的平分线 ， BD⊥AD于D，AB=12， AC=18. 求DM的长.
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
C
N
B
分别找出AC和BC的中点M、N.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
3.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能 在图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
C
E
典型例题
D
E
（ ∵AD=BD, AE=CE )
∴DE∥BC且DE= 1 BC
B
C
2
这个定理提供了证明线段平行以及
线段成倍分关系的根据.
A
如图，D、E、F分别是△ABC的
三边的中点，那么，DE、DF、EF都
D E 是△ABC的中位线。
DE∥BC且DE= 1 BC
B
C
2
F 同理:DF∥AC且DF= 1 AC；
△ ADB ≌ △ ADN A
12
18
N
D
6
B
3
M
C
例5：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，且AC=BD ，E，F分别是AB，CD 的中点，EF分别交BD，AC于点G , H。
求证：OG=OH
D
MF // 1 BD
=2
AO
F
ME // 1 AC
=2
E GH
B
M
C
例6：已知: 如图,点E、F、G、H分别是四边形