特征函数
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概 率 论
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(Ω , F , P ) 上的随机变量 它 上的随机变量, 定义 的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
jtX
) 为X 的特征函数 的特征函数.
=e
jtC
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概 率 论
设随机变量X 服从参数为p 分布(两点分布 例4.1.2 设随机变量 服从参数为 的0-1分布 两点分布 求其 分布 两点分布), 特征函数. 特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
φ ( t ) = e jt ×1 p+e jt ×0 ( 1-p )
ϕY ( t ) = e ϕ X (at )
jbt
φY ( t ) = Ee itY
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= Ee = EeitaX ⋅ e itb = e itbϕ X ( at )
it aX+b) （
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概 率 论
性质4.1.3 随机变量 的特征函数ϕ (t ) 在R上一致连续 随机变量X 上一致连续. 性质 上一致连续
四、反演公式及唯一性定理 1 F ( x2 ) − F ( x1 ) = lim T → ∞ 2π e − jtx1 − e − jtx2 dt ∫−T jt
T
反演公式 (4.1.8)
= P{ x1 ≤ X < x2 }
连续点: 连续点
F ( x ) = lim [ F ( x ) − F ( x1 )]
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(Ω , F , P ) 上的随机变量 它 上的随机变量, 定义 的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
jtX
) 为X 的特征函数 的特征函数.
的特征函数, 有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数 其中 j = − 1, t ∈ R. 记X 的特征函数为ϕ X (t ), 在不会引起混乱的情况下简写为ϕ (t ).
的特征函数, 有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数 其中 j = − 1, t ∈ R. 记X 的特征函数为ϕ X (t ), 在不会引起混乱的情况下简写为ϕ (t ).
e
jtX
= cos tX + j sin tX
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ϕ ( t ) = E (e jtX )
= E(cos Xt )+jE(sin Xt )
∑ ϕ (t
n
r
− t s )zr z s ≥ 0
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概 率 论
波赫纳-辛钦定理 连续,非负定且 波赫纳 辛钦定理 若函数 ϕ ( t ), ( t ∈ R ) 连续 非负定且 ϕ (0) = 1 , 必为特征函数. 则 ϕ (t ) 必为特征函数
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概 率 论
3. 特征函数的计算 e jtX = cos( tX ) + j sin( tX ) ϕ ( t ) = E (e jtX ) +∞ = ∫ e jtX dF ( x )
+∞ −∞ −∞
= ∫ cos( tx )dF ( x ) + j ∫ sin( tx )dF ( x )
k
k
φ ( t ) = ∑ e itk
k =0 ∞
∞
λ k e−λ
k!
k （e it λ） = e−λ ∑ k! k =0
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=e e =e
−λ
λ e it
（ λ e it - 1）
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概 率 论
设随机变量X 的均匀分布, 求其特征函数. 例4.1.5 设随机变量 服从[− a , a ] 的均匀分布 求其特征函数
∫
+∞
−∞
e − jtxϕ ( t )dt
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概 率 论
设随机变量X 例 设随机变量 的特征函数
ϕ (t ) = e
1 − t2 2
求随机变量X 的密度函数. 求随机变量 的密度函数
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概 率 论
定理4.1.3 设X 为取整数值及 的随机变量 其概率函数为 为取整数值及0的随机变量 的随机变量, 定理 P{ X = k } = pk 其特征函数为
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概 率 论
设随机变量X 服从退化分布, 例4.1.1 设随机变量 服从退化分布 即 P{ X = c } = 1 的特征函数. 求X 的特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
φ ( t ) = ∑ e jtx pk
k
k
= e jtC × 1
∞
k = L − 3,−2,−1,0,1,2,3,L
ϕ ( t) =
1 pk = 2π
k = −∞
pk e jtk ∑
则
∫π
−
π
e − jtkϕ ( t )dt
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概 率 论
为只取0到 的整数的离散型随机变量 的整数的离散型随机变量,且其特征函数为 例 设X为只取 到n的整数的离散型随机变量 且其特征函数为 为只取
虚数单位
i j
i = −1, i = − 1
2
j 2 = −1 ,
j = −1
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Z = a + bj
jt
Z = a + bj =r(cos θ + i sin θ )
e = cos t + j sin t
欧拉公式
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概 率 论
2. 复随机变量的数学期望 若复随机变量为 Z = X + jY 其中X, 均为实随机变量, 其中 Y 均为实随机变量 则Z 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + jE (Y )
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概 率 论
随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。
= e jt p+q
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概 率 论
设随机变量X 服从参数为n, 的二项分布, 求其特征函数. 例4.1.3 设随机变量 服从参数为 p 的二项分布 求其特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
k φ ( t ) = ∑ C n p k ( 1-p ) k =0 n n− k
x1 → −∞
1 = lim lim x1 → −∞ T → ∞ 2π 不连续点: 不连续点
e − jtx1 − e − jtx ϕ ( t )dt ∫−T jt
T
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F ( x + 0) + F ( x ) ~ F ( x) = 2 ~ ϕ (t ) ↔ F ( x )
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概 率 论
二、特征函数的性质 性质4.1.1 随机变量 的特征函数满足 随机变量X 的特征函数满足: 性质 (1) | ϕ ( t ) |≤ ϕ (0) = 1;
( 2) ϕ ( − t ) = ϕ ( t ).
性质4.1.2 设X 的特征函数为 X (t ) , 则 Y = aX + b的特征函数为 ϕ 性质
T
(4.1.8)
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x1 + x 2 x2 − x1 ,h = , 若记 a = 2 2
1
则(4.1.8)等价于 等价于
T
sin th − jta F (a + h) − F (a − h) = lim ∫ e ϕ ( t )dt T → ∞ π −T t
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性质4.1.4 随机变量 的特征函数ϕ (t ) 是非负定的 即对任意正 随机变量X 是非负定的,即对任意正 性质 整数n, 整数 任意复数 z1 , z 2 ,L, z n , 以及 t r ∈ R, r = 1,2,L, n, 有
r , s =1
φ ( t ) = ∫ e jtX λ e − λ x dx 0
= ∫ （cos tx + i sin tx )λ e − λ x dx
0 +∞
= λ∫ =
+∞
0
cos txe
2 2
−λ x
dx + i λ ∫
+∞
0
sin txe
−λ x
dx
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λ
2
λ +t
+i
λt λ +t
2 2
ϕ ( t ) = (q + pe jt )n
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概 率 论
四、反演公式及唯一性定理 定理4.1.2(反演公式 设随机变量 的分岂有此理函数和特征函 反演公式) 设随机变量X 定理 反演公式 数分别为F ( x ) 和 ϕ (t ) , 则对于F ( x ) 的任意连续点 x1 和x2 ( x1 < x2 ) , 有 1 F ( x2 ) − F ( x1 ) = lim T → ∞ 2π e − jtx1 − e − jtx2 ϕ ( t )dt ∫−T jt
e itk
n− k
k = ∑ C n ( p e it )k ( 1-p ) k =0
n
广
= ( pe +q)
jt
n
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设随机变量X 的泊松分布, 求其特征函数. 例4.1.4 设随机变量 服从参数为 λ 的泊松分布 求其特征函数
概 率 论
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
概 率 论
推论1(惟一性定理 推论 惟一性定理) 分布函数 F1 ( x ) 及 F2 ( x ) 恒等的充分必要条 惟一性定理 恒等. 件为它们的特征函数 ϕ 1 ( t ) 及ϕ 2 ( t ) 恒等
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概 率 论
推论2 设随机变量X 上绝对可积, 推论 设随机变量 的特征函数 ϕ (t )于R 上绝对可积 则X 为具 的连续型随机变量, 有密度函数 f ( x ) 的连续型随机变量 且 1 f ( x) = 2π
概 率 论
第四章 特征函数
§4.1 一维特征函数的定义及其性质 §4.2 多维随机变量的特征函数 §4.3 母函数
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概 率 论
§4.1 一维特征函数的定义及其性质
一、定义及例 二、性质 三、特征函数与矩的关系
广
四、反演公式及惟一性定理
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概 率 论
三、特征函数与矩的关系 定理4.1.1 设随机变量 的n 阶矩存在 则X 的特征函数ϕ (t ) 的 设随机变量X 阶矩存在, 定理 k 存在, 阶导数 ϕ ( k ) ( t ) 存在 且
E ( X k ) = j − kϕ (k ) (0)
k≤n
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ϕ ( t ) = E (e
f( x)=
jtX
)=
∫
jtx
+∞
−∞
e
jtX
f ( x )dx
1 2a 0,
a −a
, −a ≤ x ≤ a , 其他
φ( t ) = ∫ e
1 dx 2a
x=a x =− a
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1 jtx e = 2ajt
当t=0时， 时
φ( 0 ) = ∫
+∞
1 = sin at at
(t ≠ 0)
−∞
e 0 f ( x )dx =1
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设随机变量X 的指数分布, 求其特征函数. 例4.1.6 设随机变量 服从参数为 λ 的指数分布 求其特征函数
概 率 论
φ ( t ) = E( e
jtX
)= ∫
+∞
+∞
−∞
e jtX f ( x )dx
e jtX = cos( tX ) + j sin( tX )
ϕ ( t ) = E (e jtX )
= ∫ cos( tx )dF ( x ) + j ∫ sin(tx )dF ( x )
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞
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= ∫ e jtX dF ( x )
−∞
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−∞
+∞
(1) 离散型 (2) 连续型
ϕ ( t ) = E (e jtX ) = ϕ ( t ) = E (e jtX ) =
e jtxk pk ∑
k
∫
+∞
−∞
e
jtX
f ( x )dx
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X的特征函数就是 的函数的期望，此时的函数是 由X 的特征函数就是x的函数的期望 的特征函数就是 的函数的期望， 构造出来的复值随机变量的期望。 构造出来的复值随机变量的期望。
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一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(Ω , F , P ) 上的随机变量 它 上的随机变量, 定义 的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
jtX
) 为X 的特征函数 的特征函数.
=e
jtC
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设随机变量X 服从参数为p 分布(两点分布 例4.1.2 设随机变量 服从参数为 的0-1分布 两点分布 求其 分布 两点分布), 特征函数. 特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
φ ( t ) = e jt ×1 p+e jt ×0 ( 1-p )
ϕY ( t ) = e ϕ X (at )
jbt
φY ( t ) = Ee itY
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= Ee = EeitaX ⋅ e itb = e itbϕ X ( at )
it aX+b) （
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性质4.1.3 随机变量 的特征函数ϕ (t ) 在R上一致连续 随机变量X 上一致连续. 性质 上一致连续
四、反演公式及唯一性定理 1 F ( x2 ) − F ( x1 ) = lim T → ∞ 2π e − jtx1 − e − jtx2 dt ∫−T jt
T
反演公式 (4.1.8)
= P{ x1 ≤ X < x2 }
连续点: 连续点
F ( x ) = lim [ F ( x ) − F ( x1 )]
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(Ω , F , P ) 上的随机变量 它 上的随机变量, 定义 的分布函数为 F ( x ), 称 e jtX 的数学期望 E (e
jtX
) 为X 的特征函数 的特征函数.
的特征函数, 有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数 其中 j = − 1, t ∈ R. 记X 的特征函数为ϕ X (t ), 在不会引起混乱的情况下简写为ϕ (t ).
的特征函数, 有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数 其中 j = − 1, t ∈ R. 记X 的特征函数为ϕ X (t ), 在不会引起混乱的情况下简写为ϕ (t ).
e
jtX
= cos tX + j sin tX
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ϕ ( t ) = E (e jtX )
= E(cos Xt )+jE(sin Xt )
∑ ϕ (t
n
r
− t s )zr z s ≥ 0
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波赫纳-辛钦定理 连续,非负定且 波赫纳 辛钦定理 若函数 ϕ ( t ), ( t ∈ R ) 连续 非负定且 ϕ (0) = 1 , 必为特征函数. 则 ϕ (t ) 必为特征函数
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3. 特征函数的计算 e jtX = cos( tX ) + j sin( tX ) ϕ ( t ) = E (e jtX ) +∞ = ∫ e jtX dF ( x )
+∞ −∞ −∞
= ∫ cos( tx )dF ( x ) + j ∫ sin( tx )dF ( x )
k
k
φ ( t ) = ∑ e itk
k =0 ∞
∞
λ k e−λ
k!
k （e it λ） = e−λ ∑ k! k =0
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=e e =e
−λ
λ e it
（ λ e it - 1）
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设随机变量X 的均匀分布, 求其特征函数. 例4.1.5 设随机变量 服从[− a , a ] 的均匀分布 求其特征函数
∫
+∞
−∞
e − jtxϕ ( t )dt
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设随机变量X 例 设随机变量 的特征函数
ϕ (t ) = e
1 − t2 2
求随机变量X 的密度函数. 求随机变量 的密度函数
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定理4.1.3 设X 为取整数值及 的随机变量 其概率函数为 为取整数值及0的随机变量 的随机变量, 定理 P{ X = k } = pk 其特征函数为
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设随机变量X 服从退化分布, 例4.1.1 设随机变量 服从退化分布 即 P{ X = c } = 1 的特征函数. 求X 的特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
φ ( t ) = ∑ e jtx pk
k
k
= e jtC × 1
∞
k = L − 3,−2,−1,0,1,2,3,L
ϕ ( t) =
1 pk = 2π
k = −∞
pk e jtk ∑
则
∫π
−
π
e − jtkϕ ( t )dt
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为只取0到 的整数的离散型随机变量 的整数的离散型随机变量,且其特征函数为 例 设X为只取 到n的整数的离散型随机变量 且其特征函数为 为只取
虚数单位
i j
i = −1, i = − 1
2
j 2 = −1 ,
j = −1
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Z = a + bj
jt
Z = a + bj =r(cos θ + i sin θ )
e = cos t + j sin t
欧拉公式
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2. 复随机变量的数学期望 若复随机变量为 Z = X + jY 其中X, 均为实随机变量, 其中 Y 均为实随机变量 则Z 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + jE (Y )
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概 率 论
随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。
= e jt p+q
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设随机变量X 服从参数为n, 的二项分布, 求其特征函数. 例4.1.3 设随机变量 服从参数为 p 的二项分布 求其特征函数
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
k
k
k φ ( t ) = ∑ C n p k ( 1-p ) k =0 n n− k
x1 → −∞
1 = lim lim x1 → −∞ T → ∞ 2π 不连续点: 不连续点
e − jtx1 − e − jtx ϕ ( t )dt ∫−T jt
T
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F ( x + 0) + F ( x ) ~ F ( x) = 2 ~ ϕ (t ) ↔ F ( x )
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二、特征函数的性质 性质4.1.1 随机变量 的特征函数满足 随机变量X 的特征函数满足: 性质 (1) | ϕ ( t ) |≤ ϕ (0) = 1;
( 2) ϕ ( − t ) = ϕ ( t ).
性质4.1.2 设X 的特征函数为 X (t ) , 则 Y = aX + b的特征函数为 ϕ 性质
T
(4.1.8)
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x1 + x 2 x2 − x1 ,h = , 若记 a = 2 2
1
则(4.1.8)等价于 等价于
T
sin th − jta F (a + h) − F (a − h) = lim ∫ e ϕ ( t )dt T → ∞ π −T t
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性质4.1.4 随机变量 的特征函数ϕ (t ) 是非负定的 即对任意正 随机变量X 是非负定的,即对任意正 性质 整数n, 整数 任意复数 z1 , z 2 ,L, z n , 以及 t r ∈ R, r = 1,2,L, n, 有
r , s =1
φ ( t ) = ∫ e jtX λ e − λ x dx 0
= ∫ （cos tx + i sin tx )λ e − λ x dx
0 +∞
= λ∫ =
+∞
0
cos txe
2 2
−λ x
dx + i λ ∫
+∞
0
sin txe
−λ x
dx
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λ
2
λ +t
+i
λt λ +t
2 2
ϕ ( t ) = (q + pe jt )n
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四、反演公式及唯一性定理 定理4.1.2(反演公式 设随机变量 的分岂有此理函数和特征函 反演公式) 设随机变量X 定理 反演公式 数分别为F ( x ) 和 ϕ (t ) , 则对于F ( x ) 的任意连续点 x1 和x2 ( x1 < x2 ) , 有 1 F ( x2 ) − F ( x1 ) = lim T → ∞ 2π e − jtx1 − e − jtx2 ϕ ( t )dt ∫−T jt
e itk
n− k
k = ∑ C n ( p e it )k ( 1-p ) k =0
n
广
= ( pe +q)
jt
n
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设随机变量X 的泊松分布, 求其特征函数. 例4.1.4 设随机变量 服从参数为 λ 的泊松分布 求其特征函数
概 率 论
φ ( t ) = E( e jtX ) = ∑ e jtx pk
概 率 论
推论1(惟一性定理 推论 惟一性定理) 分布函数 F1 ( x ) 及 F2 ( x ) 恒等的充分必要条 惟一性定理 恒等. 件为它们的特征函数 ϕ 1 ( t ) 及ϕ 2 ( t ) 恒等
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推论2 设随机变量X 上绝对可积, 推论 设随机变量 的特征函数 ϕ (t )于R 上绝对可积 则X 为具 的连续型随机变量, 有密度函数 f ( x ) 的连续型随机变量 且 1 f ( x) = 2π
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第四章 特征函数
§4.1 一维特征函数的定义及其性质 §4.2 多维随机变量的特征函数 §4.3 母函数
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§4.1 一维特征函数的定义及其性质
一、定义及例 二、性质 三、特征函数与矩的关系
广
四、反演公式及惟一性定理
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三、特征函数与矩的关系 定理4.1.1 设随机变量 的n 阶矩存在 则X 的特征函数ϕ (t ) 的 设随机变量X 阶矩存在, 定理 k 存在, 阶导数 ϕ ( k ) ( t ) 存在 且
E ( X k ) = j − kϕ (k ) (0)
k≤n
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ϕ ( t ) = E (e
f( x)=
jtX
)=
∫
jtx
+∞
−∞
e
jtX
f ( x )dx
1 2a 0,
a −a
, −a ≤ x ≤ a , 其他
φ( t ) = ∫ e
1 dx 2a
x=a x =− a
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1 jtx e = 2ajt
当t=0时， 时
φ( 0 ) = ∫
+∞
1 = sin at at
(t ≠ 0)
−∞
e 0 f ( x )dx =1
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设随机变量X 的指数分布, 求其特征函数. 例4.1.6 设随机变量 服从参数为 λ 的指数分布 求其特征函数
概 率 论
φ ( t ) = E( e
jtX
)= ∫
+∞
+∞
−∞
e jtX f ( x )dx
e jtX = cos( tX ) + j sin( tX )
ϕ ( t ) = E (e jtX )
= ∫ cos( tx )dF ( x ) + j ∫ sin(tx )dF ( x )
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞
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= ∫ e jtX dF ( x )
−∞
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−∞
+∞
(1) 离散型 (2) 连续型
ϕ ( t ) = E (e jtX ) = ϕ ( t ) = E (e jtX ) =
e jtxk pk ∑
k
∫
+∞
−∞
e
jtX
f ( x )dx
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X的特征函数就是 的函数的期望，此时的函数是 由X 的特征函数就是x的函数的期望 的特征函数就是 的函数的期望， 构造出来的复值随机变量的期望。 构造出来的复值随机变量的期望。