部分 机械系统弹性动力学基础

化简得
y( x, t )
(C1 sin
n
x C2sin
n
x) sin(n
)
(4 8)
式中：C1、C2、 ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边 界条件和振动的两个初始条件来决定。
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9
由于弦的两端固定，其边界条件为
x 0, y(0, t) 0
x
l,
y(l, t)
0
(4 9)
1 (t)
2(t ) t 2
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
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7
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
C1k
sin
(2k
1)
l
x, k
1,2,3
(4 27)
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前三阶主振型如图4-6（a）所示
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30
（3） 两端均固定。边界条件可表示为
U (0) U (l) 0
它相当于（ 4-24 ）中k= ∞的情形。其相应的频率为
从而求的其固有频率
sin n l 0
nk
0
cos0
l
kC1
sin
0
l
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于是得到系统的频率方程
EA0 cos0 l k sin 0 l (4 24)
由式（4-24）可以看出，对于不同k值，可解出不同的固 有频率。该方程是一个超越方程，利用曲线图寻找初值， 然后用数值计算程序可求得其解。令 b ，nl 把（4-24）
（2） 一端固定，一端自由。边界条件可表达为
x 0,U (0) 0; x l, dU 0 dx
由式（4-21）可知，其频率方程为
cosn l 0
nk
(2k 1)
2l
(2k 1)
2l
E , k 1,2,3,
(4 26)
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28
所以前三阶固有频率和主振型为
Uk (x)
此ωn≈ (2k-1) πα/2l，此时称为一端固定一端自由的情况； k→∞时，可知b ≈kπ,因此 ωn≈kπα/l，此时成为两端固定的情
况。
另外图4-5可以看出，当频率增大时弹簧对系统固有 频率的作用将减小，因此非常硬的弹簧可以有效地阻止低频 段模态的位移，而同一系统的高频模态将很少受弹簧存在的 影响。这种倾向具有一般性。
x
由牛顿定律，可得该微分段的运动微分方程
dm 2u N dx t 2 x
将（4-17）和dm代入上式，得
A
2u t 2
x
( AE
u ) x
(4 18)
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21
式（4-18）表示变成截面直杆的轴向振动微分方
程，若已知A(x)，即可求出此方程的解。
对于等截面的均质直杆，A、E均为常数，式（418）可化简为
阵形式，取得响应的主振型
0.707
u1 1.000,
0.707
1
u1
0
,
1
0.707
u1 1.000,
0.707
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17
➢近似的三自由度系统的主振型用虚线在42（a）中。与连续系统的精确主振型比较，
低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加， 误差增大。
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y(x,t) Y (x)(t) (4 2)
上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而与 时间无关； Ф（t）是弦的振动方式，仅为时间t的函数。
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6
将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入 （4-1），得
Y (x) 2(t) a2(t) 2Y (t)
2t
2x
移项后得
连续系统的振动
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1
•弦的振动 •杆的轴向振动 •圆轴的扭转振动 •梁的横向振动
在分析时，假定材料是均匀连续和各向相同性 的，服从胡克定律，运动是微幅的，是一个线性 系统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。
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2
第一节 弦的振动
在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲及
压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电缆、 皮带等。
为了将连续系统与离散 系统的动力学特性比较，现 将弦离散成三个自由系统， 如图4-2（b）所示。
14
由m1= m2= m3=ρAl/4 ， k11= k22= k33=8F0/l k12= k21= k23= k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为
m1 0
0
m2
0 0
y1 y2
在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即
y( x, t )
C1k
sin
nk
sin(nk
k
)
(4 16)
从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的特
性与多自由度系统的特性是一致的。不同的事，多自由 度系统的主振型是以各质点之间的振幅比来表示的，而 弦振动中质点的数趋于无穷多个，质点振幅采用振型函
(4 13)
式中: ωnk为第k阶的固有频率。
该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主 振型为
Yk (x)
C1k
sin nk
x
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 14)
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11
对应主振型为
yk (x,t)
C1k
sin
nk
sin(nk
k ),k
1,2,3
(4 15)
18
第二节 杆的轴向振动
在工程问题中，常见以承受轴向力为主的直杆零件， 入连杆机构的连杆、凸轮机构的挺杆等，它们同样存在
着沿杆轴线方向的轴向振动。其简化力学模型入图4-3。 •
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19
设杆的密度为ρ，截面积变化规律为A(x)，截面抗拉刚 度为EA(x)。假设杆的横截面积在轴向振动过程中始终保持为 平面，杆的横向变形也可以忽略，即在同一横截面上各点仅
数Y=（x）表示。
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12
例 4-1 求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频
率和响应的主振型，并作出主振型图。
解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为
n1
l
F0
A
,
n2
2
l
F0
A
,
n3
3
l
F0
A
同样，将ωn1 ～ ωn3代入（4-13），可得前三阶主振型
Y1 ( x)
作为简单函数的一个量写成如下形式
EA b tan b (4 25) kl
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26
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式（4-25） 的根与 上式两边两个函数曲 线的交点相对应，如 图4-5 所示。
不论k为何值， 频率方程的根都落 在 π/2<b<π,3π/2<b<2π,5π /2<b<3π之间。
27
(4 23)
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24
式（4-23）第二部分右边取负号是由于位移原来为正 而确定，在x=l处轴向位移取正，改为以使弹簧缩短，
因此与正位移相关的弹力是压缩力，即N=-ku，因此
在这种情况下x=l处单一的边界条件是
EA dU kU(l) dx
将式（4-23）代入（4-22）得
C2
0,
EAC1
A
2 y t 2
F0
2 y x 2
dx
(4 1)
设 a F0 A ，a为波长沿弦长度方向传播的速度，
则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通 常称为波动方程。
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5
在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各 质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平 衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无 关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设 （4-1）的解为
将(4-9)代入 (4-8)得
Baidu Nhomakorabea
显然有
C2
0,
C1
s
in
nl
0
sin nl 0
(4 10)
(4 11)
式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为
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nl k , k 1,2,3, (4 12)
10
从而可得弦振动的固有频率为
nk
k
l
k
l
F0 , k 1,2,3
A
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33
例 4-2 一个等截面均质直杆如图4-7所示。设
原有一个力F作用于自由端，当t=0瞬时将力F卸除。
求杆的运动规律u（x，t）。
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34
解：由式（4-26）、 （4-27）求出一端固定一端自由条
sin
n
x
C2
sin
n
x) sin(n
)
(4 21)
U (x)
C1 sin
n
x C2sin
n
x
(4 22)
式中C1、C2、 ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边界条 件和振动的两个初始条件来决定。
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23
一般情况下，杆的轴向自由振动是无限多阶主振动的 叠加，即
u(x,t)
dm Adx
考虑到 F0远大于弦的重 力，对于微振动来说，假设 个截面处的张力均相等，且 等于初张力F0。微段左右手两 个大小想的但方向不同的张
力，如图 4-1（b）所示。由
牛顿定律可写出沿y方向的运 动微分方程
2
t
y
2
dm
Fy
4
2 y t 2
Adx
F0
y
x
2 y x2
dx
F0
y x
化简后得到
n1
3.059 l
F0
A
,
n2
5.657 l
F0
A
,
n3
7.391 l
F0
A
结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加， 误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应 把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取 决于对精度的要求。
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16
• 运用式（2-6），将ωn1 ～ ωn3代入特征方程的矩
k11 k 21
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
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4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
15
解得固有频率为
这类构件的振动问题称为弦的振动
如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力F0
拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由振 动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的函 数，因此，位移曲线可以表达为
y y(x,t)
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3
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设弦为均质，密度为ρ、 截面积为A。在弦上x处取微
分段dx，其质量为
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32
从上述分析可以看出，端部从自由端变化到固定端，
随着刚性的增加，各固有频率随之提高，基频提高了一倍。
为了进一步说明这个结论，由图4-5可知，在一端固 定一端连接刚度为k的弹簧情况下，随着k的增大，各阶固有 频率均有增大的趋势，并且在 k →0时，可知b ≈(2k-1)/2 π,因
(C1k
k 1
sin nk
x C2k
sin nk
x) sin(nk
)
讨论几种常见的端点边界条件时固有频率和主振型。
(1) 一端固定一端连接刚度为k的弹簧，如图4-4所示 。
因端点的边界条件仅为x，故可用振型函数U（x）来描
述，即
x 0,U (0) 0
x l, EA dU dx
kU(l)
在x方向作相对位移，所以可用u（x，t）表示截面的位移，
是x与时间t的函数。
取微分段dx，如图4-3（b）所示
其质量为dm Adx
左右截面的位移分别为u, u u dx
故微分段的应变为 u x
x
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20
两截面上的轴向内力分别为N和N N dx，对细杆，
轴向力可表示为
x
N EA EA u (4 17)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
(t) C sin(wnt )
(4 6)
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8
由（ 4-5）可解出振型函数，得
Y (x)
A1 sin
wn
x
B1
c
os
wn
x
(4 7)
它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期 为 2 wn。将（4-6）、（4-7） 代入（4-2）
k
l
k
l
E , k 1,2,3, (4 28)
对应主振型
Uk (x)
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 29)
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31
所以前三阶的主振型为
n1
l
E
,U1 ( x)
C11
sin
l
x
n2
2
l
E
,U2 (x)
C12
sin
2
l
x
n3
3
l
E
,U3 (x)
C13
sin
3
l
x
前三阶主振型如图4-6（b）所示
2u t 2
E
2u x 2
(4 19)
令 E
记得到与弦振动方程式（4-1）相同的偏微分方程
2u t 2
2
2u x 2
(4 20)
式中： α为弹性纵波沿轴向的传播速度，m/s.
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用类似与本章第一节的分离变量的方法，可直接写出 （4-20）的解
u( x, t )
U
(
x)(t
)
(C1
C11 sin l
x,Y2 (x)
C12
sin
2
l
x,Y3 (x)
C13
sin
3
l
x
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13
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若以x为横坐标，Y(x)为纵 坐标，并令Ck1=1（k=1，2，3） 则可作出前三阶主振型，如图 4-2 （ a ） 所 示 。 图 4-2 中 振 幅 式中为零的点称为节点，节点 数随振型阶次而增加，第n阶 主振型有n-1个节点。