高中数学函数的基本性质知识梳理

函数的基本性质

【考纲要求】

1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】

【考点梳理】

1．单调性

（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，

那么就说函数在区间D 上单调递减。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法：

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法

设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

()u g x =

()y f u =

[()]y f g x =

增 增 增 增 减 减 减 增 减 减

减

增

函数的基本性质 奇 偶 性

单 调 性

周 期 性

导数证明法：

设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）

；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。

图像法：

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔

)

()

(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔

)

()

(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)延伸

(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有 f(x)=

2)()(x f x f -++ 2

)

()(x f x f --=g(x)+p(x)

其中,g(x)=

2)()(x f x f -+为偶函数,p(x)= 2

)

()(x f x f --为奇函数.

即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0. (3)奇(偶)函数图像的特征 (Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. (4)奇偶性与单调性的联系

当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题: 设G,G ＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有 (Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同； (Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反． 这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反． 【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间 例1.证明函数()(0)a

f x x a x

=+>在区间(,)a +∞是增函数。 解：设21x x a <<，

2

12

22

111

2

2112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 2

1211221121221)

)(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=

21x x a << 012>-∴x x

a x x >21 0)()(12>-∴x f x f

∴函数()(0)a f x x a x

=+>在区间(,)a +∞是增函数。

举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21

y x

=. 解：(1)⎩⎨

⎧-<---≥+=)

1x (1x )

1x (1x y 画出函数图象，

∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=

-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，u

y 1

=在(-∞，0)