初中定值问题

苏州市2015--2016学年初三数学定值问题专题复习

课前演练：

一、选择题

1．(2015·潍坊)如图，直线l 是一条河，A ，B 两地相距5 km ，A ，B 两地到l 的距离分别为3 km ，6 km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A ，B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )

2.(2015·甘肃)如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD ＝6米，若由l 上一点分别向A ，B 连线，最短为( )

A ．11米

B ．10米

C ．9米

D ．8米

（第2题图) （第3题图) 3．如图，AC ⊥BC 于C ，连接AB ，点D 是AB 上的动点，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则

点C 到点D 的最短距离是( ) A ．6 B ．8 C .403 D .245

（第4题图) ,第5题图) ,第6题图)

4．(2015·贵阳模拟)如图Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为( )

A ．2 5

B ．2 3

C ．25＋2

D ．23＋2

二、填空题

5．如图，从直线外一点A 到这条直线的所有线段中，线段__ __最短．

6．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB ，理由是__ _ _．

7．如图，在等腰三角形△ABC 中，∠ABC ＝120°，P 是底边AC 上的一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，若PM ＋PN 的最小值是2，则△ABC 的周长是__ __．

,第7题图) ,第8题图)

8．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM ＋PB 的最小值是9，则AB 的长是__ __．

9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．

,第9题图),第10题图)

10．如图，∠ABC＝45°，BC＝42，BD平分∠ABC交AC于点D，M，N分别是BD和BC上的动点(M与B，D两点不重合，N与B，C两点不重合)，则CM＋MN的最小值是__ __．

典型例题：

例1．小虎家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理．

例2．等边△ABC的边长是8，AD⊥BC，E是BD的中点，M，N分别是AB，AD上的动点，求MN＋EN的最小值．

例3．如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一定点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．(要求画出示意图，写出解题过程)

例4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝135°，点P，M，N分别为对角线BD及边BC，CD上的动点，求PM＋PN的最小值．

例5．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，求DQ＋PQ的最小值．

巩固练习：

一、填空题

1．在半⊙O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是_ __.

（第1题图) （第2题图) （第3题

图）

2．(2015·株洲)如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__ _．

3．(2015·莆田)如图，在反比例函数y ＝6x

上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y ＝－x 上有一动点P ，当P 点的坐标为__ _时，PA ＋PB 有最小值．

二、解答题

4．已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P 在y 轴上，求使得△PMN 的周长最小的点P 的坐标．

5．(2015·宁德)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为多少．

6．(2015·永州模拟)如图，已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H. (1)求抛物线的解析式；

(2)若点P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC 周长的最小值．

7．小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A ，B 在直线m 的同侧，在直线m 上找一点P ，使得AP ＋BP 的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B 关于直线m 的对称点B′，(b)连接A B′与直线m 交于点P ，则点P 为所求．

请你参考小明的做法解决下列问题：

(1)如图2，在等边△ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP ＋PE 的值最小，并求出最小值；

(2)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，G 为边AD 上的中点，若E ，F 为AB 边上的两个动点，点E 在点F 的左侧，且EF ＝1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图3中确定点E ，F 的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF 的周长的最小值．