斯托克斯(stokes)公式

Q x

P y

cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz




R y

Q z
dydz


P z

(的法向量
n

(1,1,1). cos

cos

cos

1
)
3
的法向量的三个方向余 弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性


3
dxdy

3
1 2

3 2
.
Dxy
y
1
x y1
Dxy
O
1x
法二 按斯托克斯公式,有
1 3


(1
y

1

1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
第七节 斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为 边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向与
的侧符合右手规则，函数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数, 则有公式



R y

Q z
dydz


P z

R x
dzdx


Q x

P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有



R y

Q z

cos

P z

R x

cos


R x
dzdx


Q x

P y
dxdy.
Γ的正向与Σ的侧符合右手规则: 当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时,
拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同. 称Γ 是有向曲面Σ的正向边界曲线.
n 右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
Stokes公式的实质
表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系.
注 当Σ为 xOy 坐标面上的平面区域时, 斯托克 斯公式就是格林公式, 因此斯托克斯公式是格林 公式在曲面上的推广.
斯托克斯公式可写成
dydz


x
P
dzdx
y Q
dxdy
z Pdx Qdy Rdz
:x yz1
zdx xdy ydz
dS 3dxdy
111
cos cos cos
333


x
y
z
dS


x
y
dS z
PQR
zxy
11

1 3


x
y
zx
3 dxdy 3
Dxy
2
1
dS z y
R
上述形式便于记忆. 另一种形式
cos cos cos


x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
PQR
其中n (cos,cos ,cos )
旋度的定义
i jk
称向量 为向量场的旋度(rotA). x y z
PQR
i jk
旋度
rotA



x y z
PQR

(R

Q
)i

(P

R)
j

(Q

P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1

x
y
z
dydz dzdx dxdy

zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy