共轭复数及复数模的性质

复数的四则运算
——共轭复数的性质及 ——共轭复数的性质及 复数模的运算性质
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一、共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数 共轭复数. 互为共轭复数. 的共轭复数记作 复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作 ∈
z
即 z = a − bi
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共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z = a − bi ∈
(1) | z |=| z |
(2)z + z = 2a ∈R
(3)z − z = 2bi −−−−零实数或纯虚数 2 (4)zz = z
(5)z1 +Leabharlann Baiduz2 = z1 + z2 (6)z1 − z2 = z1 − z2 (7)z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
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z1 z1 = z2 z2
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推广： = z （n ∈ N ） z
n n *
例3 求复数z = （3 − 4i）
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3 1 4 − i ⋅ ( 3 + 2i ) 2 2
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的模。
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1 例4 : 若z为复数，且 − 2 < z + < 2，求 z 。 z
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例5 z1 − z 2 若复数z1 ≠ z 2， 1 = 2，求 z 的值。 2 − z1z 2
z1 z1 (8) = ( ) z2 z2
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例1: 求证：一个复数z = a + bi(a, b ∈ R)是实数的 充要条件：z = z
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例2 1 求证：虚数z满足 z = 1的充要条件是：z+ 是实数。 z
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二、复数模的运算性质
z1 − z 2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
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例6 :已知复数z1，z2 . (1)求证：z1 ⋅ z 2和z1 ⋅ z2互为共轭复数。 （2）记R=z1 ⋅ z 2 + z1 ⋅ z2，S=z1 ⋅ z1 + z2 ⋅ z2，问R与S能否比较大小？ 若能，请比较R与S的大小；若不能，请比较 R 与 S 的大小。
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小 结
灵活运用共轭复数的性质及复数模的 运算性质 注意解决复数问题的常用方法：复数 问题实数化