工程力学第八章

(b)
扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。
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扭
转
7
一传动轴的计算简图如图所示，作 用于其上的外力偶矩之大小分别是：TA=2 kN· m, TB=3.5kN· m , TC =1 kN· m , TD = 0.5 kN· m , 转向如 图。试作该传动轴之扭矩图。
TA TB TC TD
a
C
a
D
MT (kN· m)
1.5
0.5 +
x
2
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扭
转
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思考题6-7 作杆的扭矩图。
0.1 m 4 kN 1 kN 0.2m 1m 1m
2 kN
0.1 m
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扭
转
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思考题6-7参考答案
0.1m 4 kN 0.2m 1m MT /kN· m x 1 kN 1m
df 2 M T G r dA dx A 整个横截面面积A范围内每个微面积dA乘以它 到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质， 称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：
I p r 2 d A （单位：mm4或m4）
A
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扭
转
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df 2 M T G r dA dx A
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扭
转
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t
t t
p
剪切比例 极限
O
g
图中的线性关系为 t = Gg 上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于 薄壁圆筒。 ( 拉压胡克定律 s = Ee) 式中 G—材料切变模量，量纲为MPa。如各种钢的 切变模量均约为8.0×104 MPa，至于剪切比例极限， 则随钢种而异；Q235钢，tp =120 MPa。
MT 1 2
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扭
转
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思考题8-3(1)答案：
MT
2 1 G1=G2=G
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转
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思考题8-3(2)答案：
MT
2 1 G1=2G2
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转
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8.2.2 极惯性矩和抗扭截面模量Ip和Wp 主要计算实心圆截面和空心圆截面。
Ip r d A
A
1 a
B
2 a
C
3 a
D
TA
1 MT 1 x
A
1
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例题 6-6
TA
1 TB 2 TC 3 TD TA TB 2 MT 2 x A
1 a
B
2 a
C
3 a
D
A
B
2
2-2截面：
得
∑Mx（F）= 0 MT2 - TB + TA = 0 MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kN· m
式中 r为圆筒外半径。
但，此关系还未与T建立联系。
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扭
转
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通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外 加力偶矩在某一范围内时，扭转角f 与外力偶矩T之 间成正比。
T
t MT /(2π r02 )
g Φr /l
O
f
t
t t
p
剪切比例 极限
O
g
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扭
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改写成
t max
Ip 其中抗扭截面模量 WT ， 常用单位：mm3或m3 。 r 上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线 性弹性范围内受扭情况。
MT WT
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思考题8-2 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之 横截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘 出水平直经AB上各点处切应力的变化图。
例题 6-6
A
a
B
a
C
a
D
解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的 扭矩，即可作出扭矩图。
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例题 6-6
TA
1 TB
2
TC
3 TD
分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右图 所示。 考虑1-1截面 1-1截面： ∑Mx（F）= 0 得 MT1 + TA = 0 MT1=TA= -2 kN.m
T
φ
MT（ MT =T）
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转
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这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用 静力学关系 M t d A r
T
A
r —— 用平均半径r0代替
则 从而有
M T t r0 d A t r0 A
t M T /( r0 A)
A
M T /( r0 2 π r0 )
m b b T ′ o′ b O B m m MT T x
l
m
由
即
∑Mx（F）=பைடு நூலகம்0
T – MT = 0 MT = T
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扭
转
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扭矩的正负号由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩MT的转向相 同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反 之为负。 例：
MT MT
(a)
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转
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沿外圆周的切向，如下图所示。
T φ
MT（ MT =T）
上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； (2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；
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扭
转
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(3) 薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的 切线。 对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点 处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向 变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的 切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。
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4
T a
A m O o
m
b b T o′ b′ O B
m
l
T
m
MT x
由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩， 常用符号MT表示。
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5
T
a A O o
2 kN
0.1m
O
0.4
0.2
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扭
转
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我们在讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：
T a |m T b b′ A T |m l m MT A O′ B
x
T x B
m MT
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扭
转
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杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转 变形，产生相对扭转角 bO′b(B截面相对于A截面）， 受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT 。 本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直 圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简 单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）
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扭
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例题 6-6
同理得 MT3 = 0.5 kN· m 由此,可作扭矩图如下：
TA TB TC TD
A
a
B
a 1.5
C
a
D
MT (kN· m)
0.5 +
x
2
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思考题6-6 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？
TA TB TC TD
A
a
B
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T a
T b O′ B
b′
A
(2) 平截面假设
等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那 样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横 截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只 是绕圆心旋转了一个角度。
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dx
MT
gr
MT
r
df
g
Ip r2d A
A
df M T d x GIp
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df M T d x GIp
又 故
df t r Gg r Gr ( ) dx MTr tr Ip
上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力 的计算公式。 若求tmax，则令r =r，有 M Tr t max Ip
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思考题 8-1
受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力 还是切应力？为什么？
答：切应力，因为与正应力相应的分布内力 之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。
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§8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变
T
g (rad)
T
φ
l
平均半径为 r。厚度为 且δ«r。
(8-1) M T /( 2 π r0 ) 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算 公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情 况下导出的。
2
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当 /r0=10％ ，其误差为4.5％。
T
g (rad)
T
φ
l
至于切应变，由上图得 g l r 则 g r/l
T
r
max
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3. 静力学关系：
df t r Gg r Gr ( ) dx
(2)
上式与MT没有联系起来。 若等截面圆杆在MT 作用下，则t 如何？
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df t r Gg r Gr ( ) dx
A
(2)
MT t r r d A
取微段dx分析：得半径为r的任意圆柱面上的切 应变。 r df df (1) g r tan g r r( ) dx dx 式中：d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常
(a)
量。这样，等直圆杆受扭时，r与gr 成线性关系。
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2. 物理关系： 由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1) 式代入，得： df (2) t r Gg r Gr ( ) dx 上式表明：受扭的等直杆在 线性弹性范围内工作时，横截面 上的切应力在同一半径r的圆周 M 上各点处大小相同，但它们随r t r 作线性变化，同一横截面上的最 t 大切应力在圆周边缘上（图(b))， (b) 方向垂直于各自的半径。
8.2.1 横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时， 我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在 受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。 现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横 截面上距圆心为任意半径r 的一点处切应力 tr与r的关系。
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扭
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1
第8章 扭
转
§8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能
§8-5 矩形截面杆的扭转
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§8-0 扭矩和扭矩图
A l
B
T a A l O o
MT A
.
O
B
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思考题8-2参考答案:
MT
A
O
B
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思考题8-3 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。 整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿 水平直经的变化图，若(1) 两杆材料相同，即 G1=G2=G；(2) 两材料不同，G1=2G2。
首先观察受扭时，表面的 变形情况，据此作出涉及 杆件内部变形情况的假设， 最后还要利用应力和应变 之间的物理关系。 (1) 几何关系 (2) 物理关系
(3) 静力学关系
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1. 几何关系： 如下图，实验表明：
T a T b O′ B
b′
A
(1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕 杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形 较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变 了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量 （以弧度计）称之为切应变。
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T
g (rad)
T
φ
l
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系
b b ′ o b′ O T
B
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扭
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3
T
m
a
A
O o
b b T o′ b′ O B
m
l
如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作 用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为 螺旋线ab′, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如 B截面相对于A截面转过一角度∠bOb′。 为了分析横截面上的内力，取m--m截面。
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转
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理论分析和实验都表明，对于各向同性材料， 剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列 关系：
E G 2(1 n )
泊松比
以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。 它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。
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§8-2 圆杆扭转时的应力与变形