工程力学专业课件第八章

d A r T 根据应力分布可知 由 A
dA
m
x
r0 d A T，于是有
A
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
引进 A0 πr ，上式亦可写作
2 0
T 2 A0
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律
1. 单元体·切应力互等定理 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切 向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处
T (-)
9
例题8-1 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
kW。试作轴的扭矩图。
10
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 )kN m 15.9 kN m 300 150 M 2 M 3 (9.55 ) kN m 4.78 kN m 300 200 M 4 (9.55 )k N m 6.37 kN m 300
r0 薄壁圆筒——通常指 10 的圆筒 Me Me m
O r0

m Me m
l
T
当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面
上的内力偶矩——扭矩
T Me
17
m
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律
Me
Me
g
A D BC
j
推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面， 即横截面如 同刚性平面一样；
(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横
截面之间的距离未变。
18
Me
m r0
dA
m
ห้องสมุดไป่ตู้
x
横截面上的应力：
(1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有
点处的切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀
分布； (3) 横截面上无正应力。
19
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
Me m r0
s
{M e }Nm 2π
{n} r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上 每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶
矩：
6
P M e 9.55 10 ( N m ) n P M e 9.55 ( kN m) n
25
1、几何方面
（1）表面变形情况：
(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的
（c） Me Me
雨篷板 雨篷梁
Me
（d）
me
2
Me
Me
g
A D BC l
j
剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的夹角γ称为 剪切角。 相对扭转角：截面B相对于截面A转动的角度 j ，
称为相对扭转角。
3
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可 忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆 截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限 于杆在线弹性范围内工作的情况。着重讨论等直 圆杆受扭时的强度和刚度的计算。
Gg
这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系 数G称为材料的切变模量。
24
§8-5 圆截面杆扭转时横截面上的应力
横截面上的应力公式推导：
表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
的变化
规律
(问题的几何方面) 横截面上 应力变化 规律 (问题的物理方面) 内力与应力的关系 横截面上应力 的计算公式 (问题的静力学方面)

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即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个 面的交线垂直的切应力 和 数值相等，且均指向 (或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。
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2. 剪切胡克定律 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力
不超过材料的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数 值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比例关系， 从而可知 与g 亦成线性正比关系：
13
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传
动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
14
4.78
6.37
15.9
4.78
15
用简便法求扭矩： 任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外 力对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+ 号，指向该截面的外力矩矢取-号。
习题8-1
16
§8-3 薄壁圆筒的扭转
截取一微小的正六面体——单元体。
Me m
Me

m
l
21
由单元体的平衡条件∑Fx=0 知单元体的上、下
两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向
相反的一对力'dxdz并组成其矩为'dxdz)dy 力偶。 由
M
z
0
d y d z d x d x d z d y
可得：
4
§8-2 扭矩的计算和扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外 力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮
在t秒钟内的转角a 。
5
因此，外力偶Me每秒钟所作功，
即该轮所传递的功率为
{P}kw {a }rad {M e }Nm 10 3 {t}s {M e }Nm {}rad 10 3
3
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向 相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动 方向相反。
7
Ⅱ. 扭矩及扭矩图
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
Me 1 Me
1 Me
T
T = Me
Me
T
8
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢 量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。
T (+)
§8-1 扭转的概念及实例
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外
力偶Me作用下发生扭转。
Me Me
变形特点： Ⅰ.杆表面的纵向线变成螺旋线 ； Ⅱ.相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；
Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，
还伴随有弯曲或拉、压等变形。
1
实例：
F
Me
Me
Me
F
me
Me
（a）
（b ）
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2. 计算各段的扭矩
T1 M 2 4.78 kN m BC段内：
M2
M3
2 2
T2
x
B
C
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m
AD段内： T3 M 4 6.37 kN m
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3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段 内，其值为9.56 kN· m。