专题三几何综合-最值及路径长.docx

教学内容：

【课前回顾&错题重现】

1.如图，A, B为定点、,P为直线/上一点，若点尸恰好使AP^BP

最短，请画出点P的位置.

提示：

①分析定点（/, B）,动点（尸在直线/上动），不变特征

②以/为对称轴利用轴对称进行转化

③由“两点之间，线段最短”确定位置

2.如图，A, E为定点，为直线/上一可以移动的线段，且长度固定，若点M恰好使曲歼临初何最短，请画出点川的位置.

提示：

①分析定点（/, B）,动点QM, N在/上动，且MV长度固定），不变特征

②先平移EV,使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1

③以/为对称轴利用轴对称进行转化

④由“两点之间，线段最短”确定位置

3. 如图，ZAOB=60°f点P在的平分线上，（9P=10cm,

卓、E, F分别是两边CU, 上的动点，当ZXPEF的周长最小时，点戸到*的距离是・提示：

①分析定点（P）,动点（E在Q4上动，F在OB上动），不变特征

②分别以Q4，为对称轴，将P对称过去，得到Pi，Pi

③连接P*2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解尸到EF的距离.

【知识点&考点讲解】

1.几何最值问题的处理思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据

不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题.

转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标.

基本定理：

两点之间，线段最短（己知两个定点）

垂线段最短（己知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（己知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例:

©轴对称最值模型

求总+彩的最小值, 使

点在线异侧

求PA-PB的最大值, 使

点在线同侧

固定长度线段A4N在直线1上滑动，求AM+MN+BN的最小值, 需平移EN

（或AM）,转化为AM + MB'解决.

②折叠求最值结构

求的最小值，转化为求&（+4WVC的最小值（利用4WNC为定值）.

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②确定运动路径；

A

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证.

③设计方案，求出路径长.

【乘胜追击(课堂巩固入

1.如图，在平面直角坐标系中，RtZ^OAB的直角顶点/在X轴的正半轴

上，顶点E的坐标为(3, J5),点C的坐标为

(-,0),点P为斜边OE上一动点，则PA+PC的最小值为2

2.如图，在矩形ABCD中，^5=4, 50=8,三为CQ边的中点.若

P, 0为BC边上的两动点，且PQ=2,则当______________________ 时，四边形4P0E的周长最小.

3.如图，在中，ZACB=90°9 AB=5f BC=3・ P 是 SB 过

上的动点(不与点召重合),将沿CP所在的直线翻折，得到△歹CP,连接则长度的最小值是____________________ ・

4. 如图，在边长为2的菱形45CD 中，ZA=60°9 M 是且D 边的

中点，N 是4B 边上一动点,将△&MV 沿MV 所在的直线翻

折得到△ A f

MN,连接4C,则4C 长度的最小值是 _______________ ・

5. 如图，有一矩形纸片45CZ ）, AB=S 9 AD=179将此矩形纸片

折叠，使顶点/落在EC 边的理处，折痕所在直线同时经过

边AB.AD （包括端点），设=丫，则X 的取值范围是 _____________.

6. 如图，在'ABC 中，ZABC=90°f 48=6, 50=8, O 为 AC 的 中点，过O 作OE

丄OF, OE, OF 分别交射线48, BC 于E, F,连接防，则盯长度的最小值为 ________________________________________ ・

第4题图

A D 第5题图

9. 边EC,盯的中点，直线NG, FC相交于点当/XEFG绕

点D旋转时，线段长的最小值是____________________

如图，4&是OO的一条弦，

ZACB=30°，点乙F分别是/C, BC的中点，直线EF与0O交于G, 7/两点.若OO的半径为7,则GE+FF

的最大

值为

第9题图

10.如图，直线/与半径为4的OO相切于点P是OO上的一

个动点（不与点乂重合）,过点P作朋丄/,垂足为连

接R4 •设PA=x, PB=y,则（x-y）的最大值是_______________ •

【课后作业】

7.如图，E, F是正方形妞5CZ）的边凡D上的两个动点，且满足

AE=DF・连接CF交砂于点G,连接肛交NG于点片，连

接DH,若正方形的边长为2,则长度的最小值是___________________ ・如图，△4BC,

G

如图，边长为2的正方形4SCQ的两条对角线交于点O,把B4与CQ分别

绕点占和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形438 随之变成四边形A BCD.设4C, BD交于点OS 若旋转了60。，则点O运动到点O所经过的路

径长为_____________________________________________________ ・

如图，木棒43的长为2G斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON 上，且与地面的倾斜角〈ZABO）为60。・当木棒/端沿NO 向下滑动到占端也随之沿直线向右滑动到夕，若44，=（苗-血归，则木棒的中点P随之运动的路径长为

己知等边三角形45C的边长为4,点Z）是边EC的中点，点E在线段B4上由点召向点力运动，连接QE,以为边在QE右侧作等边三角形QEF.设△/）* 的中心为O,则点三由点召向点力运动的过程中，点O运动的路径长为・

A

/ F\

如图，点/是第一象限内横坐标为2历的一个定点，&C丄工轴于点M,交