空间及其直线方程

所求直线的方程
x+3 y−2 z−5 . = = 4 3 1
例5
x−2 y−3 z−4 求直线 = = 与平面2x+y+z-6=0 与平面 1 1 2
的交点. 的交点. 解 所给直线的参数方程为 x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中， 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程， 解上列方程，得t=-1.把求得的 值代入直线的 .把求得的t值代入直线的 参数方程中， 参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2.
直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系： 位置关系
(1) L⊥ Π ⇐⇒
( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
求过点(1,－ 例3. 求过点 －2 , 4) 且与平面 直的直线方程. 直的直线方程. 解: 取已知平面的法向量 n = ( 2 , − 3 , 1) 为所求直线的方向向量. 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为 x −1 y + 2 z − 4 = = 2 −3 1
x + y − z − 1 = 0 , 在平面 例 7 求直线 在平面x+y+z=0上的投影 上的投影 x − y + z + 1 = 0
直线的方程. 直线的方程
x + y − z −1 = 0 解 过直线 的平面束的方程为 x − y + z +1 = 0
( x + y − z − 1) + λ ( x − y + z + 1) = 0
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s = s1 × n ,
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系： 两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ⇐⇒ m 2 n2 p2 r 例如， 例如， 直线 L1 : s1 = {1,−4, 0}, r 直线 L2 : s2 = {0,0,1}, r r r r Q s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
r^r π ( s , n) = − ϕ 2
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π ( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . sin ϕ = cos 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
直线与平面的夹角公式
x +1 y −1 z 令 = = =t 3 2 −1
x = 3t − 1 ⇒ y = 2t + 1. z = −t
3 代入平面方程得 t = , 7
交点 N ( ,
2 13 3 ,− ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 AN
13 3 6 2 AN = − 2, − 1,− − 3 = − {2,−1,4}, 7 7 7 7
x −1 y z + 2 对称式方程 = = , −1 − 3 4 x = 1 + 4t 参数方程 y = − t . z = −2 − 3t
解题思路: 先找直线上一点; 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 再找直线的方向向量.
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角 （锐角） 两直线的方向向量的夹角.（锐角）
内容小结
1. 空间直线方程
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 一般式 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
对称式
x = x0 + m t 参数式 y = y0 + n t z = z0 + p t
( m 2 + n 2 + p 2 ≠ 0)
垂
n
五、杂例
例4 求过点(−3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和 − 的交线平行的直线方程. 2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
r 解: 设所求直线的方向向量为 s = { m , n, p}, r r r r 根据题意知 s ⊥ n1 , s ⊥ n2 , s⊥ s⊥ r r r 取 s = n1 × n2 = { −4,−3,−1},
s⋅n=0
m A + n B + pC = 0
s⋅n sin ϕ = s n
作业 P335 4，5，7，9 ,15 ， ， ，
x −1 y z +1 一直线过点A(1, 2 ,1) 且垂直于直线L1 : = = , 3 2 1 x z 又和直线 L2 : = y = 相交, 相交,求此直线方程 . 2 −1 解： 方法 利用叉积 方法1 利用叉积. 设直线 L i 的方向向量为 s i (i = 1, 2), 过 A 点及 L2 的平
2. 线与线的关系 直线 L1：x − x1 = y − y1 = z − z1 , m1 n1 p1 x − x2 y − y 2 z − z 2 直线 L2： = = , m2 n2 p2
L1 ⊥ L2
s1 ⋅ s2 = 0
L1 // L2
s1 × s2 = 0
m1 n1 p1 = = m 2 n2 p 2
x − x1 y − y1 z − z1 直线 L1 : = = , m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 直线 L2 : , = = m2 n2 p2
cos( L^L ) = ,
1 2
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m1 + n1 + p1 ⋅ m2 + n2 + p2
x = x 0 + mt y = y 0 + nt z = z + pt 0
直线的参数方程
直线的一组方向数 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦 方向余弦. 直线的方向余弦
例1
用点向式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
即 (1 + λ ) x + (1 − λ ) y + ( −1 + λ ) z + ( −1 + λ ) Biblioteka Baidu 0 为待定常数. 其中λ 为待定常数
这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 垂直的条件是 这平面与平面
(1 + λ ) ⋅ 1 + (1 - λ ) ⋅ 1 + ( -1 + λ ) ⋅ 1 = 0
z
Π1
Π2
L
o
y
二、空间直线的点向式方程与参数方程
方向向量的定义： 方向向量的定义：
z
如果一非零向量平行于 一条已知直线， 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量 方向向量． 为这条直线的方向向量．
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
r s
L
⋅ M0
o
⋅M
y
M ( x , y , z ),
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 称为直线与平面的夹角． 角ϕ 称为直线与平面的夹角．
x − x0 y − y0 z − z 0 L: , = = m n p Π : Ax + By + Cz + D = 0,
π 0≤ϕ ≤ . 2
ϕ
r s = { m , n, p}, r n = { A, B , C },
s1 ⋅ s2 夹角公式: 夹角公式 cos ϕ = s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 Π : A x + B y + C z + D = 0, n = ( A , B , C ) x−x y− y z−z 直线 L : = = , s = (m , n , p) m n p m n p = = L⊥Π ⊥ s×n=0 A B C L // Π 夹角公式： 夹角公式：
即 λ + 1 = 0 由此得 λ
= −1
代入得与所给平面垂直的平面(称为投影平面 的方程为 代入得与所给平面垂直的平面 称为投影平面)的方程为 称为投影平面
2 y − 2z − 2 = 0 即 y − z −1 = 0
所以投影直线的方程为
y − z − 1 = 0, x + y + z = 0.
A1 + λA2、B1 + λB2、C1 + λC 2 不全为零， 不全为零，
从而方程(13)表示一个平面， 从而方程(13)表示一个平面， (13)表示一个平面 若一点在直线L上，则点的坐标必满足方程 因而 若一点在直线 上 则点的坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程 表示通过直线 的平面， 表示通过直线L的平面 也满足方程 ，故方程(b)表示通过直线 的平面， 并且对于不同的 的不同的平面. 的不同的平面. 方程(b) (b)表示通过直线 λ 值，方程(b)表示通过直线L
反之，通过直线L的任何平面 的任何平面(除 中第二个平面外) 中第二个平面外 反之，通过直线 的任何平面 除(a)中第二个平面外 都包含在方程(b)所表示的一族平面内. 都包含在方程 所表示的一族平面内. 通过定直线的 所表示的一族平面内 所有平面的全体称为平面束，而方程 就作为通过 所有平面的全体称为平面束，而方程(b)就作为通过 直线L的平面束的方程。 直线 的平面束的方程。
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
有时用平面束的方程解题比较方便。 有时用平面束的方程解题比较方便。 设直线L由方程组 设直线 由方程组
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 ) 取 x0 = 1 解得
y0 + z0 = −2 ⇒ , y0 − 3z 0 = 6
y0 = 0, z0 = −2
(1,0,−2),
点坐标
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
r r r s = n1 × n2 = {4,−1,−3},
例6
求过点 A ( 2 ,1 , 3 ) 且与直线
x +1 y −1 z = = 3 2 −1
垂直相交的直线方程. 垂直相交的直线方程.
解 先作一过点 且与已知直线垂直的平面 Π 先作一过点A且与已知直线垂直的平面
3( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 3) = 0
再求已知直线与该平面的交点N, 再求已知直线与该平面的交点
第六节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
第七章 七
二、空间直线的点向式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例
一、空间直线的一般方程
空间直线可看成两平面的交线． 定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 空间直线的一般方程 x
(a)
所确定，其中系数 所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 我们建立三元一次方程：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 (b)
为任意常数. 其中λ 为任意常数.
因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例， 因为 不成比例， 所以对于任何一个 λ 值，方程(13)的系数： 方程(13)的系数： (13)的系数
例2. 求以下两直线的夹角
解: 直线 直线
的方向向量为 的方向向量为 s 2
= ( 2,−2,1)
二直线夹角ϕ 的余弦为
cos ϕ =
从而
1× 2 + (−4) × (−2) + 1× (−1)
12 + (−4) 2 + 12
ϕ=
π
2 2 + (−2) 2 + (−1) 2
4
四、直线与平面的夹角
x
∀ M ∈ L,
r M 0 M // s
r s = { m , n, p}, M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
直线的点向式（对称式） 直线的点向式（对称式）方程 x − x 0 y − y0 z − z0 = = =t 令 p m n