计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2
计算方法
计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
计算方法第一章引论
§2 数值问题与数值算法
求解数值问题的计算机上可 以执行的系列计算公式。
2-2 数值方法与数值算法
2. 数值算法
指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它 的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四
个特性：
(1) 目的性：给出输入数据和输出数据的明确的规定
与要求。
(2) 确定性：必须精确地给出每一步的操作定义，不 允许有歧义。
3. 算法的分类
(1) 按面向求解问题的不同分为：数值算法和非数值 算法
(2) 按面向计算机的不同分为：串行算法和并行算法
(3) 按算法的内部特征分为：确定型算法和非确定型 本课程只讨论计算机上串行确定型的数值 算法 算法 即通过按规定顺序执行一个完整且有限的 运算序列后，将输入的数据（向量）变成输 出的数据（向量）。
每秒1亿次的计算机计算也要30万年； 而若改用高斯消去法作为算法进行求解，只需乘除 运算约2670次。
§2 数值问题与数值算法
N=0, S=0 若N<10000 N=N+1, S = S +N 输出N和S
输入 循环条件 循环体 输出
省略
§2 数值问题与数值算法
2-2 数值方法与数值算法
说明：对于大型数值问题，使用不同的算法其计算复
杂性将大不相同。
如对20阶线性方程组，用克莱姆法则作为算法进行
求解，其乘、除法运算次数共需约 9.7×1020 次，若用
②《计算方法》：武汉大学，高等教育出版社
③《数值计算方法》：李有法，高等教育出版社
④《数值分析》：李庆扬，王能超，易大义。
⑤《计算方法引论》：徐萃薇。
④《数值分析引论》：易大义，陈道琦。
§2 数值问题与数值算法
计算方法(一)-PPT课件
虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知 x
764.5 x 765.5,
结果说明 x 在区间 [ 764 .5, 内 . .5] 765
对于一般情形 也可以表示为
， ea xa
即
a ea x a ea , x a ea .
但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的 好坏.
x a ea
则 e叫做近似值的误差界（限）。 a 它总是正数。
（1-13）
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度 x 接近的刻度 ，a
a是 x 的近似值，
它的误差限是 0.5mm ， 于是
x a 0.5mm.
绝对误差界（限）
如读出的长度为 765mm ，
则有 x 765 . 0.5
a n1
从理论上讲 Gramer法则是一个求线性方程组的数值方法，
且对阶数不高的方程组行之有效。但是在计算机上，它是否实
际可行？ 以求解20阶线性方程组为例，如果用Gramer法则求解， 在算法中的乘、除运算次数将达
21！=9.7×1020次
使用每秒一亿次的串行计算机计算, 一年可进行的运算应为： 365(天) × 24(小时) × 3600(秒) × 109 共需要耗费时间为： (9.7×1020) (3.5) (3.097 × 10
a1 1x1 a1 2x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 an nxn bn
早在18世纪Gramer已给出了求解法则：
xi
Di 1 ，… , i D
a 11
，n （D≠0）
计算方法_绪论课件
第一章绪论1.1 什么是数值分析1.2 误差和有效数字1.误差的来源（1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差2.误差定义1 设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差x*－x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e (x*)，即e*= x*－x定义2 称满足***e x x ε=-≤的正数ε * 为近似值x*的误差限.定义3 设x 是准确值，x *是x 的近似值，称**e x x x x -=为近似值x *的相对误差，记为*r e ，即 ***r e x x e x x -==定义4 称满足的正数r ε*为x* 的相对误差限.3.有效数字定义5 设*12100.kn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}10,0,1,2,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅，k 为整数，若有关系式***r r x x e xε-=≤**0.510k ne x x -=-≤⨯则称近似数x *有n 位有效数字.例1 考虑 3.1415926π=⋅⋅⋅的近似值1 3.14x =和2 3.141x =的有效数字.定理1 设近似数 *12100.mn x a a a =±⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅，{}10,0,1,,9l a a ≠∈⋅⋅⋅ m 为整数，1) 若x *有n 位有效数字，则有**1*11102n r x x e a x --=≤⨯，2) 若x *的相对误差()**1*111021nr x x e a x --=≤⨯+则x *至少有n 位有效数字。
证明1) 因为x *有n 位有效数字，则有*0.510m nx x --≤⨯于是***121110.5100.100.5110100.2m nr m n n n x x e a a a x a a ----⨯=≤⋅⋅⋅⨯≤⨯=⨯2) 由()*1*111021nx x a x --≤⨯+ 有()()()121**111211.11210.10110102121.11010212k mn nna a a a m nm n k a a a x x x a a a a a a --<+--⋅⋅⋅⨯-≤⨯⨯=⨯++=⨯⨯+<例 2 为保证某算式的计算精度，要求参与计算的323的近似值x *的相对误差小于0.1%，请确定x *要取几位有效数字才能达到要求。
201411061-计算方法-教学大纲
计算方法课程教学大纲—、课程基本信息课程编号：201411061课程中文名称：计算方法课程英文名称：Computational method课程性质：专业核心课程开课专业：工程力学开课学期：4总学时：32 （其中理论32学时）总学分：2二、课程目标科学汁算已成为与理论和实验并列的三种科学方法之一，在科学、工程的各个领域有着广泛而重要的应用，因此受到世界各国尤其是发达国家的高度重视。
2005年美国权威机构调査报告指出**Computational Science Ensure USA Competitive^ »计算数学是计算科学的基础，为计算科学的其它分支提供理论和方法。
《计算方法》课程是为工程力学专业本科生开设的专业必修课程。
它是研究各种数学问题求解的数值il•算方法及英理论的一门课程, 它的内容丰富而且实践性很强，研究方法深刻又有自身的理论体系：既有纯数学的高度抽象性与严密科学性特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。
开设该课程目的是以研究型研讨式的方式让学生在进入专业课程学习过程当中遇到的工程实际应用问题提供数学的汁算手段和计算方法，把理论与汁算机紧密结合。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）通过本课程的学习，学生应充分理解汁算方法的特点，熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，具有独立解决实际数值计算模型的能力，为今后结合计算机的应用而解决实际问题打下坚实的基础。
具体要求包括：（1）预备知识与误差理论要求学生应具有掌握运用线性代数预备知识的能力，理解向量范数、矩阵范数、算子范数的含义，了解线性空间和内积空间的结构，掌握绝对误差、相对误差误差和有效数字的计算，具有分析误差的来源和控制误差传播的能力，能找到稳泄的数值解法。
（2）解线性方程组的迭代法（研讨式教学）掌握高斯消去法的思想，理解矩阵的三角分解，并会对三对角矩阵、对称矩阵、对称正立矩阵进行三角分解，掌握矩阵条件数对病态方程组的影响，具有分析线性方程组是否病态的能力。
计算方法第一章 讲义
L m U 。由于机器数的字长与阶码有限，因此，计算机中的数是有限的。事实上，计算
机中共有 2
t
U L 1 1 个机器数。把计算机中的全体机器数组成的集合记为 F 或
L 1
F(2,t,L,U),称为计算机机器系。显然，机器系数 F 是一个有限的、离散的、分布不均匀的集 合。不难验证，F 中任意非零数 x 满足 2
计算方法讲义 .1.
谢 进
数理系信息与计算科学教研室 2016 年 9 月
1
第1章
§1.1 计算方法及其相关概念
1.科学计算
绪论
随着人们的生产活动和计算需要， 数学中逐渐发展了一种新的分支一一计算数学。 随着 计算工具的应用，特别是计算机的出现和发展，计算数学（Computational Mathematics）逐 渐发展成为现代意义下的计算科学，或称科学计算(Scientific Computing)，成为了传统的理 论研究和科学实验之后的第三大科学科学方法。 现在， 科学计算在科学研究与工程实际中作 用越来越重要， 甚至用科学计算来取代部分实验和理论研究。 如通过科学让计算机模拟核爆 炸。 这种由科学实验向科学计算的转变， 也促使一些边缘学科的相继出现， 例如， 计算物理、 计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。有些理论证明往往也是 通过科学计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。也就是说，科学计 算可以全部或部分地代替理论证明。
m=-2
0.125 0.15625 0.171875 0.1875 0.203125 0.21875 0.234375
m=-1
0.25 0.3125 0.34375 0.375 0.40625 0.4375 0.46875
计算方法
n
(4.1)
2、函数值 A*的相对误差 设 A ≠ 0 , x j ≠ 0 ( j = 1,⋯ , n), 、 的相对误差
则 A 的相对误差为
n
∗
e( A ) ≈ ∑ ∂ f ( x ) e ( x j ) j =1 ∂ xj
e( A) ≈ e r ( A) = A
∑
n
j =1
x j ∂ f ( x) ⋅ ⋅e r ( x j ) . f ( x) ∂ xj
∗
x ∗ − x ≤ 1 × 10 − n = x∗ 2
则 x ∗至少具有 n 位有效数字 .
四、求函数值的误差估计
设多元函数A= f ( x1 , x 2 ,⋯, x n )， ∗ ∗ ∗ x1 , x 2 ,⋯, x n为 x1 , x 2 ,⋯, x n的近似值
初始数据
∗ ∗ ∗ x1 , x 2 , ⋯ , x n
10 −3 10 −3 e r ( x1 ) = ≈ 0.81%， e r ( x 2 ) = = 50%. 1.234 0.002
3、有效数字 、
为准确值， 定义 设 x 为准确值， x ∗为 x 的近似值且 x∗可表示为
1 （）x ∗ = ± ( 0. a1 ⋯ a n ) × 10 m
( m 是整数 )，
计
算
方
法
武汉工程大学理学院 信息与计算科学教研室
第一章 绪论
一、计算方法研究的意义 • 历史 （悠久） 悠久） • 现状 科学与工程计算 （1）应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验（指纹，爆炸等） 计算机模拟实验（指纹，爆炸等）
（2）主要工作
• 特点： 特点：
寻求适合计算机计算的方法 误差估计（讨论方法的好坏） 误差估计（讨论方法的好坏）
计算方法(李有法版)第一章课件
第一章 误差§1.误差的来源 实际问题——➠建立数学模型—➠确定数值计算方法——➠编制程序上机算出结果模型误差 截断误差或方法误差 舍入误差§2. 绝对误差、相对误差与有效数字(1) 绝对误差与绝对误差限定义： 绝对误差 x x x e e −==***)( .近似值------↑ ↑------精确值通常，由于x 不知道，所以无法得*e ，故估计*e 的上界*ε，即***||||ε≤−=x x e 或 **ε±=x x .↑------称为近似值*x 的绝对误差限，简称误差限。
(2) 相对误差与相对误差限110 ,210021±=±=x x定义： 相对误差 .)(****x x x x e x e e rr −=== 由于x 未知，所以***x e e r ≈； Q **2*****1)(x e x e x e x e −=−，当||**x e 较小时，***x e x e −是**x e 的平方级，可以忽略不计，∴ 取***x e e r=. 与绝对误差类似，只能估计相对误差绝对值的某个上界*r ε，即**||rr e ε≤ ↑------近似值*x 的相对误差限，得（差）。
（好），%10101|)(| %21002|)(|2*1*=≤=≤x e x e r r .(3) 有效数字若近似值*x 的误差不超过某位数字的半个单位，而从该位数字到*x 最左边的那个非零数字（即自左向右看，第一个出现的非零数字）共有n 位，那么这n 位数字都称有效数字，并称*x 具有n 位有效数字。
X XX x L L =*自左向右看，第一个非零数----↑ ↑-----误差不超过该位数的半个单位 例：L 14159.3==πx ，若取近似值14.3*≈x ，则01.0210015.0|)(|*×≤=L x e ，故*x 具有三位有效数字。
(4) 有效数字、绝对误差、相对误差之间关系如何呢？一般(*) )1010(10)1(121*−−−×++×+×±=n n m a a a x L 01≠a ，即n a a a ~ ;9~1:21是.9~0 且1)1(*1021101021||+−−−×=××≤−n m n m x x m m a x a 10)1(||101*1×+≤≤×Q111121***10211010||||||+−+−×=××≤−=∴n m n m r a a x x x e 定理1：若用）（*式表示的近似值*x 具有n 位有效数字，则其相对误差满足不等式 11*1021||+−×≤n r a e 其中1a 为*x 的第一个非零数字。
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
计算方法第一章-绪论PPT课件
实际问题
建立数学模型
代数方程、微分方程等等
构造数值算法
用计算机求出近似结果
计算方法的地盘
2021/3/9
授课：XXX
3
课程特点：
计算方法主要讨论如何构造求数学模型的近 似解的算法。研究算法的理论依据，精度和计算 复杂性，并通过编写程序进行计算试验来验证算 法的有效性。
与纯数学的理论方法不同，数值计算方法求 出的一般是近似解，而不是精确解。
2021/3/9
授课：XXX
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本课程的学习目标：
掌握常用的数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 会套用计算公式求解简单的数学问题 会上机编写常用数值方法的计算程序
2021/3/9
授课：XXX
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本课程的学习方法：
1. 理解建立算法的理论依据和过程，适应本课程 “公式多” 的特点。 2. 注意每章开头问题的引入，搞清楚问题的来源 提法，逐步深入。 3. 理解每个算法建立的数学原理和基本线索，对 最基本的算法要非常熟悉！ 4. 认真进行上机实践，编写和调试算法程序，加 深对算法的理解。
在一台计算机中用 3.14159 代替 所产生的误差。
模型误差 观测误差
截断误差 在设计算法时进行误差分析，控制截断误差
舍入误差 注意编写程序的技巧，减小舍入误差的影响
2021/3/9
授课：XXX
12
二、绝对误差与绝对误差限
定义： 设 x 为准确值，x * 为 x 的一个近似值，则称 e* x* x 为近似值 x * 的绝对误差，简称误差，若误 差的绝对值不超过某个正数
2 sin x
1 x
dx
的值。
由于找不到原函数，不能用微积分基本公式求解，
计算方法-第1章
13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则 ， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地， 求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机 上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的 运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1） 数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学 发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输 出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法
计算方法_第一章_绪论
第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。
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教材
聂玉峰、王振海等
《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011
作业
计算方法作业集（A、B）
参考书
¾封建湖，车刚明
计算方法典型题分析解集（第三版）
西北工业大学出版社，2001
¾封建湖，聂玉峰，王振海
数值分析导教导学导考（第二版）
西北工业大学出版社，2006
¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁
数值分析典型题解析及自测试题（第二版）
西北工业大学出版社，2003
西北工业大学理学院欧阳洁2
第一章绪论
§1 引言
§2 误差的度量与传播
§3 选用算法时应遵循的原则
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§1 引言
科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：
1 实际问题的提出
2 建立数学模型
3 设计可靠、高效的数值方法
4 程序设计
5 上机实践计算结果
6 数据处理及结果分析
西北工业大学理学院欧阳洁4
学习算法的意义
科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。
但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及
算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。
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鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地
分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉
及如下几个方面问题的求解算法：
¾非线性方程求根
¾线性代数方程组求解
¾函数插值
¾曲线拟合
¾数值积分与数值微分
¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算
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§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类
模型误差：数学模型与实际问题的误差
观测误差：
观测结果与实际问题的误差
截断误差：数学模型的理论解与数值计算问
题的精确解之间的误差
舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍
入所产生的误差
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5 使用数值稳定性好的公式
一个算法，如果初始数据微小的误差
仅使最终结果产生微小的误差，或在运算
过程中舍入误差在一定条件下能够得到控
制，则称该算法（数值）稳定，否则称其
为（数值）不稳定．
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总结
1.数值运算的误差估计
2.绝对误差、相对误差与有效数字
3.数值运算中应遵循的若干原则
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