小波降噪的原理

缩和平移的思想源远流长，可以在信号处理、信号检测和多尺度边缘等领域得到应用。根据
应用领域不同可以选择不同的参数 a、b。
式中 a—伸缩因子或尺度因子，工程实际中尺度因子 a<0无实际意义；
b—平移因子，其值可正可负[4]
。
2.2 小波变换
设 2
() ( ) f tLR ∈ 是一个能量有限的信号， 其小波变换定义为 () f t
其中， ) ( f t
为真实信号， ) (t e 为噪声， ) t ( S 为含噪声的信号。如果以一个最简单的噪
声模型加以说明，即认为 ) (t e 为高斯白噪声N（0,1）,则噪声级为 1。在实际的工程应用中，
有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。
中图分类号：TP 1.
引 言
在工程应用和进行科学研究中，从混有噪声的信号中提取有效信号，一直是信号处理中
的重要内容。尽管目前有许多降噪算法，如空域复合法、频率复合法、解卷积、自适应滤波、
倒谱分析方法、人工神经网络和裂谱分析法等，但是它们中的绝大多数仅在时域或频域分析
信号。
小波变换是近年来迅速发展起来的一种新的信号处理工具。作为一种信号的时间—尺度
法，它将频带进行多层次划分，对小波变换没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被
分析信号的特征，自适应选择相应的频带，使之与信号匹配，从而提高了时频分辨率。小波
包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息，而且这种分解
既无冗余也无遗漏， 所以对包含大量中、 高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。
ω
= <+∞ ∫
式中 *
{0} RR =? 表示非零实数全体。 () x ψ 也称为小波母函数，前述条件称为“容许性
条件”。对于任意的实数对(,) ab ，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数
(,)
1
() ab
x b
x
a a
ψψ ? ??
= ??
??
为由小波母函数 () x ψ 生成的依赖于参数对(,) ab 的连续小波函数，简称为小波
（4）一维小波的重构。根据小波分解的第N 层的系数和经过量化处理后的第一层到第
N 层的高频系数，进行一位信号的重构。
从上面4 个步骤中可以看出，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值量化，从某种
程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。在 MATLAB 中提供了两个可以进行小波消噪的
函数，一个是 wden，另一个是 wdencmp。函数 wden 可用小波进行一维信号的自动降噪。
通过小波包的这种分解可以找到设计对象的最佳描述。 小波包分解树是小波包分解的一种较
为直观的表示方法， 小波包分解在对信号的低频分量连续进行分解的同时对高频分量也进
行连续分解， 这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量， 而且也可得到许多分辨率较低
的高频分量[5]
。如图1所示为尺度是 3 的小波包分解树， 小波包分解树允许信号 S表示为：
相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小（Minmax
Estimator）[6]
。
3.2 小波降噪的原理
一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式：
1 , , 1 , 0 ) ( ) ( f ) t ( ? = ? + = n t t e t S L σ
13 32 S A AAD DAD DD =+ + +
其中：A表示信号的低频分量，D表示信号的高频分量，其下标表示小波包分解的层数。
1 A
2 AA
3 AAA
S
3 DAA 3 ADA 3 DDA
2 DA
1 D
2 AD 2 DD
3 AAD 3 DAD 3 ADD 3 DDD
ψ
+∞ +∞
?∞
?
=∫∫
2.3 小波包变换
小波包变换是小波变换的推广，与小波变换相比，小波包变换能够提供一种更加精细的
分析方法，即离散小波变换的尺度是二进制变化的， 所以在高频频段其频率分辨率差， 而
在低频频段其时间分辨率好。而小波包分解( WPD )能够为信号提供一种更加精细的分解方
wavelet transform,简称 CWT）。
小波分析的实质是以小波基函数
()
tb
a
ψ ?
的形式将信号 () f t
分解成不同频带的子信
号。求小波逆变换可实现信号的重构，重构表达式为：
2 0
11
() ( , ) ( ) X
da t b
x tWTabdb
Ca a a ψ
实际的含噪声信号的上述特点为利用小波分析消噪提供了条件。对信号进行小波分解时，含
噪声部分主要包含在高频小波系数中， 因而， 可以应用门限阈值等形式对小波系数进行处理，
然后对信号进行重构即可达到消噪的目的。对信号 ) t ( S 消噪的目的就是要抑制信号中的噪
声部分，从而在 ) t ( S 中恢复出真实信号 ) ( f t
提取有用信号。对于这种信号的消噪，用传统的傅立叶变换变换分析，显得无能为力，因为
傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点的变化情况，
使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个频谱。小波分析由于能同时在
时—频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以能在不同的分解层上有效地区分
一个重要方面。本文详细地介绍了小波变换的基本理论、小波降噪和小波包降噪的原理及方
法，系统地研究了他们在信号处理尤其是信号去噪方面的应用，并进行了两例小波包变换与
小波变换降噪的仿真，仿真结果证明了该方法去噪的有效性，而且通过对两例仿真结果对比
可以发现，小波包降噪的效果要稍好于小波降噪。
关键词：小波变换；信号处理；降噪
与小波函数族 () ab t ψ 的
内积，即
f
(,) ,
1
() ( )
ab Wab f
tb
f tdt
a a
ψ
ψ
+∞
?∞
=<>
?
= ∫
上式中不但 t是连续变量，而 a和 b也是连续变量，因此称为连续小波变换（continuous
3. 小波降噪的原理
3.1 信号降噪的准则
光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和远信号具有同等的光滑性。
相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小（Minma
图 1 三级小波分解树
Figure1. Wavelet packet decomposition
E-mail: redsunlh@
摘 要：在工程研究中从混有噪声的信号中提取有效信号，一直是信号处理中的重要内容，
传统的信号去噪方法局限在频域范围内，无法表述信号的时域局部性质。小波变换是一种信
号的时频分析，它具有多分辨分析的特点，利用小波方法去噪是小波分析应用于工程实际的
低频部分进行分解,而且对高频部分也做了二次分解,使它在信号去噪方面表现出明显的优势,
对信号的分析能力更强[1-3]
。
2. 小波分析的基本理论
2.1 小波的定义
小波是函数空间 2
L （R） 中满足下述条件的一个函数或者信号 (): x ψ
*
2 ^
()
R
d
Cψ
ω ψω
该函数中提供了四种阈值选择方案以及软、硬阈值消噪选择，同时还可以选取全局阈值或分
层阈值进行消噪。另外的一种更普遍的函数是 wdencmp，它可以直接对一维信号或者二维
信号消噪或压缩处理，方法也是通过对小波分解系数进行阈值量化来实现的，它可以让用户
选择自己的量化方案。在进行小波包降噪时所使用的函数主要是 wpdencmp，该函数是一维
(时间—频域) 分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都有表征信号局部特征
的能力,是一种窗口大小固定不变但形状可以改变的时频局部分析方法。在小波分析中每次
只对上次分解的低频部分进行再分解,而对高频部分不再分解,所以在高频段分辨率较差。小
波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析和重构的方法,它不但对
。
- 3 -
一维信号利用小波除噪的步骤如下：
（1） 对含噪信号进行预处理，便于后续处理。
（2）一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个分解层次 N，然后对信号 s 进行
N 层分解。
（3）小波分解高频系数的阈值量化。对第一层到第N 层的每一层高频系数，选择一个
阈值进行软阈值或者硬阈值量化处理。
信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪[7]
。
或二维小波包压缩或降噪的导向函数，它使用小波包对信号或图像执行降噪或压缩过程。小
波包降噪的思想和过程与小波的降噪非常类似。
在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平
稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要对信号进行预处理，将信号的噪声部分去除，
提取有用信号。对于这种信号的消噪，用传统的傅立叶变换变换分析，显得无能为力，因为