第9章 差错控制编码

9.1.3 纠错码的分类 纠错码的分类
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不 仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
9.4.2 监督多项式及监督矩阵 监督多项式及监督矩阵 为了便于对循环码编译码，通常还定义监督多项式， 令
xn + 1 h( x) = = x k + hk - 1 x k - 1 + ⋯ + h1 x + 1 g ( x)
其中g(x)是常数项为 1 的r次多项式，是生成多项式；h(x)是 常数项为 1 的k次多项式，称为监督多项式。同理，可得监 督矩阵H
若把监督方程补充为下列方程
可改写为矩阵形式
轾0 1 犏 犏1 0 犏 G= 犏 0 犏0 犏 犏0 0 臌
0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
G = [ I k Q]
轾1 1 1 犏 犏1 0 1 犏 Q= 犏 = PT 1 犏0 1 犏 犏1 1 0 臌
2. 检错和纠错能力 检错和纠错能力 若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的 简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错 码， 并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发 现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判 为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。
在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming) 重量， 简称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码 组的汉明(Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011之 间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为 码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。
n
9.1.4 纠错编码的基本原理
1. 分组码 分组码 k r
分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码 元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度， 简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说， 分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元， 组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组， 相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个 码字未被选用，称为禁用码组。
3. 编码效率 编码效率 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效 性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
R=k/n
其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码 效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标要 求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。
表 9-2 (7,4)码的码字表 码的码字表
9.3.2 监督矩阵 和生成矩阵G 监督矩阵H和生成矩阵 和生成矩阵
并简记为
其中,P为r×k阶矩阵，Ir 为r×r阶单位矩阵。可以写成H= ［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。 HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来 作为判断接收码字A是否出错的依据。
第 9 章 差错控制编码
9.1 概述 9.2 常用的几种简单分组码 9.3 线性分组码 9.4 循环码 9.5 卷积码 *9.6 网格编码调制
9.1 概述
• • • • 9.1.1 信道编码 9.1.2 差错控制方式 9.1.3 纠错码的分类 9.1.4 纠错编码的基本原理
9.1 概 述
9.1.1 信道编码
9.2 常用的几种简单分组码
9.2.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码 组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元， 码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇 监督码和偶监督码。
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
B = A + E
ì0 ï ei = ï í ï1 ï î
当bi=ai 当bi≠ai
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S = BH T = ( A + E ) H T = AH T + EH T = EH T
表 9-3 (7,4)码S与E的对应关系 码 与 的对应关系
9.4 循 环 码
表 9-4 (7,3)循环码 循环码
另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现 是随机的，而且错误之间是统计独立的。 具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群 出现的，即在短时间内出现大量错误。 短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机 错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道， 应采用不同的差错控制方式。
9.1.2 差错控制方式
前向纠错 FEC 发端 纠错码 收端
检错重发 ARQ
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
图 9-1 差错控制方式
1. 检错重发方式 检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判 决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这 一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息 再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信 道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。 海上通信NBDP
图 9-2 (66,50)行列监督码
9.2.3 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比 码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元 中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。 目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3” 的恒比码，即wenku.baidu.com个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可能 编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许 用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 9 - 1 所示。而每个 汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后， 我国汉字电报的差错率大为降低。
2. 前向纠错方式 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发 端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传 输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备 较复杂。 海上卫星通信Inmarsat-A
3. 混合纠错方式 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC 和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错 能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的 纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力， 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具 有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。 海上卫星通信 Inmarsat-C
码的最小距离d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任 一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小 距离d0≥t+e+1。 A e 1 t B
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和 信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使 模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生 误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低 接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外， 还可以采用信道编码技术。
x +1 = x3 + x2 + 1 h( x) = g (x) h * ( x) = x + x + 1
3
7
6 轾+ x 犏 5 犏+ x 犏 H ( x) = 犏 4 x 犏+ 犏 3 犏+ x 臌
an- 1 排an- 2
⋯ 排a1
a0 = 0
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即 满足条件
an- 1 排an- 2
⋯ ? a0
1
而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为
R = ( n - 1) / n
9.2.2 行列监督码
1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
表 9-1 3∶2 恒比码 ∶
9.3 线 性 分 组 码
现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字 为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4 位是信息元，后 3 位是 监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元。
ì a2 = a6 + a5 + a4 ï ï ï ïa = a + a a3 í 1 6 5 ï ï ï a0 = a6 + a4 + a3 ï î
g ( x) = A1 ( x) = x 4 + x 3 + x 2 + 1
其它码多项式都是g(x)的倍式， 即
A0 ( x) = 0 ( x) g A2 ( x) = ( x + 1) ( x) g A3 ( x) = x ( x) g ⋮⋯ A7 ( x) = x 2 ( x) g
循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示
在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码字。 (n,k)循环码的码字，其码多项式(以降幂顺序排列)为
A( x) = an- 1 x n- 1 + an- 2 x n- 2 + ⋯ a1 x + a0
9.4.1 生成多项式及生成矩阵
如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称 g(x)为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式A(x)都 是最低次码多项式的倍式。如表 9-4 的(7,3)循环码中，
轾n- k - 1h * ( x ) x 犏 犏 ⋯⋯ 犏 H ( x) = 犏 xh 犏 * ( x) 犏* ( x ) h 犏 臌
其中
h * ( x ) = x + h1 x
k
k- 1
+ h2 x
k- 2
+ ⋯ + hk - 1 x + 1
是h(x)的逆多项式。例如(9，3)循环码，g(x)=x4+x3+x2+1，则
9.3.3 伴随式 校正子 伴随式(校正子 校正子)S
设发送码组A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在传输过程中可能发生 误码。接收码组B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0 ］，则收发码组之差定义 为错误图样E， 也称为误差矢量， 即 E = B - A 其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且
k 轾 - 1 g ( x) x 犏 k 犏 - 2 g ( x) x 犏 犏 G ( x) = 犏 ⋯ 犏 xg 犏 ( x) 犏 g 犏( x) 臌
g ( x) = x + g r- 1 x
r
r- 1
+ ⋯ + g1 x + 1
例如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4, 其生成多项式及生成矩阵分别为