第三章 平面任意力系

M A 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在 两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零， 以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
第二节 平面任意力系的平衡方程
二、平面任意力系平衡方程的解题步骤
1）确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力 作用的物体，画出其分离体的受力图。
2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力 图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此二力的坐标轴， 列出投影方程。如不存在两未知力相互平行，则可选任意 两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水 平和垂直的坐标轴可以不画，但倾斜则必须画出。
第四节 物体系统平衡问题
例3-9 图示为一静定组合梁的平面力学简图。已知l=2m,均
布载荷q=15kN/m，力偶M0=20kN·m, 求A、B端约束力和C铰
链所受的力。
解：1.分别取AB、CB画受力图
M0
q
2.取CB列平衡方程求约束力
A
C
l
l
l/2
B
MC (F) 0:
FB
3l 2
ql
l 2
0
q
C FCx FCy l
3）题解分析。将已知量以其代数量入题。先得代数形式 的解以便分析各参数对解的影响，最后一次性代入数字得 数字解，这是工程分析的习惯。
第二节 平面任意力系的平衡方程
例3-3 图示杆件AB, 在杆件上作用力F,集中力偶M0=Fa,求
杆件的约束力。
M0
F
A
aaa
y M0
F
A FAx FAy
解：1.取AB为研究对象画受力图
第一节 平面任意力系的简化
一、力系向平面内任意一点的简化
应用力的平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的
作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这力系
被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的方法称
为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
简化中心 F1
OA
=
F3 C
B F2
M1F'1 F3 O
F'Cx C
M A M0
Fx 0 :
FCy l 20 20 2 FAx 0
20kN m
Fy 0 : FAy FCy 0
FAy FCy 20 kN
主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代 数和的平方和再开方,作用在简化中心上,其大小 和方向与简化中心的选取无关。 主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和 。其大小和方向与简化中心的选取有关。
第一节 平面任意力系的简化
3.简化结果的讨论
1）FR≠0 Ｍ0≠0 主矢FR和主矩ＭO也可以合成为一个合力FR。
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR=0
Ｍ0=0。
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
第二节 平面任意力系的平衡方程
平面任意力系的平衡方程：
F x
0
Fy 0
静定
静不定
第四节 物体系统平衡问题
二、物体系统的平衡问题
1、物系 工程机械和结构都是由若干个构件通过 一定约束联接组成的系统称为物体系统，简称为 物系。 2、外力和内力 系统外物体对系统的作用力称为 物系外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为 物系内力。 3、物系平衡 物系处于平衡，那么物系的各个构 件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系 为研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究 对象。
第三节 固定端约束和均布载荷
第三节 固定端约束和均布载荷
=
=
≠
=
MA
F
FAx FAy
平面固定端约束有两个约束力FAx、FAy和一个约束 力偶矩ＭA。
第三节 固定端约束和均布载荷
二、均布载荷
载荷集度为常量的分布载荷称为均布载荷。
在构件一段长度上作用均布载荷q(N/m)
O
A
x
q FQ l/2
1.均布载荷的合力FQ 均布载 B 荷的合力FQ的大小等于均布载
第三章 平面任意力系
第一节 平面任意力系的简化 第二节 平面任意力系的平衡方程 第三节 固定端约束和均布载荷 第四节 物体系统平衡问题
第一节 平面任意力系的简化
平面任意力系
各个力的作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行的力 系称为平面任意力系
第一节 平面任意力系的简化
平面任意力系实例
解：1.求力系的主矢
F x F F con 60 F con 60 0 F x 0 F sin 60 F sin 60 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
y
C
F M0 F
A F
B x
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
2）FR≠0 Ｍ0=0 主矢FR就是力系的合力FR。 3）FR=0 Ｍ0≠0
力系为一平面力偶系。在这种情况下,主矩的大 小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
第一节 平面任意力系的简化
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三 角形，三点分别作用F力，试简化该力系。
约束力。
M0 q F 解：1.取AB为研究对象画受力图
A
B
2.平衡方程求约束力
l
l
MA
M0 q F
A
B
FAx FAy l
l
MA(F) 0:
MA
F
2l
ql
3l 2
M0
0
MA
5ql 2 2
Fx 0 : FAx 0
Fy 0 : FAy F ql 0
FAy F ql 2ql
第三节 固定端约束和均布载荷
例3-8 图示为外伸梁的平面力学简图。已知梁长为3a，作
用均布载荷q，作用力F=qa/2和力偶M0 =3qa2/2, 求AB梁的
约束力。
M0
A
CD
q 解：1.取AB为研究对象画受力图
B 2.平衡方程求约束力
A FAx
aa
M0 CD aa
a q a
F
B F
MA(F) 0:
FD FD
2a
M qa
O
4
F
3a
qa
5a 2
0
Fx 0 : FAx 0
FAy
FD
Fy 0 : FAy FD F qa 0
FAy
qa 4
qa 2
qa
3qa 4
第四节 物体系统平衡问题
一、静定与静不定问题的概念
1.静定问题 力系中未知数的个数少于或等于独立平衡方程 个数时，全部未知数可由独立平衡方程解出，这类问题称为 静定问题。 2.静不定问题 力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时 ，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出，这类问题称 为静不定问题。
B l/2 FB
FB
ql 3
பைடு நூலகம்
15 2 3
10 kN
Fx 0 :
FAx 0
Fy 0 :
FCy FB ql 0
FCy FB ql 10 15 2 20kN
第四节 物体系统平衡问题
3.取AC列平衡方程求约束力
M A (F ) 0 : M A M0 FCy l 0
AMA M0F'Cy FAx FAy l
M3
M2 F'2 =
M0 O
FR
第一节 平面任意力系的简化
1、主矢FR FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fx )2 ( Fy )2
2、主矩M0
tan Fy
Fx
M0 M MO(F)
第一节 平面任意力系的简化
结论：
平面任意力系向平面任意点简化,得到一主矢FR‘ 和一主矩Ｍ0
B
2.建立坐标系列平衡方程
M A (F ) 0 : FB 3a F 2a M 0 0
FB
2Fa 3a
Fa
F 3
B x Fx 0 :
FB
Fy 0 :
FAx 0
FAy FB F 0
FAy
F
FB
2F 3
第三节 固定端约束和均布载荷
一、平面固定端约束
既不允许构件相对于固定端的随意移动，又不允许 构件绕其固定端随意转动。这些实例简化的平面力 学模型，称为平面固定端约束。
荷集度q与其分布长度l的乘积，
l
即 FQ=ql
2.均布载荷求力矩：由合力矩定理可知，均布载荷
对平面上任意点O的力矩等于其合力FQ与分布长度中
点到矩心距离的乘积，即
M0(ql)=ql·(x+l/2) 。
第三节 固定端约束和均布载荷
例3-7 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作
用均布载荷q，作用集中力F=ql和力偶M0 =ql2, 求固定端的