试论多元正态分布参数的假设检验(pdf 65页)
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武汉理工大学统计学系唐湘晋
例 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值 为 μ0 = (22.75, 32.75, 51.50, 61.50)′ 。现在从外地引入 一新品种，在21个小区种值，取得如表所示数据。设 新品种的四个性状 X = ( X1, X 2 , X 3, X 4 )′ ~ N4 (μ, Σ), 试检 验假设 H0 : μ = μ0 (α = 0.05)
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武汉理工大学统计学系唐湘晋
一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p (μ , Σ) 的样本,
考虑假设: H 0 :μ = μ 0 , H 1:μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U = X − μ0 n ~ N (0, 1)
σ
( ) ( ) T02 = n X − μ 0 ′ Σ −1 X − μ 0 .
定理 设 X1, …, Xn 是来自正态总体N p ( μ, Σ) 的样本,且
Σ已知,则在原假设 H0 : μ = μ0 下, T02 服从自由度为 p
χ 2分布,且原假设的拒绝域为: T02 > χα2 ( p) .
7
武汉理工大学统计学系唐湘晋
具体步骤是：
1. 作统计假设：H0:μ = μ0 , H1:μ ≠ μ0
第三章
多元正态分布参数的假设检验
1
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.1 基本概念
统计假设检验包括两类问题：一是已经知道随机变量 分布函数的形式，但其中包含几个未知的参数，要求 检验这些参数是否等于某些已知的数值，这类问题称 为参数的假设检验；二是随机变量的分布函数未知， 要检验它是否服从某一已知的分布，这类问题称为分 布的假设检验。
~ F（p,n− p） 计算F统计量具体值F。
−
X)′
4. 按规定的显著水平α，查F分布临界值 Fα ( p, n − p) ，
并作出判断：
当 F0 ≤ Fα ( p, n − p)，接受H0，拒绝H1，即认为与没有 显著差异。
当F0 > Fα ( p, n − p)，接受H1，拒绝H0，即认为与有显 著差异。
差异。
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武汉理工大学统计学系唐湘晋
二、Σ未知时单个总体均值向量的检验
建议:用样本协方差S来替换Σ ,即
( ) ( ) T 2 = n X − μ0 ′ V-1 X − μ0 = n (n −1)(X − μ0 )′ S-1 (X − μ0 )
其中
( )( ) ∑ V = 1 S = 1 n n -1 n -1 j=1
9
22.62 32.57 51.23 61.39
4
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题，包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量，若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题，虽然可以使问题简化，但忽略了p个 分量间的互相依赖关系，常常得不出正确的结 论。
2. 算样本的均值 X
( ) ( ) 3. 计算统计量T的具体值 T02 = n X − μ0 ′ Σ−1 X − μ0 .
4. 按规定的小概率标准α，查 χ 2分布表，得临界
值 χα2 ( p)，并作出判断: 当 T02 ≤ χα2 ( p)，接受H0，拒绝H1，即认为与没有显
著差异。 当 T02 ＞ χα2 ( p)，接受H1，拒绝H0，即认为与有显著
Xj −X
Xj −X ′
9
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( )( ) ∑ 在
H 0 :μLeabharlann Baidu
=
μ0下, S=
X~
n
X
1 NP (μ0 , n Σ)
j -X Xj -X
′
,
~
X − μ0 ~
Wp (n −1,
NP (0,
Σ).
1 n
Σ)
j =1
故由T2分布定义知
( ) ( ) T 2 = (n −1) ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦′ S−1 ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦ ~ T 2 ( p, n −1)
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小区号 性状
性状
X1 X2 X3 X4 小区号
性状
X1 X2 X3 X4 小区号
X1 X2 X3 X4
1
22.88 32.81 51.51 61.53
8
22.74 32.67 51.44 60.30
15
22.81 33.02 51.70 61.49
2
22.74 32.56 51.49 61.39
3
武汉理工大学统计学系唐湘晋
小概率原理
一个概率很小的事件，在一次试验中可以认为是不可 能发生的； 在假设检验中，接受或拒绝原假设的决定是根据样本 特征值与假设值的偏差超过一定界限的概率作出的， 如果这个概率很小，就拒绝假设；如果这个概率较 大，就接受假设。这里显然有一个标准问题，即要规 定一个很小的概率α作为临界值，当上述偏差超出规 定界限的概率小于或等于α时，就拒绝原假设，反之 就接受原假设。这个临界概率α称为显著性水平。
在假设检验理论中，把原假设以外的那些值称为备择 假设。
2
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例如，若正态总体的平均数未知，但知道它的取值域 为μ＞0，我们要检验原假设“μ=μ0”，这样，除μ0 以外的一切正实数都是备择假设。但是，如果在假设 检验中只提出原假设，检验的目的只是通过观测资料 来判断是接受还是拒绝这个假设，那么这种假设称为 显著性检验。如果检验结果否定了原假设，就说（假 设与实际）差异显著；如果检验结果不能否定原假 设，就说（假设与实际）无显著差异。
利用T2与F分布的关系，检验统计量取为
n− p
(n −1) p
T2
~
F（p, n
−
p）
10
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具体步骤是：
1. 作统计假设：H0:μ = μ0 , H1:μ ≠ μ0
2.
3.
算样本的均值 X
由公式
(
n− p
n−1) p
T
2
∑ 和样本协方差
V
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X)(Xi
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在原假设 H0 下,
X
~
Np
⎛ ⎜⎝
μ0
,
1 n
Σ ⎞⎟⎠.
则
( ) X = μ0 +
1 n
1
Σ2Y
,Y
~
Np
0, I p
.
( ) −1
n Σ 2 X − μ0 = Y
( ) ( ) T02 = n X − μ0 ′ Σ−1 X − μ0 = Y'Y ~ χ 2 ( p)
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例 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值 为 μ0 = (22.75, 32.75, 51.50, 61.50)′ 。现在从外地引入 一新品种，在21个小区种值，取得如表所示数据。设 新品种的四个性状 X = ( X1, X 2 , X 3, X 4 )′ ~ N4 (μ, Σ), 试检 验假设 H0 : μ = μ0 (α = 0.05)
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一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p (μ , Σ) 的样本,
考虑假设: H 0 :μ = μ 0 , H 1:μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U = X − μ0 n ~ N (0, 1)
σ
( ) ( ) T02 = n X − μ 0 ′ Σ −1 X − μ 0 .
定理 设 X1, …, Xn 是来自正态总体N p ( μ, Σ) 的样本,且
Σ已知,则在原假设 H0 : μ = μ0 下, T02 服从自由度为 p
χ 2分布,且原假设的拒绝域为: T02 > χα2 ( p) .
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具体步骤是：
1. 作统计假设：H0:μ = μ0 , H1:μ ≠ μ0
第三章
多元正态分布参数的假设检验
1
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.1 基本概念
统计假设检验包括两类问题：一是已经知道随机变量 分布函数的形式，但其中包含几个未知的参数，要求 检验这些参数是否等于某些已知的数值，这类问题称 为参数的假设检验；二是随机变量的分布函数未知， 要检验它是否服从某一已知的分布，这类问题称为分 布的假设检验。
~ F（p,n− p） 计算F统计量具体值F。
−
X)′
4. 按规定的显著水平α，查F分布临界值 Fα ( p, n − p) ，
并作出判断：
当 F0 ≤ Fα ( p, n − p)，接受H0，拒绝H1，即认为与没有 显著差异。
当F0 > Fα ( p, n − p)，接受H1，拒绝H0，即认为与有显 著差异。
差异。
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武汉理工大学统计学系唐湘晋
二、Σ未知时单个总体均值向量的检验
建议:用样本协方差S来替换Σ ,即
( ) ( ) T 2 = n X − μ0 ′ V-1 X − μ0 = n (n −1)(X − μ0 )′ S-1 (X − μ0 )
其中
( )( ) ∑ V = 1 S = 1 n n -1 n -1 j=1
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22.62 32.57 51.23 61.39
4
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§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题，包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量，若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题，虽然可以使问题简化，但忽略了p个 分量间的互相依赖关系，常常得不出正确的结 论。
2. 算样本的均值 X
( ) ( ) 3. 计算统计量T的具体值 T02 = n X − μ0 ′ Σ−1 X − μ0 .
4. 按规定的小概率标准α，查 χ 2分布表，得临界
值 χα2 ( p)，并作出判断: 当 T02 ≤ χα2 ( p)，接受H0，拒绝H1，即认为与没有显
著差异。 当 T02 ＞ χα2 ( p)，接受H1，拒绝H0，即认为与有显著
Xj −X
Xj −X ′
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( )( ) ∑ 在
H 0 :μLeabharlann Baidu
=
μ0下, S=
X~
n
X
1 NP (μ0 , n Σ)
j -X Xj -X
′
,
~
X − μ0 ~
Wp (n −1,
NP (0,
Σ).
1 n
Σ)
j =1
故由T2分布定义知
( ) ( ) T 2 = (n −1) ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦′ S−1 ⎡⎣ n X − μ0 ⎤⎦ ~ T 2 ( p, n −1)
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小区号 性状
性状
X1 X2 X3 X4 小区号
性状
X1 X2 X3 X4 小区号
X1 X2 X3 X4
1
22.88 32.81 51.51 61.53
8
22.74 32.67 51.44 60.30
15
22.81 33.02 51.70 61.49
2
22.74 32.56 51.49 61.39
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小概率原理
一个概率很小的事件，在一次试验中可以认为是不可 能发生的； 在假设检验中，接受或拒绝原假设的决定是根据样本 特征值与假设值的偏差超过一定界限的概率作出的， 如果这个概率很小，就拒绝假设；如果这个概率较 大，就接受假设。这里显然有一个标准问题，即要规 定一个很小的概率α作为临界值，当上述偏差超出规 定界限的概率小于或等于α时，就拒绝原假设，反之 就接受原假设。这个临界概率α称为显著性水平。
在假设检验理论中，把原假设以外的那些值称为备择 假设。
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例如，若正态总体的平均数未知，但知道它的取值域 为μ＞0，我们要检验原假设“μ=μ0”，这样，除μ0 以外的一切正实数都是备择假设。但是，如果在假设 检验中只提出原假设，检验的目的只是通过观测资料 来判断是接受还是拒绝这个假设，那么这种假设称为 显著性检验。如果检验结果否定了原假设，就说（假 设与实际）差异显著；如果检验结果不能否定原假 设，就说（假设与实际）无显著差异。
利用T2与F分布的关系，检验统计量取为
n− p
(n −1) p
T2
~
F（p, n
−
p）
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具体步骤是：
1. 作统计假设：H0:μ = μ0 , H1:μ ≠ μ0
2.
3.
算样本的均值 X
由公式
(
n− p
n−1) p
T
2
∑ 和样本协方差
V
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X)(Xi
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在原假设 H0 下,
X
~
Np
⎛ ⎜⎝
μ0
,
1 n
Σ ⎞⎟⎠.
则
( ) X = μ0 +
1 n
1
Σ2Y
,Y
~
Np
0, I p
.
( ) −1
n Σ 2 X − μ0 = Y
( ) ( ) T02 = n X − μ0 ′ Σ−1 X − μ0 = Y'Y ~ χ 2 ( p)