实变函数复习要点

F
型集（可数个闭集的并） 、Borel 型集（从开集出发通过取
余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集． 例 零测度集：单点集、有理数集、康托集；
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例 零测度集与可数集的关系； 例“开集类” ， “波雷尔集类” ， “可测集类” ， “ G 型集 类” 之间的关系． （2）了解：可测集的构成． 可测集与开集、闭集只相差一小测度集 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零 集得到． 第三章 可测函数
G2 (1,2) (3,4) G G1 G2 ,求
G 的构成区间.
解 G 的构成区间为(0,2)、(3,4)． （2）简单应用：康托集，Cantor 集的基数为 C． 第二章 测度论
一、考核知识点 1. 外测度的定义以及简单性质； 2. 可测集的卡氏条件 （Caratheodory 条件） 和可测集的性质；
一、考核知识点 1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概 念以及邻域的性质； 2. 聚点、内点、开核、边界、导集和闭包及其性质； 3. 开集、闭集及其性质； 4. 直线上的开集的构造，构成区间． 二、考核要求 1. n 维欧氏空间 了解：邻域的概念、有界点集概念． 2. 聚点、内点
a, b 上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等．
f x 在 a, b 上黎曼可积的充要条件是 f x 在 a, b 上的
不连续点所成之集测度为零． （3）计算常见函数的 L 积分值，
f x 1 , x 0,1 ; x 1 , x 1, . x2
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了解：聚点、内点、外点、孤立点、开核、边界、导集 和闭包． 如 聚点与内点的关系， 如聚点的等价定义：设 P0 E ，存在 E 中的互异的点列
Pn P Pn 使 lim n
0
3. 开集，闭集 （1）了解：开集、闭集的概念； （2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的 性质； 例如 A 为闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列收敛于 A 中 的点（即闭集为对极限运算封闭的点集） ． （3）了解：Bolzano-Weierstrass 定理、Borel 有限覆盖定理． 4. 直线上的开集的构造 （1）了解：直线上的开集的构造及构成区间的概念； 例 设 G1 (0,2) ,
第四章
积分论
一、考核知识点 1. 勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系； 2. 勒贝格积分的性质； 3. 勒贝格控制收敛定理； 4. 绝对连续函数与牛顿-莱布尼兹公式； 5. Lp ( E ) 的定义． 二、考核要求 1.勒贝格积分的定义 （1）简单应用：勒贝格可积的充要条件； 设 f(x)是可测集 E n (mE ) 上的有界函数，则 f(x) 在 E 上可积的充要条件是 f(x)在 E 上可测． （2）分析：L 积分与 R 积分的关系； 若有界函数 f x 在闭区间 a, b 上黎曼可积，则 f x 在
* n1 n 1
2. 可测集 （1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件） ； （2）分析：可测集的性质． 可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数 并，以及极限运算封闭． 3. 可测集类 （1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性； Borel 集及其可测性； G 型集、 F 型集． 零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交） 、
例
求 0, f x dx ．
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例
1 ，x \ ，计算 f ( x)dx ． f ( x) x [0,1] x3 ，x
3. 勒贝格积分性质 简单应用 绝对可积性与绝对连续性． 4. 积分的极限定理 分析：勒贝格控制收敛定理； 掌握：Fatuo 引理的证明； 利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算积分
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n1
An [1,0] ， An (2,1) ．
n1


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3. 对等与基数 （1）了解：集合的对等与基数的概念； （2）综合应用：集合的对等的证明． 例 利用定义直接构造两集合间的 1-1 对应． 4. 可数集合 （1）了解：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合 类； （2）综合应用：可数集合的性质． 5. 不可数集合 了解：不可数集合的概念、例子． 第二章 点集
祝同学们复习愉快！
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c ( A )c A c ( A )c A




（2）综合应用：集合的并、交、补运算，以及集合列的极 限运算． 例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等． 例 根据集合列上下极限的定义，会计算集合列的上下极限 与极限．
1 例如 设An {x : 1 1 n x 1 n }, n N ，则
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并能记住和正确表述出来． 简单应用（会） ：在了解的基础上，能够进一步深入全面地 把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确 运用． 综合应用（掌握） ：能够正确熟练地简单应用所学知识，处 理相关一般性问题． 分析（熟练掌握） ： 在理解掌握所学知识的基础上用所学知 识分析解决实际问题． 温馨提示 习题以课后作业题、习题课上讲解题目为主！ 考试题目类型：判断题、填空题、叙述题、计算题、证 明题．
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3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其 可测性； G 型集、 F 型集；可测集的构成． 二、考核要求 1. 外测度 （1）综合应用：外测度的定义． 如设 B 是有理数集，则 m B 0 ． （2）了解：外测度的性质． 非负性： m A 0 单调性： 若A B，则m A m B 次可数可加性： m ( An ) m* An
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即： 设 f(x)=g(x) a.e.于 E， f(x)在 E 上可测，则 g(x)在 E 上也可测； 可测函数关于子集、并集的性质； 可测函数类关于四则运算封闭； 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭． 2. 叶果洛夫定理 了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列 的收敛 “基本上”是一致收敛． 3. 依测度收敛 （1）了解：依测度收敛的定义、性质． （2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理． 处处收敛和依测度收敛的关系； 一致收敛和依测度收敛的关系．
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
f n f a.e.于 E
子列 Riesz定理
f n f于 E
叶果洛夫 逆定理 Lebesgue定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
mE<+∞
f n f a.u .于 E
子列
4. 可测函数的构造：可测函数和连续函数的关系． 了解：鲁津定理． 可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理） ．
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2012《实变函数》复习要点
第一章 集合
一、考核知识点 1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算； 2. 对等和基数及其性质； 3. 可数集合的概念及其性质； 4. 不可数集合的概念及例子． 二、考核要求 1. 集合的概念 了解：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关 系． 2. 集合的运算 （1）了解：集合的并、交、补概念． De Morgan公式
(nx) s 例 计算 lim dx (0 s 1) ； n [0,1] 1 ( nx) s 1
例 计算 lim
1 t 1 t k
k 1 k
k (0, )
dt ．
5. 有界变差函数与微分 1. 有界变差函数 了解：有界变差函数的定义、分解定理，以及可微性； 2.绝对连续函数 了解：绝对连续函数的定义，与牛顿-莱布尼兹公式的关系． 6. Lp ( E ) 了解： Lp ( E ) 的定义． 关于考核目标说明 了解：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，