营养配餐问题

4 z x 2 = − x1 + 3 3
称为目标函数族，其中 作为参数出现 作为参数出现。 称为目标函数族，其中z作为参数出现。
x2
D C
B A （3） ） （1） ） （2） ）
x1
可以看出，目标函数曲线越向左下方走， 的 可以看出，目标函数曲线越向左下方走，z的 值越小， 值越小，它与五角行可以结合的最左下方的 点是C点 所以 点即是最优解点 易得C点 点即是最优解点， 点是 点，所以C点即是最优解点，易得 点 的坐标是（ ， ） 的坐标是（2，6）. 所以，其最优解是 所以，
要检验一个解是否是最优解， 要检验一个解是否是最优解 ， 只要将其代 入目标函数中， 入目标函数中 ， 看是否使得目标函数达到 最优即可。 最优即可。 将第一组解代入对应的约束方程组如下： 将第一组解代入对应的约束方程组如下：
x3 = 300 − 2 x1 − x 2 x 4 = 600 − 4 x1 − 3x 2 x5 = 810 − 6 x1 − 4 x 2
第一节 营养配餐问题 第一
一. 问题分析与模型建立 二. 问题求解 三.模型分析检验与推广
第一节 营养配餐问题 一.问题分析与模型建立 问题分析与模型建立 1. 问题引入
设医院为病人配置营养餐时,要求每餐中含有铁 设医院为病人配置营养餐时 要求每餐中含有铁 不低于50单位 蛋白质不低于 单位,钙不低于 不低于 单位,蛋白质不低于 单位 钙不低于 单 单位 蛋白质不低于40单位 钙不低于42单 假设仅有两种食品A和 可供配餐 可供配餐,相关数据见下 位.假设仅有两种食品 和B可供配餐 相关数据见下 假设仅有两种食品 试问,如何购买两种食品进行搭配 表.试问 如何购买两种食品进行搭配 才能既使病人 试问 如何购买两种食品进行搭配,才能既使病人 所需营养达到需求,又可以使总花费最低 所需营养达到需求 又可以使总花费最低? 又可以使总花费最低
另一种约束方程为不等式， 另一种约束方程为不等式 ， 则可在不等 式右端减去非负剩余变量，将其化为等式。 式右端减去非负剩余变量， 将其化为等式。 四 例题举例 例：用单纯形法求解老吴问题.
先将其数学模型化为标准型如下: 解: 先将其数学模型化为标准型如下
Leabharlann Baidu
max z = 500 x1 + 350 x 2 + 0 * ( x3 + x 4 + x5 ) 2 x1 + x 2 + x3 = 300 4 x1 + 3 x 2 + x 4 = 600 6 x1 + 4 x 2 + x5 = 810 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
min z = 4 x1 + 3 x 2 10 x1 + 5 x 2 ≥ 50
6 x1 + 5 x2 ≥ 42 x1 , x 2 ≥ 0
5 x1 + 8 x 2 ≥ 40
称为问题的决策变量, 其中的 x1 , x2 称为问题的决策变量 minz 表示求这样的
x1 , x2 的值 使函数 取最小值 由 的值,使函数 取最小值.由 使函数z取最小值
4 x1 + 3x2 ≤ 600 6 x1 + 4 x2 ≤ 810 x1 , x2 ≥ 0
(2) (3)
x * = (15,180) T 使用图解法， 使用图解法，易得其最优解是
z * = 7.05万元 最优值是
单纯形法简介
一 基本思路 根据问题的标准型 从可行域中某 基本思路:根据问题的标准型 根据问题的标准型,从可行域中某
5 x1 + 8 x2 ≥ 40
(铁含量 铁含量) 铁含量 (蛋白质含量 蛋白质含量) 蛋白质含量 (钙含量 钙含量) 钙含量
6 x1 + 5 x2 ≥ 42
总花费记为z,则 总花费记为 则
z = 4 x1 + 3x2
因为是在满足营养要求条件下,使总花费最小 因为是在满足营养要求条件下 使总花费最小, 使总花费最小 于是我们得到其数学模型为 :
可行解(一个顶点 开始 可行解 一个顶点)开始 转换到另一个可行解 一个顶点 开始,转换到另一个可行解 (顶点 并且使得目标函数达到最大值时 就 顶点),并且使得目标函数达到最大值时 顶点 并且使得目标函数达到最大值时,就 得到一个最优解. 得到一个最优解 二 标准形: 标准形
max z = c1 x1 + c 2 x 2 + ⋯ c n x n a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bn x1 , x 2 , ⋯ x n ≥ 0
对此方程组求解,根据线形代数知识 该方程 对此方程组求解 根据线形代数知识,该方程 根据线形代数知识 组有无穷多组解,(因为方程有两个自由未知 组有无穷多组解 因为方程有两个自由未知 这里只求使得自由未知量为零的解,例令 量)这里只求使得自由未知量为零的解 例令 这里只求使得自由未知量为零的解
x1 = 0, x2 = 0 ,则立刻得到一组解 则立刻得到一组解: 则立刻得到一组解
1.工艺数据 生产每单位产品 需要用到三 工艺数据:生产每单位产品 工艺数据 生产每单位产品A需要用到三 种原料Ⅰ 依次为2、 、 个单位 个单位,生 种原料Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ依次为 、4、6个单位 生 产单位产品B的用量依次是 、 、 个单位 个单位. 产单位产品 的用量依次是1、3、4个单位 的用量依次是 2.成本与利润数据 根据市场原料价位 消 成本与利润数据:根据市场原料价位 成本与利润数据 根据市场原料价位,消 耗三种原料费用比估计,单位产品 B的售 耗三种原料费用比估计 单位产品A, 的售 单位产品 运销等杂支,总资金为 价,运销等杂支 总资金为 运销等杂支 总资金为12000元按原料需 元按原料需 求比,分配初步确定为 购买三种原料依次 求比 分配初步确定为:购买三种原料依次 分配初步确定为
模型求解(图解法 图解法) 二 模型求解 图解法
1.适用范围： 适用范围： 适用范围 这里采用一种几何的方法-----图解法 这种方 图解法,这种方 这里采用一种几何的方法 图解法 法只适合于具有两个决策变量,对于决策变量多 法只适合于具有两个决策变量 对于决策变量多 于两个的情形就只能借助于单纯形解法 2.步骤 步骤
都是一个可行性配餐方案， 的任意一点 ( x1 , x 2 ) 都是一个可行性配餐方案， 在线性规划中被称为可行解， 在线性规划中被称为可行解，可行解的全 体集合称为可行域， 体集合称为可行域，我们的目标就是从这 无数的配餐方案中找一个使目标函数达到 最小值的一个，称为最优解。 最小值的一个，称为最优解。 最后，将目标函数几何化， 最后，将目标函数几何化，有
z 得到： 得到：
(0)
= 500 x1 + 350 x 2 + 0
可见， 的价值系数都大于零. 可见，非基本变量 x1 , x2 的价值系数都大于零 因此,令 改换成基本变量,可以使目标值增 因此 令 x1 , x2改换成基本变量 可以使目标值增 值增加,所以 目前的解非最优解 值增加 所以,目前的解非最优解 则选择价值系 所以 目前的解非最优解,则选择价值系 数最大者首先变成基本变量.为此我们选择 数最大者首先变成基本变量 为此我们选择 x1 为基本变量,令其增加一个单位 为基本变量 令其增加一个单位, x 2 仍为非基变 令其增加一个单位 量等于零,由约束方程组即可得到一个新解为 量等于零 由约束方程组即可得到一个新解为
规定各约束条件右端的，否则等式两端乘以 规定各约束条件右端的，否则等式两端乘以-1
三 将一般形化标准形
1 若目标函数是实现最小化，则需将目标函数 最小化变换求最大化，即令:
z = −z
'
2 约束方程如果是不等式。有两种情况： 一种是约束方程为不等式，则可以在不等式
的左端加入非负松弛变量，将其化为等式；
x
(0)
= (0,0,300,600,810)
T
且它是可行解,称这样的可行解为基本可行解 且它是可行解 称这样的可行解为基本可行解, 称这样的可行解为基本可行解 得到另外一组解: 若令 x 2 = 0, x5 = 0,得到另外一组解 得到另外一组解
x
(1)
= (135,0,30,.60,0)
T
这也是一组基本可行解.这样的解有无数个 使 这也是一组基本可行解 这样的解有无数个,使 这样的解有无数个 得目标函数达到最大的解为最优解,下面进一 得目标函数达到最大的解为最优解 下面进一 步判断. 步判断
表示, s.t 表示
于它是人们要达到的目标,所以也称之为目标函 于它是人们要达到的目标 所以也称之为目标函 数.最低营养要求条件组合在一起 以 最低营养要求条件组合在一起, 最低营养要求条件组合在一起
它是对目标函数取最小值的一组限制条件,通常 它是对目标函数取最小值的一组限制条件 通常 称为约束条件组 , 是英文subject to的缩写 s .t 是英文 的缩写
为坐标轴,建立平面直角坐标 Step1: 以x1 , x 2 为坐标轴 建立平面直角坐标 系 ，由于 象限。 象限。 Step2: 将其余条件几何化去，将各个条件几 将其余条件几何化去， 何化,然后取交集 得到一个以 何化 然后取交集,得到一个以 然后取交集 得到一个以A,B,C,D为顶点 为顶点 的右上方无界的五边形区域 ，这个 区域中 非负， 非负，所以只需画出第一
x = (1,0,298,596,804) 对应的目标值是 500
T
此解将目标值增大,在 进基的同时,应有一个 此解将目标值增大 在 x1进基的同时 应有一个 原基变量出来变成一个非基变量取值为零,由 原基变量出来变成一个非基变量取值为零 由 各个变量的非负条件得: 各个变量的非负条件得 300 600 810 810 x1 = min{ , , }= = 135 2 4 6 6 于是,令 得到新的基本可行解: 于是 令 x5 = 0 ,得到新的基本可行解 得到新的基本可行解
又有工艺数据及原料投入量,有 又有工艺数据及原料投入量 有 原料Ⅰ 原料Ⅰ限制 原料Ⅱ 原料Ⅱ限制 原料Ⅲ 原料Ⅲ限制
2 x1 + x2 ≤ 300
4 x1 + 3x2 ≤ 600
6 x1 + 4 x2 ≤ 810
以及x1 , x2 ≥ 0, 便得到
z = 500 x1 + 350 x2 (1) 2 x1 + x2 ≤ 300
个单位,所余资金留作机动 为300、600、810个单位 所余资金留作机动 、 、 个单位 扣除成本后,单位产品 的利润分别为500和 扣除成本后 单位产品A, B的利润分别为 单位产品 的利润分别为 和 350元. 元 依据上述数据,给出一个生产方案 给出一个生产方案,使得总 依据上述数据 给出一个生产方案 使得总 利润最大. 利润最大 二、 模型建立与求解 单位,则 设生产A, 两种产品分别为 设生产 B两种产品分别为 x1 和 x2单位 则 有利润函数: 有利润函数 z = 500 x1 + 350 x2
食品营养表
食品 营养 含量 铁 蛋白质 钙 价格 10 5 6 4 5 8 5 3 mg g mg 元/kg A B 单 位
2.建立模型 建立模型 设购买食品A和 依次为 则有: 设购买食品 和B依次为x1 kg和x2 kg,则有 和 则有 营养最低要求满足: 营养最低要求满足
10 x1 + 5 x2 ≥ 50
*
x1 = 2, x2 = 6
T
即： x = ( 2 , 6 )
对应的目标函数值称为最优值， 对应的目标函数值称为最优值，记作
z = 26
*
第二节给下岗工人当参谋
一 二 三 有一技之长的老吴 模型建立与求解 模型分析检验与推广
第二节 给下岗工人当参谋
一 有一技之长的老吴 工人老吴下岗后,打算利用自己的一技之长 工人老吴下岗后 打算利用自己的一技之长 生产两种产品A,B出售 但手头只有 出售,但手头只有 生产两种产品 出售 但手头只有12000元积 元积 蓄为了充分发挥这点资金的作用,他想好好规划 蓄为了充分发挥这点资金的作用 他想好好规划 于是找到了应用数学系的一位教师,请他帮 下,于是找到了应用数学系的一位教师 请他帮 于是找到了应用数学系的一位教师 经交谈,有以下数据被确定 忙,经交谈 有以下数据被确定 经交谈 有以下数据被确定: