圆章节考点情况总结分析

《圆》章节知识点

一、圆的概念

1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称

e”，读作“圆O”。

为半径，以点O为圆心的圆记作“O

2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。

3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。

4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“⋂”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。

6.①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。

（补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫

中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定

长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离

都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。

1、点在圆内⇒d r

<⇒点C在圆内；

2、点在圆上⇒d r

=⇒点B在圆上；

3、点在圆外⇒d r

>⇒点A在圆外；

解题注意点和圆的位置不确定性。

圆的对称性

圆是轴对称图形，他有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离

如果圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

1、直线与圆相离⇒d r

>⇒无交点；

2、直线与圆相切⇒d r

=⇒有一个交点；

3、直线与圆相交⇒d r

<⇒有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

外离（图1）⇒无交点⇒d R r

>+；

外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r

=+；

相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r

-<<+；

内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r

=-；

内含（图5）⇒无交点⇒d R r

<-；

A

五、垂径定理（非常重要）

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。 六、圆心角定理

顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。

图4

图5

B

D

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。 八、圆内接四边形

一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。

推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。

即：在⊙O 中，

∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠

+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

B

A

B

A O