海南华侨中学2020届高三下学期第五次月考数学试题及答案

2019-2020学年海南省海口市华侨中学高三（下）第五次月考数学试卷一、单选题（单选题每个小题只有一个正确选项，每小题5分，共计40分）1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的模|z|为（）A．2B．C．5D．2．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）在等比数列{a n}中，若a4，a3，a5成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．0或1或﹣2B．1或2C．1或﹣2D．﹣24．（5分）设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．（5分）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）A．B．C．D．[7．（5分）设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA＝AC＝2，VA⊥AC，BA⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是（）A．16πB．12πC．20πD．8π二、多选题（每小题5分，共4小题，共计20分）9．（5分）关于函数，下列叙述正确的是（）A．函数的最小正周期为B．其图象关于点对称C．其图象关于直线对称D．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到10．（5分）已知函数f，则下列结论正确的是（）A．f（x）g（x）为奇函数B．f（x）g（x）为偶函数C．f（x）+g（x）为奇函数D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数11．（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知是△A'ED△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（）A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A'GF⊥平面BCDEC．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值D．旋转过程中二面角A'﹣DE﹣C的平面角始终为∠A'GF12．（5分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m＝，n＝．则如下命题中的真命题有（）A．对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0B．对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0C．对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m＝nD．对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m＝﹣n三、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知两个单位向量，满足，则与的夹角为．14．（5分）在等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9＝．15．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）．16．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x﹣2）＝2f（x），且当x∈（0，2）时，f （x）＝2x﹣x2，则＝，若g（x）＝f（x）﹣log16x，则g（x）有个零点．四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分）17．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）求三棱锥A1﹣AMC1的体积．18．已知数列{a n}，S n为其前n项和，2S n＝n2+n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，记T n为数列{b n}的前n项和，求T n．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．x（分）57616572747784y（分）76828285879093参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos A＝2b﹣a （1）求角C（2）若D是边BC的中点，，求AB的长21．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，CD＝6，AD＝3，E为CD上一点，且DE＝4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED＝60°，如图2．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ADP；（Ⅱ）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；（Ⅲ）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x+（a+1）．（1）若，分析f（x）的单调性．（2）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）证明：对任意正整数n均成立，其中e为自然对数的底数．2019-2020学年海南省海口市华侨中学高三（下）第五次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（单选题每个小题只有一个正确选项，每小题5分，共计40分）1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的模|z|为（）A．2B．C．5D．【解答】解：∵复数（i为虚数单位），∴z＝＝＝＝i+2i2＝﹣2+i，z的模|z|＝＝．故选：B．2．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由于集合A＝{﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，∵0∈A且0∈A，1∈A且2∈A，2∈A且4∈A∴B＝{0，1，2}故B中元素个数为3个；故选：C．3．（5分）在等比数列{a n}中，若a4，a3，a5成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．0或1或﹣2B．1或2C．1或﹣2D．﹣2【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，若a4，a3，a5成等差数列，则2a3＝a4+a5，即2a1q2＝a1q3+a1q4，即为q2+q﹣2＝0，解得q＝1或﹣2，故选：C．4．（5分）设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵，∴a＜0，∵，∴b＞2，∵，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），＝（﹣2，2，1），＝（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．6．（5分）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）A．B．C．D．[【解答】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h，R，则S＝2πR2+2πRh，则，所以酒杯的容积，又h＞0，所以，所以，解得，故选：D．7．（5分）设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设，是非零向量，“”⇔＝•，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA＝AC＝2，VA⊥AC，BA⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是（）A．16πB．12πC．20πD．8π【解答】解：如图所示，∵面VAC⊥面ABC，VA⊥AC，∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，又BA⊥BC，VA∩BA＝A，∴BC⊥平面VAB，可得BC⊥VB．取VC的中点O，则OA＝OB＝OC＝OV＝VC．∴点O为三棱锥V﹣ABC的外接球的球心，设半径为R．则R＝VC＝＝．∴三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积＝4πR2＝8π．故选：D．二、多选题（每小题5分，共4小题，共计20分）9．（5分）关于函数，下列叙述正确的是（）A．函数的最小正周期为B．其图象关于点对称C．其图象关于直线对称D．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到【解答】解：由函数，得：在A中，函数的最小正周期为，故A正确；在B中，由3x+＝kπ，k∈Z，得其图象关于点（﹣，0）对称，当k＝1时，对称中心为（，0），故B正确；在C中，由3x+＝，k∈Z，得其图象关于直线x＝，k∈Z对称，当k＝﹣1时，对称轴为x＝﹣，故C正确；在D中，其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D 错误．故选：ABC．10．（5分）已知函数f，则下列结论正确的是（）A．f（x）g（x）为奇函数B．f（x）g（x）为偶函数C．f（x）+g（x）为奇函数D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数【解答】解：，故函数f（x）为奇函数，显然函数g（x）也为奇函数，∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，故选：BC．11．（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知是△A'ED△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（）A．动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A'GF⊥平面BCDEC．三棱锥A'﹣EFD的体积有最大值D．旋转过程中二面角A'﹣DE﹣C的平面角始终为∠A'GF【解答】解：在A中，∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；在B中，由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；在C中，三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；在D中，A′G⊥DE，FG⊥FG，∴旋转过程中二面角A'﹣DE﹣C的平面角始终为∠A'GF，故D正确．故选：ABCD．12．（5分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m＝，n＝．则如下命题中的真命题有（）A．对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0B．对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0C．对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m＝nD．对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m＝﹣n【解答】解：对于A，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m ＞0，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则B错误；对于C，由m＝n，可得f（x1）﹣f（x2）＝g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）＝g （x2）﹣f（x2），考查函数h（x）＝x2+ax﹣2x，h′（x）＝2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则C错误；对于D，由m＝﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）＝﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）＝x2+ax+2x，h′（x）＝2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则D正确．故选：AD．三、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知两个单位向量，满足，则与的夹角为．【解答】解：∵是单位向量；∴对两边平方可得：；∴；∴；又；∴与的夹角为．故答案为：．14．（5分）在等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9＝8．【解答】解：等比数列{a n}中，由a3a11＝4a7，可知a72＝4a7，∴a7＝4，∵数列{b n}是等差数列，∴b5+b9＝2b7 ＝2a7 ＝8，故答案为：8．15．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的②或③时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）．【解答】解：连结AC，∵在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴AC⊥BD，BD⊥P A，∵AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴BD⊥PC，∴当点M满足条件①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的②或③时，平面MBD⊥平面PCD．故答案为：②或③．16．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x﹣2）＝2f（x），且当x∈（0，2）时，f （x）＝2x﹣x2，则＝，若g（x）＝f（x）﹣log16x，则g（x）有3个零点．【解答】解：根据条件f（x﹣2）＝2f（x），即f（x）＝f（x），所以＝f（﹣2）＝f（）＝[2×﹣（）2]＝；当x∈（2，4）时，f（x）＝f（x﹣2）＝[2（x﹣2）﹣（x﹣2）2]＝（x﹣2）（2﹣x），当x∈（4，6）时，f（x）＝f（x﹣2）＝（x﹣4）[2﹣（x﹣2）]＝（x﹣4）（﹣x），作出函数f（x）与y＝log16x的图象如图：由图可知，共3个交点，故答案为：；3．四、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分）17．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．（1）求证：B1C∥平面AC1M；（2）求三棱锥A1﹣AMC1的体积．【解答】（1）证明：在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面ACC1A1为矩形，连接A1C，交AC1于O，则O为A1C的中点，连接MO，又M为A1B1的中点，∴OM∥B1C，∵OM⊂平面AC1M，B1C⊄平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M；（2）解：∵AC⊥BC，AC＝BC＝1，M为A1B1的中点，∴＝，又CC1＝2，∴．18．已知数列{a n}，S n为其前n项和，2S n＝n2+n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，记T n为数列{b n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，2a1＝2S1＝12+1＝2，解得a1＝1．当n≥2时，由2S n＝n2+n，可得2S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）．两式相减，可得2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1），整理，得a n＝n．∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，∴a n＝n，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣）．故T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．19．（重点中学做）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（Ⅰ）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（Ⅱ）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；（Ⅲ）甲同学发现，其物理考试成绩y（分）与班级平均分x（分）具有线性相关关系，统计数据如表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩．x（分）57616572747784y（分）76828285879093参考数据：，，，．参考公式：，，（计算时精确到0.01）．【解答】解：（Ⅰ）记物理、历史分别为A1，A2，思想政治、地理、化学、生物分别为B1，B2，B3，B4，由题意可知考生选择的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，共12种．他选到物理、地理两门功课的情形有{A1，B1，B2}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}共3种．∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为；（Ⅱ）物理成绩的平均分为，历史成绩的平均分为，由茎叶图可知物理成绩的方差s2物理＜历史成绩的方差s2物理．故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学可（答对一点即可）．（Ⅲ）∵，，∴，，∴y关于x的回归方程为y＝0.58x+44.40．当x＝50时，y＝0.58×50+44.40≈73，故当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos A＝2b﹣a （1）求角C（2）若D是边BC的中点，，求AB的长【解答】解：（1）∵2c cos A＝2b﹣a，∴由正弦意理得2sin C cos A＝2sin B﹣sin A，∴2sin C cos A＝2sin（A+C）﹣sin A，∴2sin C cos A＝2sin A cos C+2cos A sin C﹣sin A，∴2sin A cos C＝sin A，∵sin A≠0，∴，∵C∈（0，π）∴C＝．（2）在△ACD中，由余弦定理得|AD|2＝|AC|2+|CD|2﹣2•|AC|•|CD|cos C，∴21＝25+|CD|2﹣5|CD||CD|2﹣5|CD|+4＝0，∴|CD|＝1或|CD|＝4，当|CD|＝1时，BC＝2，△ABC中，由余弦定理得|AB|2＝|AC|2+|BC|2﹣2•|AC|•|BC|cos C＝＝19，∴，当|CD|＝4时，|BC|＝8|AB|2＝|AC|2+|BC|2﹣2•|AC|•|BC|cos C＝，∴|AB|＝7，∴，即AB的值为，或7．21．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，CD＝6，AD＝3，E为CD上一点，且DE＝4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED＝60°，如图2．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ADP；（Ⅱ）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；（Ⅲ）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）解法一：∵DE＝4，PE＝2，∠PED＝60°，由弦定理得PD＝2，∵PD2+PE2＝16＝DE2，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF ∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直线AD，PD在平面APD内，且相交于D，∴PE⊥平面APD．解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE以DA所在的直线为x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0）∴＝（3，0，0），＝（0，3，），＝（0，﹣1，）．∵•＝0，•＝0，∴⊥，⊥∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP内的相交直线，∴PE⊥平面APD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE以DA所在的直线为x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0），F（，4，0），B（3，2，0），∴＝（3，2，0），＝（，1，﹣）∴＝设BD与PF所成的角为θ，则θ＝，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（0，﹣1，）.＝（，1，﹣）∵PE⊥平面ADP，∴平面ADP的法向量为＝＝（0，﹣1，）．设M是线段PF上一点，则存在0≤λ≤1，使∴═（0，3，）+λ（，1，﹣）＝（，λ+3，）.＝＝，如果直线DM与平面ADC所成的角为30°，那么||＝sin30°，即＝解得∵此方程在[0，1]内无解，∴在线段PF上不存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°．22．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x+（a+1）．（1）若，分析f（x）的单调性．（2）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）证明：对任意正整数n均成立，其中e为自然对数的底数．【解答】解：（1）a＝时，f（x）＝lnx+﹣2x+，f′（x）＝，x∈（0，+∞）f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间，（2）f′（x）＝+2ax﹣（2a+1）＝＝，因为x＞1，所以x﹣1＞0，故①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，而f（1）＝0，所以f（x）＜0，不符合题意，②当a≥时，即，f（x）在（1，+∞）上单调递增，而f（x）＞f（1）＝0，所以符合题意，③当0＜a＜时，x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，）上单调递减，而f（1）＝0，所以此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述a的取值范围为[，+∞）．（2）证明：要证•……＞．等价于证明ln+ln+…+ln+…+ln＞．由（1）可得lnx＞（x﹣1）[1﹣（x﹣1）]在（1，+∞）上恒成立，令x＝1+，k＝1，2，3，…n，则．所以ln（1+）＞≥，所以ln+ln+…+ln+…+ln＞﹣＝．所以ln+ln+…+ln+…+ln＞成立．所以（n2+1）（n2+2）（n2+3）…（n2+n）＞•n2n成立．。