利用向量证明垂直问题

A x
设uu平ur 面AA1C1Cu的uur法向量为n2 (x2 , y2 , z2 ),
AA1uur (0uu,u0r,1), AC
nuur2 uAuAur1 z2 0
(2, 2,0)
,
令x2
uur 1,则n2
(1, ,1, 0)
uunr2 uAurC 2x2 2 y2 0
uur uur
2.如图,正方体ABCD A1B1C1D1
中,O为AC与BD的交点,G为CC1的
z
D1
C1
中点,求证：A1O 平面GBD.
A1
B1
G
证明：
以D为坐标原点建立坐标系如图.
D O
Cy
设正方体棱长为2，则
xA
B
O(1,1,0),A
uuur
1
(2, 0, 2)
uuur
G(0, 2,1), B(2, 2,0), D(0,,0,0) uuur
是CC1的中点.
求证：A1O⊥平面GBD.
D
ห้องสมุดไป่ตู้C1 B1
G
C
O
A
B
OuuAu1r
(1,
uuur
1,
2),
OB
(1,1,
0),
BG
(2,
0,1)
Q
OuuAur1
OB
uuur
11
11
2
0
0
A1O
OB
OA1 BG 1 (2) 1 0 21 0 A1O BG
而OB I BG B, A1O 平面GBD
点拨提高与归纳
z V
题1:如图,四棱锥V-ABCD
中,底面ABCD是正方形,侧
r r rr
u v uv 0
解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标系, 然后进行坐标化。
检测自学效果
r
1.设直线r l1的方向向量为a (2，1， 2)，直线l2的方向
向量为b (2, 2,3),则直线l1,l2的位置关系z 为_垂_直___ .
2.如图,正方体ABCD A1B1C1D1
D
Cy
面VAD是正三角形,平面
VAD⊥底面ABCD.
xA
B
求证：AB⊥平面VAD
证明：以D为坐标原点建立坐标系如图.
设底面边长为1，则A(1,0,0),B(1,1,0),V( 1 ,0, 3 ).
uuur AB
(0,1,
uur 0),VA
(
1
,
0,
3)
22
uuur uur
22
AB VA 0
AB VA,又AB AD,且VA I AD A
jchay
2.立体几何中的垂直关系的向量r 表r示 设的直 法线 向量l, m分的别方为向ur，向 vr量分，别则为有a以，下 b ，结平论面：，
(1)线线垂直r： r r r
r
l m a b ab 0
a
(2)线面垂直r： r
r
r
ru
l a / /u a ku
l
r
br mv
(3)面面垂直：
2.写出空间图形中各点的空间坐标。
3.利用空间向量的关系来证明相关的垂直问题.
当堂训练
D1
1.正方体ABCD-A1B1C1D1 A1
中,E,F分别是BB1,DC的中
点,求证:平面AD1F⊥平面
D
ADE.
C1 B1
E
F
C
A
B
2.正方体ABCD-A1B1C1D1 D1 中,O是AC与BD的交点,G A1
AB 平面VAD
题2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB⊥BC,|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,
z B1
C1
E为BB1的中点.
求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. A1
E
证明：以B为坐标原点建立坐标系如图，
B
Cy
A(2,0,0), B(0,0,0),C(0, 2,0),
1
A1
(2,
中,O为AC与BD的交点,G为CC1的
D1 A1
C1
B1
G
中点,求证：A1O 平面GBD.
证明：
D
Cy
O
以D为坐标原点建立坐标系如图. x A
B
设正方体棱长为2，则
O(1,1,0),A
uuur
1
(2, 0, 2)
uuur
G(0, 2u,u1u)r, B(2, 2,0), D(0,,0,0)
OA1 (1, 1, 2),OB (1,1,0), BG (2,0,1)
0,1),
C1
(0,
2,1),
E
(0,
uur
0,
2
),
A x
设uAu平Cuuurur1面uuAu(urE2C,12的,1法), uA向uEur量为(n21,0,(12x1),, y1, z1),
nuur1 n1
AC1 2x1 2y1
uuur AE
2
x1
1 2
z1
z1 0
0 ,
uur 令x1 1,则n1 (1, 1, 4)
题2:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
z B1
C1
AB⊥BC,|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,
E为BB1的中点.
A1
E
求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
B
Cy
A(2,0,0), B(0,0,0),C(0, 2,0),
1
A1
(2,
0,1),
C1
(0,
2,1),
E(0, 0, uur
), 2
Q n1 n2 11 (1) 1 4 0 0 n1 n2
平面AEC1 平面AA1C1C.
归纳：运用空间向量的知识来证明垂直问题 的步骤
1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。