高考数学专题06确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解

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高考数学中抽象函数的解法

高考数学中抽象函数的解法

函数 y f ( x) 的图象关于点 (a b ,0) 成中心对称图形。 2
( 3)设 a, b 均为常数,函数 y f (x) 对一切实数 x 都满足 f (a x) f (b x) 函
数y
f (x) 的图象关于轴 x
ab 对称。
2
4
例 14:如果 f ( x) = ax 2 bx c 对任意的 t 有 f (2 t ) f 2 t ) , 比较
所以 f ( x2 ) f ( x1 (x2 x1)] f (x1) f (x2 x1) f ( x1 )
所以 y f ( x) 在 R 上为增函数。
评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。
七、解抽象不等式(确定参数的取值范围)
九、周期问题
命题 1:若 a 是非零常数,对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函 数 y=f(x) 是周期函数 .
函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= - f(x) ,则 f(x) 是周期函数,且 2a 是它的一个周期 .
1 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f ( x ) ,则 f(x) 是周期函数,且 2a 是它的一个周期 .
下面来证明,对任意 x R, f ( x) 0 设存在 x0 R ,使得 f ( x0 ) 0 ,则 f (0) f (x0 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0 这与上面已证的 f (0) 0矛盾,因此,对任意 x R, f ( x) 0 所以 f ( x) 0 评析:在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值, 般向特殊转化的必要手段。

《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当x <0时,f (x )= A .e 1x -- B .e 1x -+ C .e 1x ---D .e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当0x <时,0x ->,则()e x f x --=-1()f x =-,得()e 1x f x -=-+.故选D .【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式,渗透了数学抽象和数学运算素养.采取代换法,利用转化与化归的思想解题.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A .50-B .0C .2D .50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,且(1)(1)f x f x -=+, 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++,因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-,所以(1)(2)0())(34f f f f +++=, 因为(2)(0)0f f ==,从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==.故选C .【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当(,0)x ∈-∞时,32()2f x x x =+,则(2)f =______________.【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程,从而可得()f x 的值或解析式;(2)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.【命题意图】1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想. 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现,难度中等或中等上,热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系,这种联系成为命题者的钟爱,一般情况下可“知二断一”. 【答题模板】1.判断函数奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法(2)图象法(3)性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意:①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.②性质法在选择题和填空题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 2.与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:首先设出未知区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可. (3)已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下,利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-,()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =,列式求解,也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ,可考虑列式(0)0f =求解.(4)已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 【方法总结】1.函数奇偶性的定义及图象特点(1)偶函数:如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么函数()f x 是偶函数,其图象关于y 轴对称;(2)奇函数:如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=-,那么函数()f x 是奇函数,其图象关于原点对称.2.判断()f x -与()f x 的关系时,也可以使用如下结论:如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠,则函数()f x 为偶函数;如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠,则函数()f x 为奇函数. 注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个x ,x -也在定义域内(即定义域关于原点对称). 3.函数奇偶性的几个重要结论(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2)()f x ,()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论:(3)若奇函数的定义域包括0,则(0)0f =.(4)若函数()f x 是偶函数,则()()(||)f x f x f x -==.(5)定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.(6)若函数()y f x =的定义域关于原点对称,则()()f x f x +-为偶函数,()()f x f x --为奇函数,()()f x f x ⋅-为偶函数.(7)一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数,函数()x xf x a a-=-为奇函数.②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++(0a >且1a ≠)为奇函数. ③函数1()log 1axf x x-=+(0a >且1a ≠)为奇函数.④函数()log (a f x x =(0a >且1a ≠)为奇函数. 4.若()()f a x f a x +=-,则函数()f x 的图象关于x a =对称. 5.若()()f a x f a x +=--,则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称.6.若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称,则函数()f x 的周期为2()b a -. 7.若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称,则函数()f x 的周期为4()b a -. 8.若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称,则函数()f x 的周期为2()b a -. 9.若函数()f x 是奇函数,且关于x a =(0)a >对称,则函数()f x 的周期为4a . 10.若函数()f x 是偶函数,且关于x a =(0)a >对称,则函数()f x 的周期为2a . 11.若函数()f x 是奇函数,且关于(,0)a (0)a >对称,则函数()f x 的周期为2a . 12.若函数()f x 是偶函数,且关于(,0)a (0)a >对称,则函数()f x 的周期为4a . 13.若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-,1()()f a x f x +=-,1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a .1.【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A . B . C .D .【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【解析】A 选项中 ,故不是奇函数,B 选项中 ,故不是奇函数,C 选项中,故不是奇函数,D 选项中,是奇函数,故选D .2.【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数,则(1)f a -= A .1- B .23- C .23D .1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义,求得参数0a =,从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-,求得结果. 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+,∴0a =,∴2(1)(1)3f a f -=-=-, 故选B .【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识,属于基础题目,考查考生的运算求解能力. 3.【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当 时3()x m f x =+(m 为常数),则3(log 5)f -的值为A .4B .4-C .6D .6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ,再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -.【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数),则03(0)0m f =+=,则 , , 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-.故选B .【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,解题的突破口是利用奇函数性质:如果函数是奇函数,且0在其定义域内,一定有 .4.【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+,则1(lg 2)(lg )2f f +=A .2B .4C .2-D .4-【答案】A【分析】3()1f x x =+,可得()()2f x f x -+=,结合1lglg22=-,从而求得结果. 【解析】∵3()1f x x =+,∴()()2f x f x -+=,∵1lglg22=-,∴1(lg 2)(lg )22f f +=, 故选A .【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有奇函数的性质,属于简单题目,注意整体思维的运用.5.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++,若(lg )3f m =,则1(lg )f m = A .4- B .3- C .2-D .1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=,进而可求出结果.【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++,所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++, 因此()()1f x f x -+=; 又(lg )3f m =,所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-. 故选C .【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质,熟记函数奇偶性即可,属于常考题型. 6.【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数,当 时, ,则 A . B .0 C .1D .2【答案】A【解析】由题意可得: . 故选A .【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性,函数的周期性等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A .3x y =B .1ln||y x = C .||2x y =D .cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =,||2x y =,cos y x =为偶函数, 在区间(0,)+∞上,1ln ||y x =单调递减,||2x y =单调递增,cos y x =有增有减. 故选B .【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.8.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,1()14f =,当0x <时,2()log ()f x x m =-+,则实数m = A .1- B .0 C .1D .2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数,1()14f =, 且0x <时,2()log ()f x x m =-+, ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-, ∴1m =. 故选C .【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及已知函数值求参数的方法,熟记函数奇偶性的定义即可,属于常考题型.9.【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数,当0x ≥时,2()log (1)f x x =+,则3()f -=C .2D .1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数,得到(3)(3)f f -=-,再根据对数的运算性质,即可求解. 【解析】由题意,函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()log (1)f x x =+,则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-,故选A .【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用,以及对数的运算的性质的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性,以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于基础题.10.【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ,若 是奇函数,是偶函数,当 时, ,则 A . B . C .0D .【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形,求出函数的周期,利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值.【解析】因为 是奇函数, 是偶函数,所以 ,则 ,即 , 所以 , 则奇函数 是以4为周期的周期函数, 又当 时, ,所以 , 故选A .【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有函数的周期性,函数的奇偶性的定义,正确转化题的条件是解题的关键.11.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-,当3(,0)2x ∈-时,()f x =12log (1)x -,则(2017)f +(2019)f =C .1-D .2-【答案】A【分析】根据题意,对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-,则函数()f x 是周期为3的周期函数,据此可得(2017)(1)f f =,(2019)(0)f f =,结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值,相加即可得答案.【解析】根据题意,函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-, 则()(3)f x f x =-,则函数()f x 是周期为3的周期函数,所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=,(2019)(6733)(0)f f f =⨯=, 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)0f =, 当3(,0)2x ∈-时,()f x =12log (1)x -,则12(1)log [1(1)]1f -=--=-,则(1)(1)1f f =--=,故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=, 故选A .12.【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为 A .2B .1C .-1D .-2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征,首先得到 ,进而根据奇函数可得 ,根据 可得 ,即可得到结论.【解析】∵ 为偶函数, 是奇函数,∴设 , 则 ,即 ,∵ 是奇函数,∴ ,即 , , 则 , ,∴ , 故选A .【名师点睛】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键,属于中档题.13.【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数,当0x >时,2()log (1)f x x =-,则(1)0f x -<的解集是A .(,1)(2,3)-∞-B .(1,0)(2,3)-C .(2,3)D .(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件,分别求得,当0x >和0x <时,()0f x <的解集,由此可求解不等式(1)0f x -<的解集,得到答案.【解析】由题意,当0x >时,令()0f x >,即2log (1)0x -<,解得12x <<, 又由函数()y f x =是奇函数,函数()f x 的图象关于原点对称, 则当0x <时,令()0f x >,可得2x <-,又由不等式(1)0f x -<,可得112x <-<或12x -<-,解得23x <<或1x <-, 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-,故选A .【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质,以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.14.【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且(5)(3)f x f x +=-,如果当[0,4)x ∈时,2()log (2)f x x =+,则(766)f =A .3B .3-C .2D .2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-,可得(8)()f x f x +=,即()f x 的周期为8,再根据[0,4)x ∈时,2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==.【解析】由(5)(3)f x f x +=-,可得(8)()f x f x +=,所以()f x 是周期为8的周期函数,当[0,4)x ∈时,2()log (2)f x x =+,所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===, 又()f x 是定义在R 上的偶函数,所以2(2)(2)log 42f f -===. 故选C .15.【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ,当时, ,当 时, ,则 A .B .C .D .【答案】B【分析】由当 时, ,可得,根据奇偶性求出 即可. 【解析】定义域为R 的奇函数 ,当 时, ,则, 则 ..., 又当 时, , — , 故. 故选B .16.【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ,当07x <≤时,()26x f x x =+-,则不等式()0f x >的解集为 A .(2,7]B .(2,0)(2,7]-C .(2,0)(2,)-+∞D .[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时,()f x 为单调增函数,且(2)0f =,则()0f x >的解集为(2,7],再结合()f x 为奇函数,所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-.【解析】当07x <≤时,()26xf x x =+-,所以()f x 在(0,7]上单调递增,因为2(2)2260f =+-=,所以当07x <≤时,()0f x >等价于()(2)f x f >,即27x <≤,因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数,所以70x -≤<时,()f x 在[7,0)-上单调递增,且(2)(2)0f f -=-=,所以()0f x >等价于()(2)f x f >-,即20x -<<, 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-.故选B .【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性及不等式的解法,属基础题.应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反.17.【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数,且当 时,,则 ______________. 【答案】18-【分析】先求(4)f ,再利用函数的奇偶性求4()f -.【解析】由题得22(4)log 4418f =+=,所以(4)(4)18f f -=-=-.18.【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称,(3)f =则(1)f =______________.【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-,则函数的周期4T =,则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19.【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数,且当0x <时1()()2xf x =,则(3)f 的值是______________. 【答案】8-【分析】先求(3)f -,再根据奇函数性质得(3)f . 【解析】因为31(3)()82f --==,函数()f x 是奇函数,所以(3)(3)8f f =--=-.20.【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数,且周期为2,若当[0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-,则( 2.5)f -=______________. 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性,求出( 2.5)(0.5)f f -=-,求出函数值即可.【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数,且周期为2,∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-,∵当[0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-,∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=,∴( 2.5)0.25f -=-. 21.【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2,0)对称,且(3)3f =,则(1)f -=______________.【答案】3【分析】先由函数关于(2,0)对称,求出(1)f ,然后由奇函数可求出(1)f -. 【解析】函数()f x 的图像关于点(2,0)对称,所以(1)(3)3f f =-=-, 又函数()f x 为奇函数,所以(1)(1)3f f =-=-.22.【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数,则1()2f -=______________.【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ,根据奇函数定义可求得结果.【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数,11()()22f f ∴-=-=.23.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数,当0x >时,()lg f x x =,则1(())100f f 的值为______________. 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值,设为a ,判断a 是否大于零,如果大于零,直接求出()f a 的值,如果不大于零,那么根据奇函数的性质()()f a f a =--,进行求解.【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-, 20-<∵,函数()f x 是奇函数,(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-,所以1(())100f f 的值为lg2-.24.【山东省滨州市2019届高三第二次模拟(5月)】若函数 为偶函数,则______________.【答案】2-【解析】函数 为偶函数,则 , 即 恒成立, .则.【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用,对数的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25.【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且(0)0g =,当0x ≥时,2()()22xf xg x x x b -=+++(b 为常数),则(1)(1)f g -+-=______________. 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性,先求b 的值,再代入1x =,求得(1)(1)4f g -=,进而求解(1)(1)f g -+-的值.【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =,因为(0)0g =,所以0(0)(0)20f g b -=+=,解得1b =-,所以(1)(1)4f g -=,于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--.【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用,涉及了函数求值的知识;注意解析式所对应的自变量区间.26.【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数,则常数 等于______________. 【答案】【分析】由奇函数满足,代入函数求值即可.【解析】对一切且恒成立.恒成立,恒成立.,.27.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数,当时,,则______________.【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到=f(﹣8)=f()=﹣f(),利用当0<x<2时,=4x,求出,再求出,即可求得答案.【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数,∴=f(﹣8)=f()=﹣f(),∵当x∈(0,2)时,,∴=﹣2,∵是定义在R上周期为4的奇函数,∴==,同时=﹣,∴=0,∴﹣2.【名师点睛】考查周期函数的定义,奇函数的定义,关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上,属于中档题.28.【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数:①;②,,;③;④.其中是偶函数的有______________.(填序号)【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②,,为非奇非偶函数;再利用偶函数的定义,分别检验①③④是否符合,从而得到结果.【解析】①,为偶函数;②定义域,关于原点不对称,为非奇非偶函数;③,为奇函数;④ ,为非奇非偶函数; 故答案为①.【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题,涉及到的知识点有函数奇偶性的定义,注意判断函数奇偶性的步骤,首先确定函数的定义域是否关于原点对称,再者就是判断 与 的关系. 29.【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 , .若偶函数 满足 (其中 , 为常数),且最小值为1,则 ______________. 【答案】【分析】利用函数是偶函数,确定 ,利用基本不等式求最值,确定 的值,即可得到结论. 【解析】由题意, , , 为偶函数, , , , , , ,.30.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数,且(1)f x -为奇函数,当[0,1]x ∈时,3()1f x x =-,则29()2f =______________. 【答案】78-【分析】先由题意,()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数,且(1)f x -为奇函数,利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =,可得291()()22f f =-,然后带入求得结果. 【解析】因为(1)f x -为奇函数,所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-, 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数,所以()()f x f x -=,即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-,所以()f x 的周期4T =,因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-,2117()1()228f =-=, 所以297()28f =-.31.【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数,且 在 , 上单调递增,则不等式 的解集为______________.【答案】 , ,【分析】利用偶函数关于 轴对称, 在 , 上单调递增,将不等式 转化为 ,即可解得 的解集. 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数,可转化为 , 又 在 , 上单调递增,,两边平方解得 , , , 故 的解集为 , , .32.【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ,若函数(1)f x +为偶函数,函数(2)f x +为奇函数,则20191()i f i ==∑______________.【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数,函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+,可得(4)()f x f x +=,则函数()f x 是周期为4的周期函数,结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===,从而可得结果.【解析】根据题意,(1)f x +为偶函数,则函数()f x 的图象关于直线1x =对称, 则有()(2)f x f x -=+,若函数(2)f x +为奇函数,则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称, 则有()(4)f x f x --=+,则有(4)(2)f x f x +=-+, 设2t x =+,则(2)()f t f t +=-, 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=, 则函数()f x 是周期为4的周期函数, 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称, 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =, 则有(2)(0)0f f =-=,可得(4)0f=,则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=,故答案为0.33.【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数,当时,,则的值为______________.【答案】2【分析】根据题意,由是定义在R上的奇函数可得,结合函数为奇函数,分析可得,则函数是周期为2的周期函数,据此可得,结合函数的解析式可得的值,结合函数的奇偶性与周期性可得的值,相加即可得答案.【解析】根据题意是定义在R上的奇函数,则的图象关于点(﹣1,0)对称,则有,又由是R上的奇函数,则,且,则有,即,则函数是周期为2的周期函数,则,又由=log2=﹣2,则=2,,故=2+0=2.。

SXA204高考数学必修_利用函数单调性解抽象函数不等式问题

SXA204高考数学必修_利用函数单调性解抽象函数不等式问题

利用函数单调性解抽象函数不等式问题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数,特别是抽象函数不等式问题,是抽象函数的最常见题型.下面介绍两例.例1 若()f x 是定义在(0,+∞)上的减函数,且对一切a 、b ∈(0,+∞),都有()a f b=()f a -()f b ,且(4)f = 1,解不等式(6)f x +-1()f x>2. 解:因为()a f b=()f a -()f b ,且(4)f = 1, 所以有(6)f x +-1()f x >2⇒(6)f x +-1()f x>2(4)f ⇒2(6)f x x +-(4)f >(4)f ⇒26()4x x f +>(4)f .由于()f x 是 (0,+∞)上的减函数,因此有210,60,6 4.4x x x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪+⎪<⎩⇒0,6,8 2.x x x >⎧⎪>-⎨⎪-<<⎩⇒0<x <2.故原不等式的解为0<x <2.评注:⑴若函数()f x 在区间D 上单调递增,且x 1、x 2∈D ,则由1()f x <2()f x 可得x 1<x 2;⑵若函数()f x 在区间D 上单调递减,且x 1、x 2∈D ,则由1()f x <2()f x 可得x 1>x 2.利用这两个性质,就能去掉抽象函数中的符号“f ”,将不等式中的函数关系式转化为自变量之间的关系.例2 若非零函数()f x 满足下列三个条件:①对任意实数a 、b 均有()f a b -=()()f a f b ;②当x <0时,()f x >1;③(4)f =116.试解不等式(3)f x -·2(5)f x -≤14. 解:在()f a b -=()()f a f b 中令a = b ,得(0)f = 1,()f b -=(0)f b -=1()f b , 所以()f a b +=[()f a b --=()()f a f b -=()f a ·()f b . 所以()f x =()22x x f +=()2x f ·()2x f =2()2x f >0 (因为()f x ≠0).从而(4)f =2(2)f =116,得(2)f =±14. 又因为对一切x ∈R ,()f x >0,所以(2)f =14. 原不等式可化为(3)f x -·2(5)f x -=[(3)f x -+2(5)]x -≤14=(2)f . 设x 1<x 2,则x 1-x 2<0⇒12()f x x ->1,即12()f x x -=12()()f x f x >1, 又由已知2()f x >0,则1()f x >2()f x ,即y =()f x 是减函数. 所以不等式[(3)f x -+2(5)]x -≤(2)f 可化为x -3+5-x 2≥2,解得0≤x ≤1. 故原不等式的解为0≤x ≤1.评注:解抽象函数不等式,关键步骤为:一是把不等式化为()f x >()f ∆的形式,二是要判断函数的单调性.然后再根据函数的单调性,将抽象函数不等式的符号“f ”去掉,得到具体的不等式求解.。

高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)

高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)

重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数,由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其表现形式的抽象性和多变性,学生往往无从下手,这类问题是高考的一个难点,也是近几年高考的热点之一。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种: 1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解; 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性;3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性;4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法:(1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式;2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式(0>a 且1≠a );3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式(0>a 且1≠a );4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质;2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口;3、抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明,书写规范。

抽象函数单调性的判断

抽象函数单调性的判断

抽象函数单调性的判断 例1 已知函数()f x 对任意实数x ,y 均有)()()(y f x f y x f +=+.且当x >0时,)(x f >0,试判断)(x f 的单调性,并说明理由.解析:根据题目所给条件,原型函数为y =k x ,(k >0).此为增函数.类比其证明方法可得:设12,x x ∈R ,且21x x <,则2x -1x >0,故 )(12x x f ->0.∴ )(2x f -)(1x f =[]112)(x x x f +--)(1x f=)(12x x f -+)(1x f -)(1x f=)(12x x f ->0.∴)(1x f <)(2x f . 故)(x f 在(-∞,+∞)上为增函数.例2 已知函数()y f x =在R 上是奇函数,而且在(0)+∞,上为增函数,证明()y f x =在(0)-∞,上也是增函数.解析:此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>,而奇函数这个条件正是转化的媒介.设12(0)x x ∈-∞,,,且12x x <, ()f x 为奇函数,11()()f x f x ∴-=-,22()()f x f x -=-.由假设可知1200x x ->->,,即12(0)x x --∈+∞,,,且12x x ->-, 由于()f x 在(0)+∞,上是增函数,于是有12()()f x f x ->-,即12()()f x f x ->-,从而12()()f x f x <,()y f x ∴=在(0)-∞,上是增函数.例3 已知函数)(x f 对于任意正数x ,y 都有)(xy f =)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x >1时, )(x f <1.试判断)(x f 在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解析:此函数的原型函数可以为x y 1=.显然此函数在(0,+∞)上是减函数.对于x ∈(0,+∞)有)(x f =[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠0, ∴)(x f >0设1x ,2x ∈(0,+∞),且1x <2x .则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===<1, ∴ )(1x f >)(2x f , 故)(x f 在(0,+∞)上为减函数.一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数,一般出现在题目中,或许有定义域、值域等。

高考第6课函数的单调性

高考第6课函数的单调性

第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中,正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的单调增函数;②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是单调减函数;③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调增函数,在区间[0,+∞)上也是单调增函数,则函数在R上是单调增函数;④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调增函数,在区间(0,+∞)上也是单调增函数,则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义,结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】函数f (x )的定义域是(-1,4),令u (x )=-x 2+3x+4,则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.因为e >1,所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数,则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2,1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数,所以由f (2-a 2)<f (a ),可得2-a 2>a ,解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞,4]【解析】依题意得2m≤2,解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫作f(x)的单调区间;若函数是增函数,则称该区间为增区间;若函数为减函数,则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x∈(a,b)时,u∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,那么复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:增增(或减减)则增,增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法;(2)函数的图象法;(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2,求证:f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性:设元取值,作差变形,确定符号,得出结论;利用导数证明函数单调性:求导函数,确定符号,得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 综上,实数a 的取值范围是(0,1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有:(1)定义法;(2)图象观察法;(3)利用已知函数的单调性;(4)利用复合函数的单调性法则;(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断,其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ,求证:函数f (x )在区间(0,1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0,1]上任取x 1,x 2,且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x , 因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0, 又因为0<x 1<x 2≤1, 所以x 1x 2>0,x 1x 2-1<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在区间(0,1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞,-1)上是减函数,求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++,设x 1<x 2<-1,则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞,-1)上是减函数, 所以f (x 1)-f (x 2)>0, 由于x 1<x 2<-1,所以x 1-x 2<0,x 1+1<0,x 2+1<0, 所以a+1<0,即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围,可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是,若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭,上是增函数,那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩,,,,若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7,+∞)(2)(1,2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域,当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭,上是增函数,由于其图象开口向上,于是-12a≤12,解得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)的取值范围是[7,+∞).(2)由题意,得12+12a-2≤0,且a>1,解得1<a≤2,所以实数a的取值范围为(1,2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),f(1)=-23,且当x>0时,f(x)<0.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一:因为函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0,得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2,所以函数在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2,在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要,需作适当地变形,如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等;利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2,所以x2-x1>0,因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m,n∈R,不妨设m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)<2=f(1),因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-5<1⇒-3<a<2,即不等式的解集是(-3,2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数,那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数,且f(|x|)<f(1),所以|x|>1,所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩,,,在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩,,,在区间(-∞,+∞)上是减函数,那么在每一段上都是递减的,可知3a-1<0,0<a<1,且3a-1+4a≥0,所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点,则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0,得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数,故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解,由Δ=0,得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f,q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭,r=12[f(a)+f(b)],有下列关系式:①q=r<p;②q=r>p;③p=r<q;④p=r>q,其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab,q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+,r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab,且f(x)=ln x在(0,+∞)上是单调增函数,所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab),所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2,2)上是减函数,所以由f(m-1)-f(1-2m)>0,得f(m-1)>f(1-2m),所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩,,,即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩,,,解得-12<m<23,所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭,.趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数,那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1,4]上单调递增,则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3,+∞),则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩,,,,,,g(x)=x2f(x-1),那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ,x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++,x ∈[1,+∞).(1)当a =12时,求函数f (x )的最小值;(2)若对任意的x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x ),f (0)≠0,当x >0时,f (x )>1,且对任意的a ,b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0; (3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1,求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3,+∞)【解析】依题意得,不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3,解得x>3,即x的取值范围是(3,+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1,所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩,,,作出该函数的图象如图所示,观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭,【解析】设x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0,由x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,知2a-1>0,所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ,所以t ∈[1,2],即f (t )=t 2-at ,因为f (x )在[1,4]上单调递增,所以2a≤1,即a ≤2,所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略),可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减,在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增,又已知函数f (x )的单调增区间是[3,+∞),所以-2a=3,解得a=-6.7.[0,1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩,,,,,,其图象如图所示,其单调减区间是[0,1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x ),得函数f (x )关于直线x=1对称,故a=1,则f (x )=2|x-1|,由复合函数单调性得f (x )在[1,+∞)上单调递增,故m ≥1,所以实数m 的最小值等于1.9.方法一:任取x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1,所以|x1|<1,|x2|<1,x1-x2<0,21x-1<0,22x-1<0,|x1x2|<1,即-1<x1x2<1,所以x1x2+1>0.因此,当a>0时,f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),此时函数为减函数;当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),此时函数为增函数.方法二:f'(x)=-222(1)(-1)a xx+,x∈(-1,1),所以当a>0时,f'(x)<0,此时函数为减函数;当a<0时,f'(x)>0,此时函数为增函数.10.当0<a<1时,若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩,,解得0<a<3 4.当a>1时,若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩,,无解.综上,实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭,.11.(1)当a=12时,f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一:在区间[1,+∞)上,f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a,因为y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y min=3+a,当且仅当y min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3.方法二:f(x)=x+ax+2,x∈[1,+∞),当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;当a<0时,函数f(x)单调递增,所以当x=1时,f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,所以a>-3. 综上,实数a的取值范围为(-3,+∞).12.(1)令a=b=0,则f(0)=f(0)·f(0),又f(0)≠0,解得f(0)=1.(2)当x<0时,-x>0,所以f(0)=f(x)·f(-x)=1,因为x>0时,f(x)>1>0,所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0,所以对任意的x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1),即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1,可得f(x+2x-x2)>1,即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数,所以3x-x2>0,所以0<x<3. 即x的取值范围是(0,3).。

抽象函数的性质问题解析(数学)

抽象函数的性质问题解析(数学)

抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点,也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数,综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略,供内同学们参考。

1、 定义域:解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

材料一:若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,求函数)21(+=xf y 的定义域。

解析:由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,知1+x 中的)3,2[-∈x ,从而411<+≤-x ,对函数)21(+=xf y 而言,有1124x-≤+<,解之得:),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结:函数的定义域是指自变量的取值范围,求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同(即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围),如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。

2、 值域:解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二:若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-,求函数)23(+=x f y 的值域。

解析:函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同,故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。

总结:当函数的定义域与对应法则不变时,函数的值域也不会改变。

3、 对称性:解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

材料三:设函数)(x f y =定义在实数集上,则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于( )A 、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称 解法一(定义证明):设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点,则)1(00-=x f y ,),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -,要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上,则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=,应有121-=-m ,故1=m ,所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(原卷版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(原卷版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x ),f (x )g (x ),f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题,是近几年高考试卷中的一位“常客”,常以压轴题小题的形式出现,解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题.导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x ),则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性,而是包含f (x )的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是f ′(x )的形式,则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x ),因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数.构造函数是数学的一种重要思想方法,它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想.分析近些年的高考,发现构造函数的思想越来越重要,而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上.构造函数的主要步骤:(1)分析:分析已知条件,联想函数模型;(2)构造:构造辅助函数,转化问题本质;(3)回归:解析所构函数,回归所求问题.考点一 构造F (x )=x n f (x )(n ∈Z ,且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )=x n f (x ),则F ′(x )=nx n -1f (x )+x n f ′(x )=x n -1[nf (x )+xf ′(x )];(2)若F (x )=f (x )x n ,则F ′(x )=f ′(x )x n -nx n -1f (x )x 2n =xf ′(x )-nf (x )x n +1. 由此得到结论:(1)出现nf (x )+xf ′(x )形式,构造函数F (x )=x n f (x );(2)出现xf ′(x )-nf (x )形式,构造函数F (x )=f (x )xn . 【例题选讲】[例1](1)已知f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )为f (x )的导函数,且满足f (x )<-xf ′(x ),则不等式f (x +1)>(x -1)f (x 2-1)的解集是( )A .(0,1)B .(1,+∞)C .(1,2)D .(2,+∞)(2)已知函数f (x )是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且满足xf ′(x )+2f (x )>0,则不等式(x +2 021)f (x +2 021)5<5f (5)x +2 021的解集为( ) A .{x |x >-2 016} B .{x |x <-2 016} C .{x |-2 016<x <0} D .{x |-2 021<x <-2 016}(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x >0时,xf ′(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(0,1)B .(-1,0)∪(1,+∞)C .(-∞,-1)∪(-1,0)D .(0,1)∪(1,+∞)(4)设f (x )是定义在R 上的偶函数,当x <0时,f (x )+xf ′(x )<0,且f (-4)=0,则不等式xf (x )>0的解集为________.(5)已知f (x )是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f ′(x ),且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立,则( )A .4f (1)<f (2)B .4f (1)>f (2)C .f (1)<4f (2)D .f (1)>4f ′(2)(6)已知定义域为R 的奇函数y =f (x )的导函数为y =f ′(x ),当x >0时,xf ′(x )-f (x )<0,若a =f (e )e ,b =f (ln 2)ln 2,c =f (-3)-3,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A .a <b <c B .b <c <a C .a <c <b D .c <a <b【对点训练】1.设函数f (x )是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2 021)2f (x+2 021)-4f (-2)>0的解集为( )A .(-∞,-2 021)B .(-∞,-2 023)C .(-2 023,0)D .(-2 021,0)2.设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-2)=0,当x >0时,xf ′(x )-f (x )>0,则使得f (x )>0成立的x的取值范围是________.3.已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (-1)=0,当x >0时,2f (x )>xf ′(x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________.4.设f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (1)=0,当x <0时,有xf ′(x )-f (x )>0恒成立,则不等式f (x )>0的解集为________.5.设f (x )是定义在R 上的奇函数,f (2)=0,当x >0时,有xf ′(x )-f (x )x 2<0恒成立,则不等式x 2f (x )>0的解集 是________________.6.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (2)=0,当x >0时,xf ′(x )-f (x )x 2<0恒成立,则不等式f (x )x>0的解集 为( )A .(-2,0)∪(2,+∞)B .(-2,0)∪(0,2)C .(-∞,-2)∪(0,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)7.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )-f (x )<0,对任意正数a ,b ,若a <b ,则必有( )A .af (b )<bf (a )B .bf (a )<af (b )C .af (a )<bf (b )D .bf (b )<af (a )8.设函数f (x )的导函数为f ′(x ),对任意x ∈R ,都有xf ′(x )<f (x )成立,则( )A .3f (2)>2f (3)B .3f (2)=2f (3)C .3f (2)<2f (3)D .3f (2)与2f (3)大小不确定9.定义在区间(0,+∞)上的函数y =f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立,其中y =f ′(x )为y =f (x )的导函数,则( )A .8<f (2)f (1)<16B .4<f (2)f (1)<8C .3<f (2)f (1)<4D .2<f (2)f (1)<3 考点二 构造F (x )=e nx f (x )(n ∈Z ,且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )=e nx f (x ),则F ′(x )=n ·e nx f (x )+e nx f ′(x )=e nx [f ′(x )+nf (x )];(2)若F (x )=f (x )e nx ,则F ′(x )=f ′(x )e nx -n e nx f (x )e 2nx =f ′(x )-nf (x )e nx. 由此得到结论:(1)出现f ′(x )+nf (x )形式,构造函数F (x )=e nx f (x );(2)出现f ′(x )-nf (x )形式,构造函数F (x )=f (x )enx . 【例题选讲】[例1](1)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )+2f (x )>0,且f (0)=1,则不等式f (x )>1e 2x的解集为 . (2)定义域为R 的可导函数y =f (x )的导函数为f ′(x ),满足f (x )>f ′(x ),且f (0)=1,则不等式f (x )ex <1的解集为________.(3)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )-2f (x )>0,f (0)=1,则不等式f (x )>e 2x 的解集为________.(4)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x ),则不等式e x -1f (x )<f (2x -1)的解集为________.(5)定义在R 上的函数f (x )满足:f (x )>1-f ′(x ),f (0)=0,f ′(x )是f (x )的导函数,则不等式e x f (x )>e x -1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A .(0,+∞)B .(-∞,-1)∪(0,+∞)C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-1,+∞)(6)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),若对任意x ,有f (x )>f ′(x ),且f (x )+2 021为奇函数,则不等式f (x )+2 021e x <0的解集是( )A .(-∞,0)B .(0,+∞)C .⎝⎛⎭⎫-∞,1eD .⎝⎛⎭⎫1e ,+∞ (7)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x -12+f (x +1)=0,e 3f (2 021)=1,若f (x )>f ′(-x ),则关于x 的不等式f (x +2)>1ex 的解集为( ) A .(-∞,3) B .(3,+∞) C .(-∞,0) D .(0,+∞)(8)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数,f ′(x )为其导函数,若对于任意实数x ,有f (x )-f ′(x )>0,则( )A .e f (2 021)>f (2 022)B .e f (2 021)<f (2 022)C .e f (2 021)=f (2 022)D .e f (2 021)与f (2 022)大小不能确定(9)已知f (x )是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A .f (2)>e 2f (0),f (2 021)>e 2 021f (0)B .f (2)<e 2f (0),f (2 021)>e 2 021f (0)C .f (2)>e 2f (0),f (2 021)<e 2 021f (0)D .f (2)<e 2f (0),f (2 021)<e 2 021f (0)(10)已知函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),若f (x )满足:(x -1)[f ′(x )-f (x )]>0,f (2-x )=f (x )·e 2-2x ,则下列判断一定正确的是( )A .f (1)<f (0)B .f (2)>e 2f (0)C .f (3)>e 3f (0)D .f (4)<e 4f (0)【对点训练】1.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x ),满足f ′(x )<f (x ),且f (0)=12,则不等式f (x )-12e x <0的 解集为( )A .⎝⎛⎭⎫-∞,12B .(0,+∞)C .⎝⎛⎭⎫12,+∞ D .(-∞,0) 2.已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数,f (1)=1e,对任意实数x ,都有f (x )-f ′(x )>0,则不等式f (x )<e x -2的 解集为( )A .(-∞,e)B .(1,+∞)C .(1,e)D .(e ,+∞)3.已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数,若f ′(x )-2f (x )<0,且f (-1)=0,则f (x )>0的解集为( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(-∞,0)D .(-1,+∞)4.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x ),满足f ′(x )>f (x ),且f (x +3)为偶函数,f (6)=1,则不等式f (x )>e x 的解集为( )A .(-2,+∞)B .(0,+∞)C .(1,+∞)D .(4,+∞)5.已知函数f (x )的定义域是R ,f (0)=2,对任意的x ∈R ,f (x )+f ′(x )>1,则不等式e x ·f (x )>e x +1的解集是( )A .{x |x >0}B .{x |x <0}C .|x |x <-1,或x >1|D .{x |x <-1,或0<x <1}6.已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x )+1<f ′(x ),f (0)=2,则不等式f (x )+1>3e x 的解集为( )A .(1,+∞)B .(-∞,1)C .(0,+∞)D .(-∞,0)7.定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )+f ′(x )<0,则下列各式一定成立的是( )A .e 2f (2021)<f (2019)B .e 2f (2021)>f (2019)C .f (2021)<f (2019)D .f (2021)>f (2019)8.定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )恒成立,若x 1<x 2,则1e x f (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系为( )A .1e x f (x 2)>2e x f (x 1)B .1e x f (x 2)<2e x f (x 1)C .1e x f (x 2)=2e x f (x 1)D .1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系不确定9.设函数f (x )的导函数为f ′(x ),对任意x ∈R 都有f (x )>f ′(x )成立,则( )A .3f (ln2)<2f (ln3)B .3f (ln2)=2f (ln3)C .3f (ln2)>2f (ln3)D .3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定10.已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数,且对于∀x ∈R ,均有f (x )>f ′(x ),则有( )A .e 2022f (-2022)<f (0),f (2022)>e 2022f (0)B .e 2022f (-2022)<f (0),f (2022)<e 2022f (0)C .e 2022f (-2022)>f (0),f (2022)>e 2022f (0)D .e 2022f (-2022)>f (0),f (2022)<e 2022f (0)考点三 构造F (x )=f (x )sin x ,F (x )=f (x )sin x ,F (x )=f (x ) cos x ,F (x )=f (x )cos x类型的辅助函数 【方法总结】(1)若F (x )=f (x )sin x ,则F ′(x )=f ′(x )sin x +f (x )cos x ;(2)若F (x )=f (x )sin x ,则F ′(x )=f ′(x )sin x -f (x )cos x sin 2x; (3)若F (x )=f (x )cos x ,则F ′(x )=f ′(x )cos x -f (x )sin x ;(4)若F (x )=f (x )cos x ,则F ′(x )=f ′(x )cos x +f (x )sin x cos 2x. 由此得到结论:(1)出现f ′(x )sin x +f (x )cos x 形式,构造函数F (x )=f (x )sin x ;(2)出现f ′(x )sin x -f (x )cos x sin 2x 形式,构造函数F (x )=f (x )sin x; (3)出现f ′(x )cos x -f (x )sin x 形式,构造函数F (x )=f (x )cos x ;(4)出现f ′(x )cos x +f (x )sin x cos 2x 形式,构造函数F (x )=f (x )cos x. 【例题选讲】[例1](1)已知函数f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上的奇函数.当x ∈[0,π2)时,f (x )+f ′(x )tan x >0,则不等式cos xf (x +π2)+sin xf (-x )>0的解集为( ) A .⎝⎛⎭⎫π4,π2 B .⎝⎛⎭⎫-π4,π2 C .⎝⎛⎭⎫-π4,0 D .⎝⎛⎭⎫-π2,-π4 (2)对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立,则下列不等式错误的是( ) A .f ⎝⎛⎭⎫π3>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B .f ⎝⎛⎭⎫π3>2f (1)cos 1 C .2f (1)cos1>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D .2f ⎝⎛⎭⎫π4<3f ⎝⎛⎭⎫π6 (3)定义在⎝⎛⎭⎫0,π2上的函数f (x ),函数f ′(x )是它的导函数,且恒有f (x )<f ′(x )tan x 成立,则( ) A .3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B .f (1)<2f ⎝⎛⎭⎫π2sin 1 C .2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4 D .3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3 (4)已知函数y =f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2满足f ′(x )cos x +f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式不成立的是( )A .2 f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B .2 f ⎝⎛⎭⎫-π3<f ⎝⎛⎭⎫-π4C .f (0)<2 f ⎝⎛⎭⎫π4D .f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 (5)已知定义在⎝⎛⎭⎫0,π2上的函数f (x ),f ′(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf ′(x )+sin xf (x )<0成立,则( ) A .f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B .3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C .f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D .2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4(6)已知函数y =f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2满足f ′(x )·cos x +f (x )sin x =1+ln x ,其中f ′(x )是函数f (x )的导函数,则下列不等式成立的是( )A .2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B .2f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫π4C .2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4D .2f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫π6。

SXA230高考数学必修_抽象函数问题的常见题型与解法

SXA230高考数学必修_抽象函数问题的常见题型与解法

抽象函数问题的常见题型与解法抽象函数问题是函数中的重要题型,学好抽象函数问题的解法,对于切实掌握函数的定义、性质等重要内容都有着举足轻重的作用。

因此,近几年,抽象函数问题以它的抽象、灵活,常常出现在高考中,而现行中学数学教材涉及此内容的部分甚少,学生解决此类函数问题时往往不知所措。

为此,本文对此类函数问题进行分类,并结合实例进行解析。

1.判断函数的奇偶性例1已知函数)(x f 的定义域为R ,对任意R x x ∈21,,都有++=⋅)([21)()(2121x x f x f x f )](21x x f -成立,且)(x f 不恒为零,试判断)(x f 的奇偶性。

解:因为函数)(x f 的定义域为R ,它关于原点对称。

令x x x x -==21,,得:+=-⋅)0([21)()(f x f x f )]2(x f ① 令x x x x ==21,,得:+=)2([21)(2x f x f )]0(f ② 由①②得:)()()(2x f x f x f =-⋅,即0)]()()[(=--x f x f x f 恒成立。

因为)(x f 不恒为零,0)()(=--∴x f x f ,即)()(x f x f =-,)(x f ∴为偶函数。

评注:判断函数的奇偶性,可先考察函数定义域是否关于原点对称,再研究)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是否恒成立。

2.确定函数的单调性例2设函数)(x f 的定义域为R ,且对任意实数n m 、总有)()()(n f m f n m f =+,且当0>x 时,1)(0<<x f 。

(1)证明:1)0(=f ,且当0<x 时,1)(>x f ;(2)证明:R x f 在)(上单调递减。

证明:(1)因为函数)(x f 对任意实数n m 、总有)()()(n f m f n m f =+,所以令0,1==n m 得:)0()1()1(f f f =,即0]1)0()[1(=-f f ,但0)1(≠f ,故必有1)0(=f 。

高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板-人教版高三全册数学试题

高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板-人教版高三全册数学试题

专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质,也是高中数学考查的重点内容。

而抽象函数的单调性解函数不等式问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛。

因此,我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景:几类特殊函数类型解题模板:第一步 (定性)确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性; 第二步 (转化)将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式;第三步 (去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步 (求解)解不等式或不等式组确定解集;第五步 (反思)反思回顾,查看关键点,易错点及解题规X.例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,若对于任意给定的实数12,x x ,且12x x ≠,不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立,则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________.【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件:①对任意的实数,x y 都有:()()()1f x y f x f y +=+-;②当0x >时,()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上增函数;(3)若()67,3f a =≤-,关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立,某某数a 的取值X 围.【答案】(1)()01f =;(2)证明见解析;(3)(]5,3--.即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立,令()()213g x x a x =-++,即()min 0g x >成立即可.①当112a +<-,即3a <-时,()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增, 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-,所以53a -<<-,②当112a +≥-即3a ≥-时,有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得231231a -<<,而2313-<-,所以3231a -≤<, 综上,实数a 的取值X 围是(]5,3-- 【变式演练1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数,且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时,函数2()21f x t at ≤-+,对一切[1,1]a ∈-恒成立,则实数t 的取值X 围为( ) A.22t -≤≤ B.2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】试题分析:由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数,且(1)1f -=-,所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1,所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立,当0t ≠时,则220t at -≥成立,又[1,1]a ∈-,令()22,[1,1]g a at t a =-∈-,当0t >时,()g a 是减函数,故令()10g ≥,解得2t ≥;当0t <时,()g a 是增函数,故令()10g -≥,解得2t ≤-,综上所述,2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点:函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数,当121x x +=时,不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立,则实数1x 的取值X 围是( )A. (),0-∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数.(1)求(1),(1)f f -的值; (2)求证:()()f x f x -=; (3)解不等式1(2)()02f f x +-≤.【答案】(1)(1)0f =,(1)0f -=;(2)证明见解析;(3)⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 .考点:抽象函数及应用.【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件:①对任意,(1,1)x y ∈-,都有()()()1x yf x f y f x y++=++;②当(1,0)x ∈-时,有()0f x >,求证:(1)()f x 是奇函数; (2)()f x 是单调递减函数; (3)21111()()()()1119553f f f f n n +++>++,其中*n N ∈. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明;(2)由单调性的定义,做差证明;(3)先由题(3)211()1(3)(2)23()[][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111()()()111955f f f n n +++++111111[()()][()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+,∴1()03f n ->+,∴111()()()333f f f n +->+.故21111()()()()1119553f f f f n n +++>++.考点:1.抽象函数;2.函数的单调性,奇偶性;3.数列求和. 【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的x 的取值X 围是()A .[]22-,B .[]11-,C .[]04,D .[]13,【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=,于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 【解析】又()f x 在()-∞+∞,单调递减 【解析】121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D2.【2017某某理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c << (B )c b a <<(C )b a c <<(D )b c a <<【答案】C3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑( )(A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【答案】C 【解析】试题分析:由于()()2f x f x -+=,不妨设()1f x x =+,与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-,故12122x x y y +++=,故选C. 考点:函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数的图象有对称中心.4.【2015高考,理7】如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()A .{}|10x x -<≤B .{}|11x x -≤≤C .{}|11x x -<≤D .{}|12x x -<≤【答案】C础题,首先是函数图象平移变换,把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位,得到2log (y x =+2)的图象,要求正确画出画出图象,利用数形结合写出不等式的解集.5. 【2014高考某某版理第7题】下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )(A )()12f x x = (B )()3f x x = (C )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )()3x f x =【答案】D6. 【2014某某理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( )A .12B .14C .12πD .18【答案】B 【解析】考点:1.抽象函数问题;2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键,是利用分类讨论思想、转化与化归思想,逐步转化成不含绝对值的式子,得出结论.本题属于能力题,中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时,考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.7. 【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->,则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效. (2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化. 【反馈练习】1. 【2017-2018学年某某省某某市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数,且()()29f m f m >+,则实数m 的取值X 围是( )A. ()9+∞,B. [)9+∞,C. (),9-∞-D. (]9-∞, 【答案】A2.【2018届某某省某某市第一中学高三10月调研数学(理)试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数,且()20f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为()A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃【答案】D 【解析】函数()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,()()0f x f x x--<,化为()20f x x<,等价于()0xf x <,当0x >时,解得02x <<,当0x <时,20x -<<,不等式的解集为:()()2,00,2-⋃,选D.3.【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学(文)试题】已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值X 围是( )A. B. C. D.【答案】C4.【2017届某某市滨海新区高三上学期八校联考(理科)数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,记()0.20.24.14.1f a =, ()2.12.10.40.4f b =,()0.20.2log 4.1log 4.1f c =,则()A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】A【解析】设120x x << ,则()()()()122112120f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()g x 是定义在R上的偶函数,因此()0.20.24.14.1f a =()()0.24.11gg =<, ()2.12.10.40.4f b =()()()2.120.40.40.5gg g =>> ,()0.20.2log 4.1log 4.1f c =()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即a c b << ,选A.点睛:利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小,首先根据函数的性质构造某个函数,然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值,最后根据单调性比较大小,要注意转化在定义域内进行 5.【2017届某某省高三教育质量诊断性联合考试数学(文)试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减,若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立,则a 的取值X 围为( ) A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C7.【2018届某某省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数,当时为减函数,且,则=( ) A. B.C.D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2), ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数, ∴0<x −2<2, ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2), ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数, ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减, ∴−2<x −2<0,∴0<x <2.综上可得:不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.【2017—2018学年某某省某某市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的(]0a b ∈-∞,,,当a b ≠时,都有()()0f a f b a b->-.若()()121f m f m +<-,则实数m 的取值X 围为_________. 【答案】(0,2)9. 【2017届某某省某某师X 大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数,当0x <时,()()1f x x x =-.则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________. 【答案】[)0,1【解析】当0x >时,则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+,即()()1f x x x -=+,所以()()1f x x x =-+,结合图像可知:函数在[]1,1-单调递减,所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤,解之得01m ≤<,应填答案[)0,1。

专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

专题06  函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一,是研究函数的基础,函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域(最值)也是高考中的一个重要考点,并且值域(最值)问题通常会渗透在各类题目之中,成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.提醒:两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=|x|,x ∈[0,2]与函数f(x)=|x|,x∈[-2,0].2.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒:分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a>0且a≠1)f(x)>0a f(x)(a>0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2+k π,k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ,则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域;②若()()y f g x =的定义域为(),a b ,则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域.5.常见函数的值域:在处理常见函数的值域时,通常可以通过数形结合,利用函数图像将值域解出,熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.(1)一次函数(y kx b =+):一次函数为单调函数,图像为一条直线,所以可利用边界点来确定值域.(2)二次函数(2y ax bx c =++),给定区间.二次函数的图像为抛物线,通常可进行配方确定函数的对称轴,然后利用图像进行求解.(关键点:①抛物线开口方向,②顶点是否在区间内).(3)反比例函数:1y x=(1)图像关于原点中心对称(2)当,0x y →+∞→ ,当,0x y →-∞→. (4)对勾函数:()0ay x a x=+> ① 解析式特点:x 的系数为1;0a >注:因为此类函数的值域与a 相关,求a 的值时要先保证x 的系数为1,再去确定a 的值 例:42y x x =+,并不能直接确定4a =,而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再求得2a =② 极值点:,x a x a ==③ 极值点坐标:(,2,,2a a a a --④ 定义域:()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域:(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣(5)函数:()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点:x 的系数为1;0a > ② 函数的零点:x a =③ 值域:R(5)指数函数(xy a =):其函数图像分为1a >与01a <<两种情况,可根据图像求得值域,在自然定义域下的值域为()0,+∞(6)对数函数(log a y x =)其函数图像分为1a >与01a <<两种情况,可根据图像求得值域,在自然定义域下的值域为()0,+∞(7)三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 (1)换元法:① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦:此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围,再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===:此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式,然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++(2)均值不等式法:特别注意“一正、二定、三相等”.(3)判别式法:若原函数的定义域不是实数集时,应结合函数的定义域,将扩大的部分剔除.(4)分离常数法:一般地, ① ax by cx d+=+:换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+:换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++:同时除以分子:21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++:分离常数→③的模型(5)单调性性质法:利用函数的单调性(6)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 (7)数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】(广东·高考真题(文))函数f (x )=11x-+lg(1+x )的定义域是( ) A .(-∞,-1) B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )=11x-+lg(1+x ), 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩,解得1x >-且1x ≠,所以函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞), 故选:C【典例2】(山东·高考真题(文))函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]【答案】B 【解析】 【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩,即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得-1<x <0或0<x ≤,选B.【典例3】(2019·江苏·高考真题)函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤, 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】(2022·北京·高考真题)函数1()1f x x x=-_________. 【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可; 【详解】 解:因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩,解得1x ≤且0x ≠, 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃; 故答案为:()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域:若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可. 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】(全国·高考真题(理))已知()f x 的定义域为(1,0)-,则函数(21)f x +的定义域为 ( ) A .(1,1)- B .1(1,)2--C .(1,0)-D .1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析:因为函数()f x 的定义域为(1,0)-,故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可,解得1-1-2x <<,选B .【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()31f x +的定义域为[]1,7,求函数()f x 的定义域. 【答案】[]4,22 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可.因为()31f x +的定义域为[]1,7,所以17x ≤≤,所以43122x ≤+≤.令31x t +=,则422t ≤≤. 即()f t 中,[]4,22t ∈. 故()f x 的定义域为[]4,22.【典例7】(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)y f x +=的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,则函数2(log )y f x =的定义域为( )A .(0,)+∞B .(0,1)C .222⎤⎢⎥⎣⎦D .2⎡⎤⎣⎦,【答案】D 【解析】 【分析】根据(1)y f x +=的定义域可知1122x ≤+≤,故21log 22x ≤≤,即可求出答案. 【详解】解:∵函数(1)y f x +=的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, ∴112x -≤≤,1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x =中,21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x =的定义域为2,]. 故选:D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出. (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域. 热点三 求函数的值域(最值)【典例8】(江西·高考真题(理))若函数()y f x =的值域是1[,3]2,则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( ) A .1[,3]2B .10[2,]3 C .510[,]23D .10[3,]3【答案】B【详解】试题分析:设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域,由“勾函数”的图象可知,102()3F x ≤≤,故选B .【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()y f x =的定义域是R ,值域为[]1,2,则下列四个函数①()21y f x =-;①()21y f x =-;①()12f x y -=;①()2log 11y f x =++,其中值域也为[]1,2的函数个数是( ) A .4 B .3 C .2 D .1【答案】B 【解析】 【分析】求出①②③④中各函数的值域,即可得出合适的选项. 【详解】对于①,因为()12f x ≤≤,则()[]211,3y f x =-∈,①不满足条件;对于②,对于函数()21y f x =-,21x -∈R ,则函数()21y f x =-的值域为[]1,2,②满足条件;对于③,因为()12f x ≤≤,则()[]1,221f x y -∈=,③满足条件; 对于④,因为()12f x ≤≤,()[]11,2f x +∈,则()[]2log 111,2y f x =++∈,④满足条件. 故选:B.【典例10】(2023·全国·高三专题练习)已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +=( )A .1B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】令1x t -=,()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+,令()21sin sin h t t t t t=+-,根据奇偶性的定义,可判断()h t 的奇偶性,根据奇偶性,可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0,分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=,因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃,所以(][2,0)0,2t ∈-⋃;那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+,(][2,0)0,2t ∈-⋃,令()21sin sin h t t t t t=+-,(][2,0)0,2t ∈-⋃,则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭,所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0, 那么()g t 的最大值与最小值之和为2. 故选:B .【典例11】(2022·河南·郑州四中高三阶段练习(文))高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,也称取整函数,例如:[]1.32-=-,[]3.43=,已知()11313x f x =-+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______. 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域,进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可 【详解】 ∵()11313xf x =-+,()30,x ∈+∞, ∴令30x t =>,则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-, 故答案为:{}1,0-【典例12】(2023·全国·高三专题练习)函数()21f x x x =+-________;函数24y x x =-________.【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值,函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈,然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,再由余弦函数的性质得取值范围. 【详解】(1)1x -t (t ≥0),所以x =1-t 2.所以y =f (x )=x 1x --t 2+2t =-t 2+2t +1=-(t -1)2+2.所以当t =1即x =0时,y max =f (x )max =2. (2)由4-x 2≥0,得-2≤x ≤2, 所以设x =2cos θ(θ∈[0,π]),则y =2cos θ244cos θ-θ-2sin θ2()4πθ+,因为5[,]444πππθ+∈, 所以cos ()4πθ+∈22⎡-⎢⎣⎦,所以y ∈[-22].故答案为:2;[2,2]-.【典例13】(2023·河南·洛宁县第一高级中学一模(文))已知函数()211122f x x x =++. (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程; (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1) 7420x y --=; (2)[]2,3. 【解析】 【分析】对于第一小问,把点()()22f ,代入函数解析式,得切点坐标,通过函数求导,得到过切点的切线的斜率,根据直线的点斜式方程,求切线方程.对于第二小问,解不等式()0f x '>,得函数增区间,解不等式()0f x '<,得函数减区间,结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,确定函数单调性,求得最值,进而得值域.(1) 因为()211122f x x x =++,所以()21f x x x '=-,所以()23f =,()724f '=, 故所求切线方程为()7324y x -=-,即7420x y --=. (2)由(1)知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==,1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦. 令()0f x '>,得12x <≤;令()0f x '<,得112x ≤<.所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[]1,2上单调递增,所以()()min 12f x f ==. 又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()23f =,所以()23f x ≤≤,即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3.热点四 求参数的值或取值范围【典例14】(2023·全国·高三专题练习)设a R ∈,函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,若()f x 的最小值为()1f ,则实数a 的取值范围为( ) A .[]1,2 B .[]1,3 C .[]0,2 D .[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】当1x >时,结合不等式求得其最小值为123a -,当1x ≤时,()()229f x x a a =-+-,根据函数()f x 的最小值为()1f ,列出不等式组,即可求解. 【详解】 当1x >时,22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-, 当且仅当28x x=时,等号成立; 即当1x >时,函数()f x 的最小值为123a -,当1x ≤时,()()222299f x x ax x a a =-+=-+-,要使得函数()f x 的最小值为()1f ,则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩,解得12a ≤≤,即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选:A.【典例15】(2022·全国·高三专题练习)已知函数()221f x ax x =++R ,则实数a 的取值范围是__. 【答案】[1,+∞) 【解析】 【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立,再对a 分类讨论得解. 【详解】解:函数()221f x ax x ++R , 即为ax 2+2x +1≥0恒成立, 若a =0,则2x +1≥0不恒成立; 当a >0,∆=4﹣4a ≤0, 解得a ≥1;当a <0,ax 2+2x +1≥0不恒成立. 综上可得,a 的取值范围是[1,+∞). 故答案为:[1,+∞).【典例16】(2016·北京·高考真题(理))设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =,则()f x 的最大值为____________________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】 【分析】试题分析:如图,作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象,它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --,由 2'()33g x x =-,知1x =是函数 ()g x 的极小值点,①当0a =时, 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->,由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=;②由图象知当1a ≥-时, ()f x 有最大值(1)2f -=;只有当 1a <-时,332a a a -<-,()f x 无最大值,所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-.【精选精练】1.(2023·全国·高三专题练习)若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩,{}2|N y y x -==,则( )A .M N ⋂=∅B .M N ⊆C .N M ⊆D .M =N【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x -1>0,解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域,值域为()0,∞+,故选:B.2.(2022·全国·高三专题练习)下列函数中,其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是( ) A .y =x B .y =lg xC .y =2xD .y x【答案】D 【解析】 【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域,对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+, 对于A ,y x =的定义域和值域均为R ,故A 错误;对于B ,lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞,故B 错误; 对于C ,2y x =的定义域和值域均为R ,故C 错误;对于D ,y x=定义域和值域均为()0,∞+,故D 正确; 故选:D .3.(2022·全国·高三专题练习)若函数()21f x ax ax =-+R ,则a 的范围是( ) A .()0,4 B .[)0,4 C .(]0,4 D .[]0,4【答案】D 【解析】 【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ,则当0a =时,()1f x =满足题意;当0a ≠时,20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩,解得:04a <≤; 当0a <时,无法满足定义域为R . 综上所述:04a ≤≤,D 正确. 故选:D4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为[]0,1,值域为[]1,2,那么函数()2f x +的定义域和值域分别是( )A .[]0,1,[]1,2B .[]2,3,[]3,4C .[]2,1--,[]1,2D .[]1,2-,[]3,4【答案】C 【解析】 【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域,由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到,所以其值域不变,从而可得答案 【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--,即为函数()2y f x =+的定义域, 而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象, 故其值域不变. 故选:C .5.(2022·江西·高三阶段练习(文))函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为( ) A .[1,2] B .[1,3] C .[2,3] D .[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增,从而可求()f x 的值域. 【详解】解:易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增,且(0)1f =,(1)3f =, 所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]. 故选:B .6.(2022·全国·高三专题练习)已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ,那么a 的取值范围是( ) A .(﹣∞,﹣1] B .(﹣1,12)C .[﹣1,12)D .(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域,然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合,利用一次函数性质可得. 【详解】当x ≥1时,f (x )=ln x ,其值域为[0,+∞),那么当x <1时,f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞,0), ∴1﹣2a >0,且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0, 解得:12a <,且a ≥﹣1. 故选:C.7.(2023·全国·高三专题练习)函数f (x 2sin 12x π- )A .54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B .154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C .54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D .154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2sin 102x π-≥,然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】 由题意,得2sin 102x π-≥,1sin22x π≥, 所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈, 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈,所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,故选:B8.(2023·山西大同·高三阶段练习)函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ,最小值为N ,则M N +=( ) A .3 B .4C .6D .与m 值有关【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形,结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知,()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++, 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++,则()g x 的定义域为(),-∞+∞, 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--, 所以()g x 为奇函数, 所以()()max min 0g x g x +=,所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选:C.9.(2022·江苏南京·高三开学考试)已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()g x 的最大值为( )A 2B 3C .32D .2【答案】B 【解析】 【分析】 记9t x π=+,()()33sin 2f x h t t t ==+,由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】 记9t x π=+,则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭, 所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭, 33π>,所以()()f f x 3故选:B.10.(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)函数()12cos f x x x x =+-的最小值为( ) A .1ππ B .22ππC .-1D .0【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到()f x 为偶函数,由0x ≥时,()12cos f x x x x =+-,利用导数求得函数的的单调区间,进而求得函数的最小值. 【详解】由题意,函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ,关于原点对称,且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=,所以()f x 为偶函数,当0x ≥时,()12cos f x x x x =+-, 可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>,()f x 在单调递增,又由()f x 为偶函数,所以()f x 在(),0∞-单调递减,[)0,∞+单调递增, 所以()()min 01f x f ==-. 故选:C. 二、多选题11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+,则下列结论中正确的是( )A .函数()f x 的定义域是[4,2]-B .函数(1)=-y f x 是偶函数C .函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D .函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数定义域为(4,2)-,A 选项错误;利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数,B 选项正确;函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数,故C 选项错误;可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称,故D 选项正确. 【详解】解:函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦, 由20,40x x ->+>可得42x -<<,故函数定义域为(4,2)-,A 选项错误;()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-,设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数,B 选项正确;()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦,当[)1,2x ∈-时,()219t x =-++是减函数,外层12log y t =也是减函数,所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数,故C 选项错误;由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦,可得f (x )的图象关于直线1x =-对称,故D 选项正确. 故选:BD 三、双空题12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-,则b =_____,函数()f x 的值域为____. 【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值,代入分段函数,结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-,即2b =,即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时,ln 22y x =+>;当1x ≤时,(]e 22,e 2xy =-∈--.故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞.故答案为:2;(][)2,e 22,--+∞.13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()121x f x a =+-为奇函数,则实数a =__,函数f (x )在[1,3]上的值域为__. 【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()f x 是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数可得f (﹣x )=﹣f (x ),代入可求出实数a ;再判断数f (x )在[1,3]上单调性,即可求出答案. 【详解】解:∵f (x )是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数, ∴f (﹣x )=﹣f (x ), 即121x -+-a121x =---a , 即212xx+-a 121x=---a , 则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1, 则a 12=, 则f (x )11212x =+-在[1,3]为减函数, 则f (3)≤f (x )≤f (1), 即914≤f (x )32≤, 即函数的值域为[914,32],故答案为:12;[914,32] 四、填空题14.(2022·全国·高三专题练习)函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________.【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】 【分析】要使该函数表达式有意义,只需20x ->,2120x x +->,10x +≠同时成立,解不等式即可求出结果. 【详解】 函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义,由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩,即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩,所以31x -<<-或12x -<<, 故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-. 故答案为:(3,1)(1,2)--⋃-15.(2022·上海闵行·二模)已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ,且对任意实数a ,都满足()()f a f a ≥-,则实数m =___________;【答案】1 【解析】 【分析】根据条件得到()()f a f a =-,即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数,根据()()f x f x -=列出方程,求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ,所以40x m +>恒成立, 故0m ≥,又因为对任意实数a ,都满足()()f a f a ≥-, 则对于实数a -,都满足()()f a f a -≥, 所以()()f a f a =-,所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数, 从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-, 化简得:()()4110x m --=,要想对任意x ,上式均成立,则10m -=,解得:1m =故答案为:116.(2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测)已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数,且当0x <时,()1a f x x x=++.若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3,则实数a 的值为________.【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式,再利用函数的单调性对a 进行分类讨论,确定单调性即可求解.【详解】由题意可知,因为0x >,所以0x -<,所以()1a f x x x -=--+, 因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数,所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时,由函数的性质知,函数()f x 在[)3,+∞上单调递增;当3x =时,()f x 取得最小值为(3)23a f =+, 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3,所以233a +=,解得3a =(舍), 当09a <≤时,由函数的性质知,函数()f x 在[)3,+∞上单调递增;当3x =时,()f x 取得最小值为(3)23a f =+, 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3,所以233a +=,解得3a =, 当9a >时,由对勾函数的性质知,函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增;在(a 上单调递减; 当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==,因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3,所以213a =,解得1a =(舍), 综上,实数a 的值为3.故答案为:3.17.(2022·北京·清华附中模拟预测)已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,下列说法正确的是___________.①当0a ≥时,()f x 的值域为[0,)+∞;②a ∀∈R ,()f x 有最小值;③R a ∃∈,()f x 在(0,)+∞上单调递增:④若方程1f x有唯一解,则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式,讨论参数a ,结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域,利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-,当1a >-时,则1x a =-<,且(,)a -∞-上递减,(,1)a -上递增,值域为[0,)+∞, 当1a =-时,则(,1)-∞上递减,值域为[0,)+∞,当1a <-时,则1x a =->,(,1)-∞上递减,值域为2((1),)a ++∞,对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增,且值域为[,)a +∞,综上,0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞,①正确;当0a ≥时()f x 最小值为0,当0a <时()f x 最小值为a ,②正确;由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立,故在(0,)+∞上不可能递增,③错误; 要使1f x 有唯一解,当1a <-时,在[1,)+∞上必有一个解,此时只需2(1)1a +≥,即2a ≤-;当1a =-时,在R 上有两个解,不合题设;当1a >-时,在(,)a -∞-上必有一个解,此时()211{1a a +≤>,无解.所以④错误.故答案为:①② 18.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )()221mx m x m =--+-的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是__. 【答案】230⎡⎢⎣⎦, 【解析】【分析】将m 分为000m m m =><,, 三种情况讨论:当0m =时,()210f x x - 满足条件;当0m <时,由二次函数知开口向下,不满足条件;当0m >时,只需二次函数的0∆≥即可,解出m 的取值范围,综上得m 的取值范围.【详解】解:当0m =时,()()22121f x mx m x m x =--+--[0,+∞),满足条件;令()()221g x mx m x m =--+- ,()()0g x ≥当m <0时,()g x 的图象开口向下,故f (x )的值域不会是[0,+∞),不满足条件;当m >0时,()g x 的图象开口向上,只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥,即(m ﹣2)2﹣4m (m ﹣1)≥0, ∴2323m ≤≤,又0m > ,所以230m <≤ 综上,230m ≤≤∴实数m 的取值范围是:230⎡⎢⎣⎦,, 故答案为:230⎡⎢⎣⎦,.。

判断抽象函数单调性的四种策略共4页

判断抽象函数单调性的四种策略共4页

判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。

这类问题对发展学生思维能力,进行数学思想方法的渗透有较好的作用。

本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结,供大家解题时参考。

1 凑差策略紧扣单调函数的定义,利用赋值,设法从题设中“凑出”“f(x 1)-f(x 2)”,然后判断符号。

例1 已知函数f(x)对任意实数x 、y 均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性。

解:由f(x+y)=f(x)+f(y)得,f(x+y)-f(x)=f(y) 令x+y=x 2,x=x 1,且x 1<x 2, 则有f(x 2)-f(x 1)=f(y)∵y=x 2-x 1>0,∴f(y)=f(x 2-x 1)>0, 即f(x 1)<f(x 2),因此f(x)为增函数。

例2 设函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数x 、y 均有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时f(x)>0,判断函数f(x)的单调性并说明理由。

解:由f(xy)=f(x)+f(y)得,f(xy)-f(x)=f(y) 令x+y=x 1,x=x 2,且x 1>x 2>0, 则有f(x 1)-f(x 2)=f(y),即f(x 1)>f(x 2),因此f(x)为增函数。

2 添项策略瞄准题设中的结构特点,采用加减添项或乘除添项,以达到确定“f(x 1)-f(x 2)”的符号的目的。

例3(题同例1)解:设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,∵当x>0时,f(x)>0,∴f(x 2-x 1)>0 ∴f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)>0 即f(x 1)<f(x 2),因此f(x)为增函数。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、(2023·广东·高三统考学业考试)已知函数()f x 对任意,R x y ∈,都有()()()f x y f x f y +=+成立.有以下结论:①()00f =;②()f x 是R 上的偶函数;③若()22f =,则()11f =;④当0x >时,恒有()0f x <,则函数()f x 在R 上单调递增.则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,解得()00f =,①正确;对于②令y x =−,则()()()00f f x f x =+−=,∴()()f x f x −=−,∴()f x 是R 上的奇函数,②错误;对于③令1x y ==,则()()()()211212f f f f =+==,∴()11f =,③正确;对于④设12x x >,则120x x −>,∴()()()12120f x x f x f x −=+−<,则()()()122f x f x f x <−−=,∴()f x 在R 上单调递减,④错误.故答案为:①③.例2、(2022·山东聊城·二模)已知()f x 为R 上的奇函数,()22f =,若对1x ∀,()20,x ∈+∞,当12x x >时,都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦,则不等式()()114x f x ++>的解集为( ) A .()3,1−B .()()3,11,1−−−C .()(),11,1−∞−− D .()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<,得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<, 因为121200x x x x −>>,,所以()()11220x f x x f x −<,即()()1122x f x x f x <,设()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递减,而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==,则012x <+<,解得:11x −<<;因为()f x 为R 上的奇函数,所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==,则()g x 为R 上的偶函数,故()g x 在(,0)−∞上单调递增,()()()()11142g x x f x g +=++>=−,则210x −<+<,解得:31x −<<−;综上,原不等式的解集为(),111)3(,−−−.故选:B .例4、(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且()y f x =在[]0,1上单调递增,若()3a f =−,12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,()2c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−,结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=,()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增, 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭, 所以b c a <<.故选:C例5、(2022·黑龙江大庆·三模(理))已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=,当01x ≤≤时,()1e 1x f x −=−,则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为( ) A .8B .7C .6D .5【答案】A【解析】 解:因为函数()f x 满足()()2f x f x −=,所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称, 又函数()f x 为偶函数,所以()()()2−==−f x f x f x ,所以函数()f x 是周期为2的函数, 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称, 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像,如图所示:由图可知,函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点,且关于直线1x =对称, 所以方程。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析
【解析】记 ,则
因为当 时, ,
所以 在 上单调递减
又因为 ,所以 为偶函数
因为
所以 ,即 ,故选D.
二、填空题
13.已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ,对定义域内的任意 ,都有 成立,则使得 成立的 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由 是偶函数,所以当 时,由 得 ,
设 ,则 ,
即当 时,函数 为减函数,
则 且 ,则有 ,可得 ,
,故答案为0.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的函数,对任意两个不相等的正数 ,都有 ,
故 ,∴函数 是 上的减函数,
∵ ,∴ ,∴ .故选C.
5.已知定义在 上的函数 满足 为偶函数,若 在 内单调递减,则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 , 的周期为6,又 为偶函数,
【答案】A
【解析】由 ,令 , ,则
时,
当 时,令 ,则 ,即
又 当 时,
令 ,则
,即
在 上单调递减

令 , ;令 , ;令 ,
数列 是以 为周期的周期数列
, , , ,
在 上单调递减
, , ,
故选 .
10.已知奇函数 是定义在 上的可导函数,其导函数为 ,当 时,有 ,则不等式 的解集为()
A. B. C. D.


, ,
又 在 内单调递减,
, ,故选A.
6.已知定义在实数集 上的函数 的图象经过点 ,且满足 ,当 时不等式 恒成立,则不等式 的解集为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数,

判断抽象函数单调性的四种策略

判断抽象函数单调性的四种策略

判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。

这类问题对开展学生思维能力,进展数学思想方法的渗透有较好的作用。

本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结,供大家解题时参考。

1 凑差策略紧扣单调函数的定义,利用赋值,设法从题设中“凑出〞“f(x1)-f(x2)〞,然后判断符号。

例1函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性。

解:由f(x+y)=f(x)+f(y)得,f(x+y)-f(x)=f(y)令x+y=x2,x=x1,且x1<x2,如此有f(x2)-f(x1)=f(y)∵y=x2-x1>0,∴f(y)=f(x2-x1)>0,即f(x1)<f(x2),因此f(x)为增函数。

例2设函数f(x)的定义域为〔0,+∞〕,对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时f(x)>0,判断函数f(x)的单调性并说明理由。

解:由f(xy)=f(x)+f(y)得,f(xy)-f(x)=f(y)令x+y=x1,x=x2,且x1>x2>0,如此有f(x1)-f(x2)=f(y),∵,∴即f(x1)>f(x2),因此f(x)为增函数。

2 添项策略瞄准题设中的结构特点,采用加减添项或乘除添项,以到达确定“f(x1)-f(x2)〞的符号的目的。

例3〔题同例1〕解:设x1<x2,如此x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)>0,∴f(x2-x1)>0∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0即f(x1)<f(x2),因此f(x)为增函数。

例4〔题同例2〕解:设0<x1<x2<+∞,如此∵当x>1时f(x)>0,∴∴即f(x2)>f(x1),因此f(x)为增函数。

函数专题:利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】

函数专题:利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】

函数专题:利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式(1)函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .(2)函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时,也可以使用如下结论:如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠,则函数()f x 为偶函数; 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠,则函数()f x 为奇函数. 三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式(1)利用函数的单调性,去掉函数符号“f ”,将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解;(2)若不等式一边没有函数符号“f ”,而是常数(如()<f m a ),那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。

【精品】高三数学《函数单调性在不等式中的运用》教案.doc

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函数单调性在不等式中的运用函数单调性是函数的重要性质之一,其有着广泛应的应用.巧妙利用函数的单调性可解抽象函数不等式、证明函数型不等式、求解不等式中参数的取值范围等。

一、解抽象不等式抽象函数不等式常利用函数的单调必性,化归为函数自变量的大小,脱去函数中的“f”,再利用函数单调性的性质从而化为不等式求解。

基本方法:若函数^3)在区间。

上单调递增,且不,为€。

,则由(为可得:X| < x2;若函数/'(尤)在区间Q上单调递减,且X】,x2e D,则由可得:X] >x2,利用此性质,即可确定自变量之间的关系。

例1.已知偶函数/⑴在区间[0,+8)单调增加,则满足/(2x-l)< /(-)的X取值范围是1 2 1 2 1 2 1 2(A) (-, -) (B) - ) (C)(上,-) (D)-)3 3 3 3 2 3 2 3【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x) = f(lxl)・・・得f(l2x-ll)<f(-),再根据f(x)的单调性I 1 2得I2x—11< - 解得—<x< —3 3 3例2.设奇函数八工)在(o,+8)上为增函数,且/(i)= o,则不等式v0的解集为x(D )A. (-1,O),U(1 +8)B. (-8,-J)U(0 1)C. (一8,—J)U(l +9)D. (-l,0),U(01)【解析】由/(X)是奇函数可知■/C V)-./(-A)=2£U)<0>而/(1) = 0>则八_])= _/⑴=0,当x〉OH、j, /(x)<0 = /(I);当xvO 时,/(x)>o = /(-I), 乂/。

)在(0, + 8)上为增函数,则奇函数在(*,0)上为增函数,O VJVV I,或%1.证明函数不等式利用函数单调性证明不等式,是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是高考的热点。

其主要思想是利用不等式与函数之间的联系,将不等式的部分或者全部投射到函数上。

专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明

专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明

专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型:正比例函数$f(x)=kx$($k≠0$)幂函数$f(x)=x^n$($n$为正整数)指数函数$f(x)=a^x$($a>0$且$a≠1$)对数函数$f(x)=\log_a x$($a>0$且$a≠1$)正、余弦函数$f(x)=\sin x$,$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$,对一切实数$x$、$y$都成立,且$f(0)≠0$,求证$f(x)$为偶函数。

证明:令$x=0$,则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$,由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$,即$f(-y)=f(y)$,故$f(x)$为偶函数。

2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减,求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。

解:由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。

f(x)$为函数,∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减,∴$-1<1-m<1$,$-1<m-1<1$,即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$,故$m<0$,所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$,比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。

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专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质,也是高中数学考查的重点内容。

而抽象函数的单调性解函数不等式问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛。

因此,我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景:几类特殊函数类型解题模板:第一步 (定性)确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性; 第二步 (转化)将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式;第三步 (去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步 (求解)解不等式或不等式组确定解集;第五步 (反思)反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范.例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,若对于任意给定的实数12,x x ,且12x x ≠,不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立,则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________.【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件:①对任意的实数,x y 都有:()()()1f x y f x f y +=+-;②当0x >时,()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上增函数;(3)若()67,3f a =≤-,关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()01f =;(2)证明见解析;(3)(]5,3--.即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立,令()()213g x x a x =-++,即()min 0g x >成立即可.①当112a +<-,即3a <-时,()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增, 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-,所以53a -<<-,②当112a +≥-即3a ≥-时,有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得231231a -<<,而2313-<-,所以3231a -≤<, 综上,实数a 的取值范围是(]5,3-- 【变式演练1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数,且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时,函数2()21f x t at ≤-+,对一切[1,1]a ∈-恒成立,则实数t 的取值范围为( )A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】试题分析:由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数,且(1)1f -=-,所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1,所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立,当0t ≠时,则220t at -≥成立,又[1,1]a ∈-,令()22,[1,1]g a at t a =-∈-,当0t >时,()g a 是减函数,故令()10g ≥,解得2t ≥;当0t <时,()g a 是增函数,故令()10g -≥,解得2t ≤-,综上所述,2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点:函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数,当121x x +=时,不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立,则实数1x 的取值范围是( )A. (),0-∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数.(1)求(1),(1)f f -的值; (2)求证:()()f x f x -=; (3)解不等式1(2)()02f f x +-≤.【答案】(1)(1)0f =,(1)0f -=;(2)证明见解析;(3)⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 .考点:抽象函数及应用.【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件:①对任意,(1,1)x y ∈-,都有()()()1x yf x f y f x y++=++;②当(1,0)x ∈-时,有()0f x >,求证:(1)()f x 是奇函数; (2)()f x 是单调递减函数; (3)21111()()()()1119553f f f f n n +++>++,其中*n N ∈. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明;(2)由单调性的定义,做差证明;(3)先由题(3)211()1(3)(2)23()[][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111()()()111955f f f n n +++++111111[()()][()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+,∴1()03f n ->+,∴111()()()333f f f n +->+.故21111()()()()1119553f f f f n n +++>++.考点:1.抽象函数;2.函数的单调性,奇偶性;3.数列求和. 【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是() A .[]22-, B .[]11-, C .[]04, D .[]13,【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=,于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞,单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤故选D2.【2017天津理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c << (B )c b a <<(C )b a c <<(D )b c a <<【答案】C3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑( )(A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【答案】C 【解析】试题分析:由于()()2f x f x -+=,不妨设()1f x x =+,与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-,故12122x x y y +++=,故选C. 考点: 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数的图象有对称中心.4. 【2015高考北京,理7】如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( )A .{}|10x x -<≤B .{}|11x x -≤≤C .{}|11x x -<≤D .{}|12x x -<≤【答案】C础题,首先是函数图象平移变换,把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位,得到2log (y x =+2)的图象,要求正确画出画出图象,利用数形结合写出不等式的解集.5. 【2014高考陕西版理第7题】下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )(A )()12f x x = (B )()3f x x = (C )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )()3x f x =【答案】D6. 【2014辽宁理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==;②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<,则k 的最小值为( )A .12 B .14 C .12π D .18【答案】B 【解析】考点:1.抽象函数问题;2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键,是利用分类讨论思想、转化与化归思想,逐步转化成不含绝对值的式子,得出结论.本题属于能力题,中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时,考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.7. 【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->,则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效. (2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化. 【反馈练习】1. 【2017-2018学年河北省邢台市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数,且()()29f m f m >+,则实数m 的取值范围是( )A. ()9+∞,B. [)9+∞,C. (),9-∞-D. (]9-∞, 【答案】A2.【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研数学(理)试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数,且()20f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为()A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃【答案】D 【解析】函数()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,()()0f x f x x--< ,化为()20f x x< ,等价于()0xf x <,当0x >时,解得02x <<,当0x <时, 20x -<<,不等式的解集为: ()()2,00,2-⋃,选D.3.【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学(文)试题】已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C4.【2017届天津市滨海新区高三上学期八校联考(理科)数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,记()0.20.24.14.1f a =, ()2.12.10.40.4f b =,()0.20.2log 4.1log4.1f c =,则( )A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】A【解析】设120x x << ,则()()()()122112120f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在()0,+∞ 上单调递减,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()g x 是定义在R 上的偶函数,因此()0.20.24.14.1f a =()()0.24.11g g =< , ()2.12.10.40.4f b =()()()2.120.40.40.5g g g =>> , ()0.20.2log 4.1log 4.1f c =()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即a c b << ,选A.点睛:利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小,首先根据函数的性质构造某个函数,然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值,最后根据单调性比较大小,要注意转化在定义域内进行 5.【2017届广西省高三教育质量诊断性联合考试数学(文)试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减,若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立,则a 的取值范围为( ) A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C7.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数,当时为减函数,且,则=( )A. B.C. D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2), ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数, ∴0<x −2<2, ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2), ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数, ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减, ∴−2<x −2<0,∴0<x <2.综上可得:不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.【2017—2018学年江苏省扬州市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的(]0a b ∈-∞,,,当a b ≠时,都有()()0f a f b a b->-.若()()121f m f m +<-,则实数m 的取值范围为_________. 【答案】(0,2)9. 【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数,当0x <时, ()()1f x x x =-.则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________.【答案】[)0,1【解析】当0x >时,则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+,即()()1f x x x -=+,所以()()1f x x x =-+,结合图像可知:函数在[]1,1-单调递减,所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤,解之得01m ≤<,应填答案[)0,1。

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