高考数学专题06确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解

专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。

而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

【方法点评】
确定抽象函数单调性解函数不等式
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步 （定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；
第三步 （去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；
第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.
例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式
()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．
【答案】11,
2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
.
例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：
()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．
（1）求()0f ；
（2）求证：()f x 在R 上增函数；
（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()
223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数
a 的取值范围．
【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．
即()2
130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，
令()()2
13g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．
①当
1
12
a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，
②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2
min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得231231a -<<，而2313-<-，所以3231a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是(]5,3-- 【变式演练1】
设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2
()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A.22t -≤≤
B.2t ≤-或2t ≥
C.0t ≤或2t ≥
D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】
试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2
121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则2
20t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，
令()2
2,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()
g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.
【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式
()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）
A. (),0-∞
B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D. ()1,+∞ 【答案】D
【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．
（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=； （3）解不等式1(2)()02
f f x +-≤．
【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦
⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2
121,0 ．
考点：抽象函数及应用．
【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有
()()()1x y
f x f y f x y
++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：
（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）2
1111(
)()(
)()1119
553
f f f f n n +++>++，其中*
n N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题
（3）211()
1(3)(2)2
3()[][]1155(2)(3)11()23
n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++
∴2111()()()111955f f f n n +++++111111
[()()][()()][(
)()]344523
f f f f f f n n =-+-+
+-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++
∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111
()()()333f f f n +->+．
故21111()()()()1119553
f f f f n n +++>++．
考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和． 【高考再现】
1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13，
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，
于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤
3x ∴1≤≤
故选D
2.【2017天津理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<
（C ）b a c <<
（D ）b c a <<
【答案】C
3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则
1
()m
i
i
i x y =+=∑（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】
试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11
1x y x x
+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.
4. 【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}|12x x -<≤
【答案】C
础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.
5. 【2014高考陕西版理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）
（A ）()1
2f x x = （B ）
()3f x x = （C ）()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（D ）()3x f x =
【答案】D
6. 【2014辽宁理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；
②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1
|()()|||2
f x f y x y -<
-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）
A ．
12 B ．14 C ．12π D ．18
【答案】B 【解析】
考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.
【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.
本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.
7. 【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足
1
(2
)(2)a f f ->，则a 的取值范围是______.
【答案】13(,)22
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【反馈练习】
1. 【2017-2018学年河北省邢台市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数，且
()()29f m f m >+，则实数m 的取值范围是( )
A. ()9+∞，
B. [)9+∞，
C. (),9-∞-
D. (]
9-∞， 【答案】A
2．【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式
()()
0f x f x x
--<的解集为（）
A. ()()2,02,-⋃+∞
B. ()(),20,2-∞-⋃
C. ()(),22,-∞-⋃+∞
D. ()()2,00,2-⋃
【答案】D 【解析】
函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，
()()
0f x f x x
--< ，化为
()20f x x
< ，等价于()0xf x <，
当0x >时，解得02x <<，当0x <时， 20x -<<，不等式的解集为： ()()2,00,2-⋃，选D.
3．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】已知函数
是定义在上的偶
函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．【2017届天津市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，
对任意两个不相等的正数12,x x ，都有
()()
211212
0x f x x f x x x -<-，记(
)0.20.2
4.14.1f a =
， ()2.1
2.1
0.40.4f b =，
()0.20.2log 4.1log
4.1
f c =
，则（ ）
A. a c b <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D. b c a << 【答案】A
【解析】设120x x << ，则()()()()1221121
2
0f x f x x f x x f x x x ->⇒
>
所以函数()()f x g x x
=
在()0,+∞ 上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在
R 上的偶函数，因此()
0.20.2
4.14.1f a =
()
()0.24.11g g =< ， (
)2.12.1
0.40.4f b =
(
)()()2.1
2
0.4
0.40.5g g g =>> ， ()0.20.2log 4.1log 4.1
f c =
()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即a c b << ，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．【2017届广西省高三教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[
)0,+∞上递减，若()
()321f x x a f x -+<+对[]
1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C
7．【2018届江西省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当
时为减函数，
且
，则
=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.
对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.
当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.
综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.
【2017—2018学年江苏省扬州市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶
函数，且对任意的(]
0a b ∈-∞，，，当a b ≠时，都有()()0f a f b a b
->-.若()()121f m f m +<-，则实
数m 的取值范围为_________. 【答案】(0,2)
9. 【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]
1,1
-上的奇函数，当0x <时， ()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()
2110f m f m -+-<的解集为__________．
【答案】[
)0,1
【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以
()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220
{111 111
m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。

点睛：解答本题的关键是求出函数()f x 的解析式，在0x <时， ()(1f x x x =-；关键求0x >时，
()()1f x x x =-+的过程值得注意，这里充分运用0x <时， ()(1f x x x =-)
及奇函数的定义，运用转化。