量子力学教程 第四章

Φ=FΨ
Fnm
量子力学
ˆ ( x, i )u ( x )dx un * ( x )F m x
算符F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
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例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。
令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上 的“分量”。正如矢量A沿i,j,k 三个 方向的分量是（ Ax, Ay, Az ）一样。 Q 表象的基矢有无限多个，所以态矢量 所在的空间是一个无限维的抽象的函 数空间，称为”Hilbert空间”。
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波函数
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
a2 (t ) *

an (t ) *



n
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
an ( t ) * an (t ) 1
8
量子力学
（2）含有连续本征值情况
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为： Q1 , Q2, ..., Qn, ..., q
( x , t ) p ( x )e p 2 E p 2
iE p t /
iE p t /

p * ( x ) p ( x )e
iE p t /
dx
e
iE p t /

p * ( x ) p ( x )dx e
( p p)
量子力学

C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp p * ( x ) p ( x )dx


C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp ( p p)
C ( p, t ) * C ( p, t )dp
3
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 动量所得结果在p → p + d p 范围内的几率。
a1 (t ) *

a2 (t ) *

an (t ) *

aq (t ) *

归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
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（三）讨论
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程 Ψ p ' (x,t)=[1/(2 π )]
1/2
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，
波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
数列 a1(t),a2(t), ...,an(t), ...
写成一列矩阵形式
共轭矩阵
a1 (t ) *
归一化可写为
a2 (t ) *

an (t ) *

a1 (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt ) a2 (t ) an (t )
a1 ( t ) *
动量表象 exp[i(p'x-E't)/ ] C(p,t)= δ (p'-p)exp[-iE't/ ]
ψ p ' (x)= [1/(2 π )]
1/2
exp[ip'x/ ]
C(p)= δ (p'-p)
p ψ p ' (x)=p' ψ p ' (x)
p δ (p'-p)=p' δ (p'-p)
第四章 态和力学量的表象
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6
量子力学
态的表象 算符的矩阵表示 量子力学公式的矩阵表述 么正变换 狄拉克符号 线性谐振子和占据数表象
1
§4. 1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示： 1）波函数是坐标的函数 2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。
m
ˆ ( x , i )u ( x )dx Fnm un * ( x )F m x
量子力学 13
坐标表象：
Q表象的表达方式
bn (t ) Fnm am (t )
m
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i ) ( x , t ) F
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
若Ψ, un都是归一化的，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
( x , t ) an ( t )un ( x )
n
则 an(t) 也是归一化的。
u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x) 则
例如氢原子能量就是这样一种力学量， 即有分立也有连续本征值。
a n ( t ) aq ( t )

un * ( x ) ( x , t )d x uq * ( x ) ( x , t )d x
Ψ (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
量子力学 4
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数：
C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
量子力学
§4. 1 算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示
（二）Q 表象中力学量算符F的性质
（三）Q 有连续本征值的情况
量子力学 12
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i ) ( x , t ) F
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；

n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
am * (t )an (t ) um * ( x )un ( x )dx
m n
m
n
am * (t )an (t ) mn
m n
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ (x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
7
量子力学
这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其它变量的 函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐 标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 以前采用的主要是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量 Ax Ay Az 描述； 在球坐标系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。
量子力学 表象 不同表象波函数 u1(x), u2(x),..., un(x), ... a1(t), a2(t),..., an(t), ... 量子状态Ψ (x,t) 量子力学
5
（二）力学量表象
推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ (x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
量子力学 6
（1）具有分立本征值的情况
证
1

* ( x , t )( x , t )dx
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C ( p, t ) p ( x )dp] * [ C ( p, t ) p ( x )dp ]dx
( x , t ) C ( p, t ) p ( x )dp C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
x
n 1, 2,
用F表示这个矩阵，用 Φ表示左边的列矩阵， 用Ψ表示右边的列矩阵
这一组方程写成矩阵形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1 F12 F22 Fn 2 F1m F2 m Fnm a1 ( t ) a2 (t ) am (t )
证：
1 * ( x , t )( x .t )dx
an ( t ) un * ( x )( x .t )dx
而数列 a1(t),a2(t), ...,an(t), ...
[ am (t )um ( x )]* an (t )un ( x )dx
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
量子力学
a1 ( t ) a2 (t ) an (t ) a (t ) q
基本矢量
坐标系
→
不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
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态矢量
所以在量子力学中，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量—— 态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定 的坐标系， Q的本征函数u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是Q 表象的基本矢量简称基矢。这相当于直角 坐标系中的单位矢量i,j,k.
则 Lx 的矩阵元可如下计算：
ˆ u d ( Lx ) ij ui * L x j i , j 1,2,3
1 ˆ ˆ L u x 1 2 ( L L )Y11 1 ˆ ˆ Lx u2 ( L L )Y10 2 1 ˆ ˆ Lx u3 ( L L )Y11 2
m
m
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分 Q表象的 表达方式

m
ˆ ( x,i )u ( x)dx]a (t ) bm (t ) un * um ( x)dx [ un * F m m x

m
bm ( t ) nm Fnm am ( t )
m
bn (t ) Fnm am (t )
在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。 同样， x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x)。这可由本征值方程看出：
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
x
Q表象： 代入
( x , t ) a m ( t )um ( x ) m ( x , t ) bm ( t )um ( x ) m
假设只有分立本征值，将Φ, Ψ 按Q的本征函数{un(x)}展开：

m
ˆ ( x,i ) bm (t )um ( x ) F x am ( t )um ( x )
量子力学
（一）动量表象 ;
（二）力学量表象
2
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 假设 Ψ (x,t) 是归一化波函数， 命题 则 C(p,t) 也是归一。 动量本征函数：
p ( x)
1 e ipx / 2