北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

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2010年北京市中学生数学竞赛

高一年级复赛试题及参考解答

2010年5月16日8:30～10:30.

一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）

小题号 1

2

3 4

5 答案

12

- 669

335

22

31x x -+

20145

1. 函数()y f x =是定义在R 上的周期为3的函数,右图中表示的是该函数在

区间[2,1]-上的图像.则(2010)

(5)(16)

f f f ⨯的

值等于 .

答: 1

2

-.

理由:(5)(1)1,(16)(1)2,(2010)(0)1,f f f f f f =-=-==== 则

(2010)11

.(5)(16)(1)(2)2

f f f ==--

2. 方程211

20102010

x x -+=的所有根的立方和等于 . 答:

669

335

. 解: 方程211

20102010

x x -+

=等价于 211

20102010x x -+

=

………① 与 211

20102010

x x -+=-

……② 由①得：11x =，20x =

由②得：2101005x x -+

=，所以34341

1,.1005

x x x x +== 所以()33

23434343431334()()31111005335335x x x x x x x x ⎛⎫+=++-=⨯-=-

= ⎪⎝⎭

. 所以3333

123433466910335335

x x x x +++=++=

.

3. 如右图, AB 与⊙O 切于点A . 连接B 与⊙O 内一点D 的线段交圆于点C .并且

AB =6，

DC=CB =3，OD =2，则⊙O 的半径等于 .

答：22.

解: 延长BD 交圆于E ，延长OD 交圆于F ，G （如左图）.FG 是⊙O 的直径.

设⊙O 的半径为r ，由切割线 定理，有 2,BC BE BA ⋅= 即 23(6)636.DE +== 所以DE =6.

由相交弦定理可得 ,DE DC DF DG ⋅=⋅ 即63(2)(2),r r ⨯=-+

所以218 4.r =-解得22r =.

4．满足方程3()(2)(1)3(0)2()f x x f f x x +-+=+∈的函数()f x = .

答：3() 1.f x x x =-+

解：取x =1和x =0代入方程，得33

(1)(12)(1)3(0)12

(0)(02)(1)3(0)02f f f f f f ⎧+-+=+⎨+-+=+⎩，进而得(0)1

.(1)1f f =⎧⎨

=⎩ 于是33()2(2)(1)3(0) 1.f x x x f f x x =+---=-+ 经检验，所求的函数满足方程.

5．若一个自然数比它的数字和恰好大2007, 这样的自然数叫做“好数”,则所有“好数”的和等于 .

答: 20145.

解：设()(),f n n S n =-其中()S n 是自然数n 的数字和.则函数()f n 是非严格的增函数.

(2009)(2010)(2011)(2019)2007(2020)f f f f f <==

==<

所以满足条件的所有自然数只有10个：2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019．其和为

2010+2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+2018+2019=20145.

二、（满分15分）如图, 四个阴影三角形的面积都等于1 （1）求证: 212212212,

,

CB C B AC AC BA B A ===； （2）求证: 122122122AB B C BC C A CA A B S S S ==；

（3） 求ABC S ∆的值. 解答： （1）设

1

1AB B C

λ=，连接AB 2， 则12.AB B S λ∆= 连接B 1C 2，CA 2，则B 1C 2//CA 2，

所以

21

221.AC AB C A B C λ==

2222122222

,,2.AB C AB C AB B C A B C S S S S λλλ∆∆∆=⇒==

由2121,AB C AB C S S λ∆∆=+= 所以122.C B B C = 同理，设 1221

2211,2,.BC C A BC S AC C A C A

μμ==⇒=同法可得 设

1221

2211,2,.CA A B CA S BA A B A B

ηη==⇒=同法可得 因此，得 212212212,,

.CB C B AC AC BA B A === （2）由上所证，

122.C B B C =易知122.BC B BB C S S ∆∆=也就是12212211,BC C A CA A B S S +=+ 所以122122BC C A CA A B S S =.同理由BA 2=B 1A 2可证得 122122.AB B C BC C A S S = 因此 122122122.AB B C BC C A CA A B S S S ==

（3）由122122122.AB B C BC C A CA A B S S S == 即111

111222,,.AB BC CA B C C A A B

λημλημ==∴==== 这样由

222221

21

21,10.1

AA B CA B AB B CB B S S S S λ

λ

λλλ

∆∆∆∆+=

⇒

=

∴--=

解得51

2

λ+=

（负根舍去！）. 所以 1221221225 1.AB B C BC C A CA A B S S S ===+ 因此 43(51)73 5.ABC S ∆=++=+

三、（满分15分） 能否将2010写成k 个互不相等的质数的平方和? 如果能, 请确定出所有的k 值，并对相应的k 值各写出一个例子; 如果不能, 请简述理由.

解：（1）设i p 为质数，若2010能写成k 个质数的平方和，则当10k =时, 取