4.3非欧几何学解析

反 证 法 。
证 明 了 第 五 公 设 。 我 们 知 道 ， 这 其 实 就 是 数 学 中 的
为 如 果 这 个 系 统 为 基 础 的 推 理 中 出 现 矛 盾 ， 就 等 于
设 结 合 成 一 个 公 理 系 统 ， 展 开 一 系 列 的 推 理 。 他 认
用 它 来 代 替 第 五 公 设 ， 然 后 与 欧 式 几 何 的 前 四 个 公
4.3 非欧几何学
欧氏几何学与罗氏几何学定理的不同
08理 邹亚君 24号
一、 回 顾 欧 式 几 何 学
二、非 欧 几 何 学
一、回 顾 欧 式 几 何 学
欧 几 里 得
约公元前 300年，古希腊数 学家欧几里得集前人之大成， 总结了人们在生产、生活实践 中获得的大量的几何知识，规 定了少数几个原始假定为公理、 公设，并定义了一些名词概念， 通过逻辑推理，得到一系列的 几何命题，形成了欧几里得几 何学，简称欧氏几何。
互 不 矛 盾 的 一 组 假 设 都 有 可 能 提 供 一 种 几 何 学 。
出 一 个 极 为 重 要 的 、 具 有 普 遍 意 义 的 结 论 ： 逻 辑 上
从 罗 巴 切 夫 斯 基 创 立 的 非 欧 几 何 学 中 ， 可 以 得
氏 几 何 。 这 是 第 一 个 被 提 出 的 非 欧 几 何 学 。
1.几 何 原 本
2. 几 何 原 本 介 绍
1.几 何 原 本
欧几里得著有《几何原本》（以下简称《原本》）一书，该书
共13卷，除第5、7、 8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论 以外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书成为传播几何知识的 教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何） 的内容基本全包括在此书内 。中国最早的译本是明代万历年间 （1607）由大学士徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的《几 何原本》前 6 卷。《原本》之所以具有价值，不仅因为欧几里得非 常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些 分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演绎的几何学体 系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人。
结 矛 了 论 盾 一 第 ： 的 个 但 命 又 是 一 题 一 ， ， 。 个 在 第 最 在 他 五 后 直 极 公 ， 觉 为 设 罗 上 细 不 巴 匪 致 能 切 夷 深 被 夫 所 入 证 斯 思 的 明 基 ， 推 。 得 但 理 出 在 过 两 逻 程 个 辑 中 重 上 ， 要 毫 得 的 无 出
路 子 。 他 提 出 了 一 个 和 欧 式 平 行 公 理 相 矛 盾 的 命 题 ，
切 夫 斯 基 在 证 明 第 五 公 设 的 过 程 中 ， 他 走 了 另 一 条
到 了 十 九 世 纪 二 十 年 代 ， 俄 国 喀 山 大 学 教 授
罗 巴
2. 罗 氏 几 何 学
罗巴切夫斯基几何的公理系统 和欧几里得几何不同的地方仅仅是 把欧式几何平行公理用“在平面内， 从直线外一点，至少可以做两条直 线和这条直线平行”来代替，其他 公理基本相同。由于平行公理不同， 经过演绎推理却引出了一连串和欧何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理， 他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然 后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。由于欧几里 得所处的时代是人类文明的初期，受时代的局限，《原本》的逻辑 系统不可能完美无缺，在许多地方出现了漏洞。例如：常常使用未 经定义过的概念来解释一个新的概念；用了既不是公理，又不是公 设，也没有证明过的结论作为论证命题的依据；等等。正因为如此， 在《原本》问世后2000年中，一方面《原本》作为用逻辑来叙述科 学的典范，对数学其他分支甚至整个科学发展起着深远的影响；另 一方面，对于《原本》在逻辑上的欠缺进行修改、补充和研究工作 从未停止过，对于《原本》中的定义、公理、公设的研究成了历代 数学家的重要课题。尤其对于《原本》中的第五公设，许多数学家 对它产生了怀疑，最终导致非欧几何的创建。
二、非 欧 几 何 学
非欧几何学（Non-Euclidean geometry ）是一门大 的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常 意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切 和欧几里得几何不同的几何学，所以又叫非欧几里 得几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的， 至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼 几何这两种几何。
这 种 几 何 学 被 称 为 罗 巴 切 夫 斯 基 几 何 ， 简 称 罗
严 密 的 几 何 学 。
了 新 的 理 论 。 这 个 理 论 像 欧 式 几 何 一 样 是 完 善 的 、
得 到 了 一 系 列 在 逻 辑 上 无 矛 盾 的 新 的 定 理 ， 并 形 成
第 二 ， 在 新 的 公 理 体 系 中 展 开 的 一 连 串 推 理 ，
1.非欧几何学的诞生 2. 罗 氏 几 何 学 3. 黎 曼 几 何 学
4.罗氏几何学中不一定成立的 欧式几何学定理 5.罗氏几何学与欧式几何学截 然不同的定理
1.非欧几何学的诞生
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为： 1.由任意一点到任意一点可作直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都相等。 第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两 个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗 长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书 中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何 原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出， 第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公 设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论” 的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对 不对？第五公设到底能不能证明？