天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 13.5数学归纳法

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －11)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14

<3 2．如果命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )

A ．p (n )对所有正整数n 都成立

B ．p (n )对所有正偶数n 都成立

C ．p (n )对所有正奇数n 都成立

D ．p (n )对所有自然数n 都成立

3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764

(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *

)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )

A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C ．(k ＋1)3

D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3

5．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1)

C.2k ＋1k ＋1

D.2k ＋3k ＋1 二、填空题(每小题6分，共24分)

6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝

n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加

上____________________．

7．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是____________________．

8．在数列{a n }中，a 1＝13

且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是______________．

9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)设n∈N*，n>1，求证：

1＋1

2

＋

1

3

＋…＋

1

n

>n.

11．(14分)设数列{a n}满足a n＋1＝a2n－na n＋1，n＝1,2,3，…

(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出a n的一个通项公式；

(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有a n≥n＋2.

12．(14分)设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n－1，n＝1,2,3，….

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．

答案 1.B 2.B 3.B 4.A 5.B

6. (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2

7. f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2

8. a n ＝12n －12n ＋1

9. (5,7) 10. 证明 (用数学归纳法证明)

(1)当n ＝2时，不等式左边＝1＋1

2>2＝右边．

(2)假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，不等式成立，

即1＋1

2＋13＋…＋1

k >k ，那么当n ＝k ＋1时，有

1＋1

2＋13＋…＋1k ＋1

k ＋1>k ＋1

k ＋1

＝k k ＋1＋1k ＋1>k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1.

所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知对任何n ∈N *，n >1，

1＋12＋1

3＋…＋1

n >n 均成立．

11. (1)解 由a 1＝2，得a 2＝a 2

1－a 1＋1＝3，

由a 2＝3，得a 3＝a 2

2－2a 2＋1＝4，

由a 3＝4，得a 4＝a 2

3－3a 3＋1＝5，

由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1 (n ≥1)．

(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．

②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥k ＋2，

那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，

也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.

根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2.

12. 解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1

＝a 1－1，

于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝1

2.

当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－1

2，

于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1

22

－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝1

6.