【精品】第10章曲线积分与曲面积分16505

第十章曲线积分与曲面积分

一、教学目标及基本要求:

1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

2、会计算两类曲线积分

3、掌握（Green)公式,会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass)公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。

5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。

6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等)。

二、教学内容及学时分配：

第一节对弧长的曲线积分2学时

第二节对坐标的曲线积分2学时

第三节格林公式及其应用2学时

习题课2学时

第四节对面积的曲面积分2学时

第五节对坐标的曲面积分2学时

第六节高斯公式通量与散度2学时

第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时

习题课2学时

三、教学内容的重点及难点：

1、二类曲线积分的概念及其计算方法

2、二类曲面积分的概念及其计算方法

3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式

4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。

5、两类曲线积分的关系和区别

6、两类曲面积分的关系和区别

7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用

第一节对弧长的曲线积分

一、内容要点

由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例:求曲线形构件的质量

最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ

为第一类曲线积分，其中Γ为曲线,被积函数),,(z y x f 中的点

),,(z y x 位于曲线Γ上,即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程,222dz dy dx ds ++=是弧微

分、弧长元素.

若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ

3、第一类曲线积分的应用：

1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ

2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ,Γ∈),,(z y x ,则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ

=；

质心坐标为),,(z y x ，其中M

ds z y x zf z M

ds z y x yf y M

ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰Γ

Γ

Γ

===；

对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ

4、第一类曲线积分的计算方法：

若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ,则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，

s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰β

α))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

例1 计算⎰

Γ

ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =,t z =，π20≤≤t

解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰

Γ

ds z y x )(2

22++)3

82(22)1(3

2

20

πππ

+=+=

⎰dt t

例2⎰Γ

ds y ||，其中Γ为球面2222=++z y x 与平面y x =的交线；

解Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根

据对称性得到⎰

L

ds y ||=24d cos 2

42

0=⎰t t π

例3 计算⎰Γ

ds z y x )(2

2

2

++，其中:Γ⎪⎩

⎪⎨⎧==+12

22z a y x )0(>a

解

Γ

:

⎪⎩

⎪

⎨⎧===1sin cos z t a y t a x ，π20≤≤t ，

dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222

∴

⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220

+=+=⎰

a a adt a ππ

或解：被积函数22

2

z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，所以12222+=++a z y x ，⎰

Γ

ds z y x )(222++=

⎰Γ

ds a )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)

1(2

2a

a ds a π

二、教学要求和注意点

1、理解对弧长的曲线积分的概念,了解对弧长的曲线积分的性质

2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法

3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。

三、教学设计与安排（包含于上面)

四、作业同步训练习题

一．第一型曲线积分的概念和性质

1．金属曲线的质量

设有金属曲线L （如图9－1）,L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ）