极限的定义.
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[例 ]
1 (1) f ( x ) 1 2 x lim f ( x ) 1
x
x
2. x x0时函数的极限 定义 设函数f ( x )在 x0点附近有定义(在 x0点 可以无定义)当 x x0 (以任意方式趋近), 若f ( x ) a , 则称a为f ( x ) 在x x0时的极限, 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当x x0 )
2 2 x
四.两个重要极限 two important limits
附：求极限的基本方法 （1）直接代入法 （2）恒等变换法(含倒数、根式变换) *（3）公式法——两个重要极限
sin x 1． lim 1 x 0 x 1 x 2． lim (1 ) e x x
x 1 (1 ) e 2.重要极限 lim x x □幂指函数 x 1 y (1 ) □定义域
1 极限的四则运算定理 若 lim f ( x ) A , lim g( x ) B则 (1) lim[ f ( x ) g( x )] A B 和差 (2) lim[ f ( x ) g( x )] A B 积 f ( x) A (3) 当B 0时 , lim 商 g( x ) B
二．函数的极限 limit of function
1．x →∞时函数的极限
2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
1．x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时, 如果函数 f ( x ) a(常数), 则 称 a 为f ( x )在x 时的极限, 记作
lim f ( x) a
2 推论 推论 1．若 lim f ( x )存在 , 则 lim C f ( x ) C lim f ( x )
n 推论 2．lim x n x0 x x0
3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim 2 x 2 x 1 x 1 ( 2) lim 2 x 1 x 1 2 x 1 (3) lim 2 x 2 x x 1 ( 4) lim ( x 1 x 1)
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
三．极限的四则运算
lim f ( x ) x lim f ( x ) x x
0
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。 【数列】 【通项】
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随 之足够接近某个数值,那么该数值就是 一个极限(数值).
极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x )存在, 其必唯一
x x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理
2.～推论
3.～例题
□定理
若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于
极限的和、差、积、商（分母≠0）
（－∞,－1） （0,+∞）
x
推论 lim (1 x ) e
x 0
1 x
sin x 1．求证 lim 1 x 0 x 证明 : S POA 1 PA OA 1 tg x 2 2 1 1 S扇 OA AB x 2 2 sin x sin x tg x x , 即 x cos x cos x x
实例
x x0
f ( x) x2
左侧 右侧
当 x 2, 都有 f ( x ) 4
注：左、右极限都存在并相等
求极限 lim x
x2 2
x (左侧) →x0 x y 1.9 3.61 1.99 3.96 1.999 3.996 · · · · · · 2 4
x (右侧) →x0 x y 2.1 4.41 2.01 4.04 2.001 4.004 · · · · · · 2 4
1 1 1 1 , , , , 2 4 8
1 a n n1 2
数列——定义在自然数集合的函数 an f ( n) 整标函数
y x ( x [0,1])
2源自文库
1 1 21 2 21 n1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ...( ) n n n n n n n 2 2 2 2 1 2 3 ... ( n 1) ( n 1)n(2n 1) 3 3 n 6n 1 1 1 1 ( 2 ) n 3 6n 2n 3
故有
sin x 1 1 cos x x
(续)
sin x 1 1 cos x x
x 0
当x 0 , lim cos x 1 即 1 cos x为无穷小
sin x 1 也是无穷小 x sin x 即 lim 1 x 0 x
π lim(1 x ) tg x x 1 2 π (1 x ) π (1 x ) lim sin x lim lim sin x lim x 1 x 1 x 1 x 1 π π π 2 2 cos sin( x ) 2 2 2 π (1 x ) 2 2 π lim sin x lim 2 x 1 x 1 π 2 π π sin (1 x ) 2
ln(1 x ) lim lim ln(1 x ) lim ln e 1 x 0 x 0 x 0 x
1 x
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
1 (1) f ( x ) 1 2 x lim f ( x ) 1
x
x
2. x x0时函数的极限 定义 设函数f ( x )在 x0点附近有定义(在 x0点 可以无定义)当 x x0 (以任意方式趋近), 若f ( x ) a , 则称a为f ( x ) 在x x0时的极限, 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当x x0 )
2 2 x
四.两个重要极限 two important limits
附：求极限的基本方法 （1）直接代入法 （2）恒等变换法(含倒数、根式变换) *（3）公式法——两个重要极限
sin x 1． lim 1 x 0 x 1 x 2． lim (1 ) e x x
x 1 (1 ) e 2.重要极限 lim x x □幂指函数 x 1 y (1 ) □定义域
1 极限的四则运算定理 若 lim f ( x ) A , lim g( x ) B则 (1) lim[ f ( x ) g( x )] A B 和差 (2) lim[ f ( x ) g( x )] A B 积 f ( x) A (3) 当B 0时 , lim 商 g( x ) B
二．函数的极限 limit of function
1．x →∞时函数的极限
2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
1．x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时, 如果函数 f ( x ) a(常数), 则 称 a 为f ( x )在x 时的极限, 记作
lim f ( x) a
2 推论 推论 1．若 lim f ( x )存在 , 则 lim C f ( x ) C lim f ( x )
n 推论 2．lim x n x0 x x0
3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim 2 x 2 x 1 x 1 ( 2) lim 2 x 1 x 1 2 x 1 (3) lim 2 x 2 x x 1 ( 4) lim ( x 1 x 1)
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
三．极限的四则运算
lim f ( x ) x lim f ( x ) x x
0
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。 【数列】 【通项】
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随 之足够接近某个数值,那么该数值就是 一个极限(数值).
极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x )存在, 其必唯一
x x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理
2.～推论
3.～例题
□定理
若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于
极限的和、差、积、商（分母≠0）
（－∞,－1） （0,+∞）
x
推论 lim (1 x ) e
x 0
1 x
sin x 1．求证 lim 1 x 0 x 证明 : S POA 1 PA OA 1 tg x 2 2 1 1 S扇 OA AB x 2 2 sin x sin x tg x x , 即 x cos x cos x x
实例
x x0
f ( x) x2
左侧 右侧
当 x 2, 都有 f ( x ) 4
注：左、右极限都存在并相等
求极限 lim x
x2 2
x (左侧) →x0 x y 1.9 3.61 1.99 3.96 1.999 3.996 · · · · · · 2 4
x (右侧) →x0 x y 2.1 4.41 2.01 4.04 2.001 4.004 · · · · · · 2 4
1 1 1 1 , , , , 2 4 8
1 a n n1 2
数列——定义在自然数集合的函数 an f ( n) 整标函数
y x ( x [0,1])
2源自文库
1 1 21 2 21 n1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ...( ) n n n n n n n 2 2 2 2 1 2 3 ... ( n 1) ( n 1)n(2n 1) 3 3 n 6n 1 1 1 1 ( 2 ) n 3 6n 2n 3
故有
sin x 1 1 cos x x
(续)
sin x 1 1 cos x x
x 0
当x 0 , lim cos x 1 即 1 cos x为无穷小
sin x 1 也是无穷小 x sin x 即 lim 1 x 0 x
π lim(1 x ) tg x x 1 2 π (1 x ) π (1 x ) lim sin x lim lim sin x lim x 1 x 1 x 1 x 1 π π π 2 2 cos sin( x ) 2 2 2 π (1 x ) 2 2 π lim sin x lim 2 x 1 x 1 π 2 π π sin (1 x ) 2
ln(1 x ) lim lim ln(1 x ) lim ln e 1 x 0 x 0 x 0 x
1 x
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties