2014江西卷(理科数学)精准解析

2014·江西卷(理科数学)
1．[2014·江西卷] 是z 的共轭复数，若z ＋＝2，(z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i
1．D [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C [解析] 由x 2－x >0，得x >1或x <0. 3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1
3．A [解析] g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －
1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.
4．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC
的面积是( )
A ．3 B.9 32 C.3 3
2
D ．3 3
4．C [解析] 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3
2.
5．[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图11所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
图11
图12
5．B [解析] 易知该几何体的俯视图为选项B 中的图形． 6．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
表3
A ．成绩
B ．视力
C ．智商
D ．阅读量
6．D [解析] 根据独立性检验计算可知，阅读量与性别有关联的可能性较大． 7．[2014·江西卷] 阅读如图13所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )
图13
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
7．B [
8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C .1
3
D ．1
8．B [解析] ⎠⎛0
1f (x )d x ＝⎠⎛0
1
⎣⎡⎦⎤x 2
＋2⎠⎛01f （x ）d x d x ＝⎣⎡⎦⎤13x 3＋⎝⎛⎭⎫2⎠⎛01
f （x ）d x x 10＝13＋2⎠⎛0
1f (x )d x ，得⎠
⎛0
1
f (x )d x ＝－13. 9．[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线
2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.45π
B.3
4π C ．(6－25)π D.54
π
9．A [解析] 由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小， 则点O 到直线l 的距离为圆C 的
直径，即2r ＝45，所以r ＝25
，所以S ＝4
5π.
图14
10．[2014·江西卷] 如图14所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2，3，4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )
A B
C D
图15
10．C [解析] 由题意，L 1＝AE ＝13.
易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点E 1的直线E 1E 关于EF 对称，因此E 1(8，6，0)，且L 2＝L 1＝13.
此时，直线EE 1和从点E 1射出所得的直线E 1E 2关于过点E 1(8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得E ′2(12，9，12)．因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面CDD 1C 1上，设为E 2，求得L 3＝E 1E 2＝13
3，L 3<L 2＝L 1.最后
一次，从点E 2射出，落在平面A 1B 1C 1D 1上，求得L 4＝26
3
>L 3.故选C.
11．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )
A ．ρ＝1
cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2
B ．ρ＝1
cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4
C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π
2
D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π
4
11．(1)C [解析] 易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．
故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.
(2)A [解析] 依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，整理得ρ＝1
cos θ＋sin θ.因为
0≤x ≤1，所以 0≤y ≤1，结合图形可知，0≤θ≤π
2
.
12．[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
12.12 [解析] 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 3
7
C 410＝12
. 13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －
x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．
13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －
x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．
14．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1
3，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角
为β，则cos β＝________．
14.2 2
3 [解析] cos β＝a ·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|
＝
9e 2
1－9e 1e 2＋2e 22
9e 21－12e 1·e 2＋4e 229e 21－6e 1·e 2＋e 2
2
＝
9－9×1
3＋2
9－12×13＋4·9－6×13
＋1
＝83×2 2
＝2 2
3.
15．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是
线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
15.2
2 [解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩
⎨⎧
x 21a 2＋y 21
b
2＝1，x 22a 2＋y 2
2
b 2
＝1，两式作差可得x 21－x 2
2
a
2＝
－（y 21－y 2
2）
b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2
＝－b 2a 2，
即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－1
2，即a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，
所以c ＝b ，e ＝
2
2
. 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2.
(1)当a ＝2，θ＝π
4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫π
2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．
16．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
2＝
22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －2
2sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，
故f (x )在区间[0，π]上的最大值为
2
2
，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2
θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2，知cos θ≠0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.
17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的通项公式；
(2)若b n ＝3n －
1，求数列{a n }的前n 项和S n .
17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n
b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2，
所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.
(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －
1，
3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －
1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，
所以S n ＝(n －1)3n ＋1.
18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；
(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫0，1
3上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）
1－2x
，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.
所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.
(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x
1－2x
<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤1
9. 所以b 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，1
9. 19．、、[2014·江西卷] 如图16，四棱锥P P AD ⊥平面ABCD .
(1)求证：AB ⊥PD .
(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．
19．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .
(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .
在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝6
3.
设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝4
3
－m 2，故四棱锥P ABCD 的体积为 V ＝1
3
×6·m ·
43－m 2＝m
3
8－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝ －6⎝⎛⎭⎫m 2－232
＋8
3， 所以当m ＝
63，即AB ＝6
3
时，四棱锥P ABCD 的体积最大．
此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B ⎝⎛
⎭⎫63，－63，0，
C ⎝⎛⎭
⎫
63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63，故＝⎝⎛⎭⎫63，263，－
63，＝(0，6，0)，CD ＝⎝⎛⎭
⎫－63，0，0. 设平面BPC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，1)，
则由n 1⊥，n 1⊥，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋2 63y －63＝0，
6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，则n 1＝(1，0，1)．
同理可求出平面DPC 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫0，1
2，1. 设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
＝
12·
1
4
＋1＝105.
20． [2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条
渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2相交于点N .证明：
当点P 在C 上移动时，|MF |
|NF |
恒为定值，并求此定值．
20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.
由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1
a (x －c )，所以B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1
a x ，
则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－
c 2a c －c 2
＝3a .
又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2
＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x
3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0
≠0)．
因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，3
2x 0－3
3y 0，
则|MF |2
|NF |2
＝（2x 0－3）2
（3y 0）214＋
⎝⎛⎭⎫32
x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2
＝ 43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）
2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）2
4x 2
0－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23
＝23
3，为定值． 21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.
(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望； (2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；
(3)对(2)中的事件C ，表示C 的对立事件，判断P (C )和P ()的大小关系，并说明理由． 21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.
将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 3
＝20(种)，所以ξ的分布列为：
E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝7
2
.
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.
又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种． 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23
，
当n ≥3时，P (C )＝
2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2
k ＝1
C k 2k C n 2n
.
(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝1
3，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．
理由如下：
P (C )<P (C )等价于4(2＋∑
n －2
k ＝1
C k 2k )<C n
2n ，①
用数学归纳法来证明：
(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 3
6＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即
4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2
k ＝1
C k 2k <C m 2m 成立， 那么，当n ＝m ＋1时， 左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑
m ＋1－2k ＝1
C k 2k
＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2
k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！
＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）
（m ＋1）！（m ＋1）！
<
（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋1
2（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）
<C m ＋1
2（m ＋1）＝右边， 即当n ＝m ＋1时，①式也成立．
综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．。