-微分(数分教案)

微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
(微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性齐次函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
f
(x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
此时，考查的是改变量之比 y 。 x
在许多情况下（特别当x 很小时），我们需要考察
和估算函Hale Waihona Puke Baidu的改变量 y 。
1、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
即 dy f (x)x， x I
它既信赖于x ，也信赖于x 。
当 y x时， dy dx (x)x x 即 dx x， 自变量的微分dx等于自变量的增量x 。
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
微分算法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
3、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
即
df (x) x x0
f (x0 )dx
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
即
df (x) x x0
f (x0 )dx
可导 可微. A f ( x0 ).
若函数 y f (x)在区间I 上每一点都可微， 则称 f 为I 上的可微函数。
函数 y f (x)在I 上任一点 x 处的微分，称 为函数的微分，记作dy或df (x),
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
§5.5 微分
一、微分的概念 二、微分的计算 三、高阶微分 四、微分在近似计算中的应用
五、小结
一、微分的概念
复习，导数定义
函数 y f (x)的导数 f (x0 )，就是函数的改变量
y f (x0 x) f (x0 ) 与 自 变 量 的 改 变 量 x 之 比
y ，当x 0时的极限：
x
与 x 所对应的增量
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标
N
P
o(x)
y f (x) M
dy y
x
对应的增量.
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
二、微分的计算
• 1、四则运算法则与基本初等函数微分公式
由
dy f ( x)dx
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
一般地，在实际问题中，y 计算复杂、困难， 只要能求出近似就行了。
因此希望用 关于 x 的简单函数近似代替 y ，
并使其误差适合一定要求。
x的一次（线性）函数 Ax（ A常数） x 的高阶无穷小
即 y Ax o x（x 0）
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2、微分的定义
定义 设函数 y f (x)定义在点 x0的某邻域U ( x0 )内，
当给 x0一个增量x ，x0 x U (x0 )
相应地函数的增量为
y f (x)
y f (x0 x) f (x0 )
如果存在常数 A，使得y能表示成
y
y A x o(x) 则称函数 y f (x)在点 x0可微， x0 x0 x x
称 A x为函数 y f (x)在点 x0相应于自变量
增量x 的微分，记作dy xx0 或df ( x0 ),
即 dy xx0 A x. 或 df ( x) xx0 A x 当 A 0时
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
4、微分的几何意义
几何意义:(如图) 微分dy xx0 f (x0 )x表示
曲线 y f (x)在点M x0, f (x0 )处的切线
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .