驰豫时间近似和导电率公式

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一、弛豫时间近似
1.外场和温度梯度存在
rK∇
K r
f
+ kK∇ K f k
=b−a =
−
f
− τ
f0
⋅
r
=
1 =
∇
k
E
kK
=
−
e =
(εK
+
K v
×
K B)
∇r
f
=
∂f ∂T
∇ rT
玻尔兹曼方程为：
1 =
(∇
K k
E
⋅
∇T
)
∂f ∂T
−
e =
(εK
+
K v
×
K B
)
⋅
∇
K k
)(
∂f0 ∂E
)
1
f1
=
qτ =
K E
⋅
∇k
E
K (k
)(
∂f0 ∂E
)
KK v(k )
=
1 =
K ∇kE(k )
f1
=
qτ
K E
⋅
KK v(k )(
∂f0 ∂E
)
在一般电导问题中，电流与电场成正比，只考虑分布函 数中电场的一次项，所以有：
f
=
f0 +
f1 =
f0
+
qτ
K E
⋅
KK v(k 源自文库(
⋅ ∇k
f0
−
q =
K E ⋅ ∇k
f1
−
q =
K E ⋅ ∇k
f2
+"=
−
f1 τ
−
f2 τ
+"
方程两边同次幂的项相等，即：
f1 τ
=
q =
K E
⋅ ∇k
f0
f2 τ
=
q =
K E ⋅∇k
f1
K f0 是能量 E(k 的) 显函数
f1
=
qτ =
K E
⋅ ∇k
f0
f1
=
qτ =
K E
⋅
∇k
E
K (k
∫ 将所Kj求=的−f21代q2入τ上vK式(kK，)[得vK(到kK欧) ⋅姆EK定](律∂∂fE的0 )一(2般dπkK表)3示式：（6-63）
∫ 即
K j =−
q2
4π 3
τv(k )[v(k )
•
E]
∂f0
K dk
∂E
2. 导电率公式
∫ K
j = −2q2
τ
KK v(k
K )[v
K (k
)
⋅
二、 电导率公式
1. 欧姆定律 求解玻耳兹曼方程得到：
K f = f (Ex, Ey, Ez,k )
可以将分布函数f 按电场强度E的幂级数展开
f = f0 + f1 + f2 + "
第一、第二、第三项分别是电场强度的零次、一次、 二次幂 ……项
将展开式59代入玻耳兹曼方程(6-58),得:
−
q =
K E
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式
玻耳兹曼方程：
−
q =
K E
⋅
∇k
f
K (k )
=
b
−
a
是一个积分 ----- 微分方程
其中：
b=
∫∫ a =
K k′ K k′
f f
K (k′,
K (k ,
t)[1 − t)[1 −
f f
K (k , K (k ′,
tt))]]ΘΘ((kkKK′,,kkKK′))[[((22ddππkkKK′)′)33
)(
∂f0 ∂E
)
K dk (2π )3
−
∂f0 ∂E
=δ
(E
−
EF
),
所以积分的贡献主要来自E=EF附近，
这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
可以写为
∫ j = q2 τvK(EK ⋅ vK) ds
4π3 SF
∇KE
k
导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
对于各向同性的固体，导带中的电子具有单一的有效质量，
Δf = (Δf )t=0 e−t /τ
总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无 休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定 程度而达到稳定分布。
驰豫时间 τ反映了分布函数恢复平衡所需的时间
引入驰豫时间后，玻耳兹曼方程 为：
−
q =
K E ⋅ ∇k
f
K (k )
=
−
f
− τ
f0
K E
](
∂f0 ∂E
)
K dk (2π )3
∑ 分量式为： ja = σαβ Eβ
β
其中：
∫ σ αβ
= −2q2
τ
(
K k
K )vα
(
K k
K )vβ
K (k
)(
∂f0 ∂E
)
K dk (2π )3
可见，导电率是一个二阶张量。
∫ σ αβ
= −2q2
τ
K (k
K )vα
K (k
K )vβ
K (k
电子的能量可以写为：
E
=
=2k 2 2m*
电子的速度分量：
K
vα
=
1 =
∂E(k ) ∂kα
=
=kα m*
各向同性意味着电子的速度分量与k无关，因此：
∫ σαβ = −2q2
=2 m*2
kα kβτ
K (k
)(
∂f
0
∂E
)
K dk (2π )3
∫ σαβ = −2q2
=2 m*2
kα kβτ
(
K k
EF0
=
=2k02 2m*
E = EF0 在k空间的等能面是球面
等能面内的状态数
2
V (2π
)3
⋅
4π 3
k03
=
N
电子密度
n
=
N V
=
k03 3π 2
所以导电率： σ 0
=
nq2τ (EF0 ) m*
本节内容完
3
f
=−
f − f0 τ (k)
2.无外场，无温度梯度
∂f = 0 ∂t 漂
电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡
分布 f = f0 + (Δf )0 ， (Δf )0 表示分布函数对平衡的偏离
只有碰撞的情形
∂f = ∂f ＝b − a = － f − f0 = − Δf
∂t ∂t 碰
τ (k) τ
∂f0 ∂E
)
∫ ∫ ∫ 电流密度
K j
K j = −2 = −q
q 2
f
KKK
K dk
f (k )v(k )
K 0v
K (k
)
K (2π dk − (2π )3
)3 q
2
K f1v
K (k
)
(
K dk 2π )3
∫ 当平衡分布时Kj ，= 第−q一项2 积f1vK分(k结K)果(2为dπkK零)3，上式为:
)(
∂f
0
∂E
)
K dk (2π )3
K 各向同性下，驰豫时间τ (k )与
K k 无关
只要
kα ≠ kβ
积分中其余的因子都是球对称的，积分结果为奇函数
导电率 σαβ = 0
2
∫ σαβ = −2q2
=2 m*2
kα kβτ
K (k
)(
∂f0
∂E
)
K dk (2π )3
各向同性
σ11
=
σ 22
=
σ 33
对比金属电子总数的积分式和结果，忽略不计
∫ N
=
∞
Q ( E )(−
∂f
)dE
0
∂E
Q
(
E
0 F
)
=
Q(
EF
)
+
π2 6
Q ′′( E F
)(kBT
)2
∫ [k3τ
(k )](−
∂f0 ∂E
)dE
=
[k 3τ
(k )]EF0
( kBT )2 EF0
导电率 ：
σ0
=
q2 m*
k03 3π 2
τ (k0)
=
σ0
=
1 3
(σ
11
+ σ 22
+ σ33)
K
∫ σ 0
=
−
2q2 3
=2 m*2
(k12
+
k22
+
k32
)τ
(k )( ∂f0 ∂E
)
dk (2π )3
K dk = 4π k 2dk
E
=
=2k 2 2m*
dE = =2k dk m*
∫ 导电率
σ0
=
q2 3π 2m*
[k 3τ (k )](− ∂f0 )dE ∂E