一元函数极值问题求解的几种初等方法
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一元函数极值问题求解的几种初等方法
王淑红 指导老师:宋宗林
(河西学院数学与应用数学专业2010级5班64号, 甘肃张掖 734000)
摘要 在生活实践中,我们经常遇到在一定条件下,如何做到用料最省、质量最好、成本最低、效率最高这一类问题,相应的用面积一定的铁皮,做成怎样尺寸和形状的罐头盒,其容积最大？这又是最大的问题,在数学上称为极值问题.在不少情况下可以用初等方法求出,所谓初等方法,是指不用到微积分知识,而只用初等数学的知识来求出极值的方法,限于初等数学的范围及中学教材对极值问题的要求,以下归纳几种关于求函数极值问题求解的初等方法. 关键词 极大值；极小值；初等数学 中图分类号
（一） 基本概念
1设一元函数)(x f 定义在区间],[b a 上,),()(b a x f ∈,如果存在0>δ,当
δδ+<<-00x x x 时,均有)()(0x f x f ≤,则称)(0x f 为)(x f 的一个极大值,0x 称为)(x f 的极大点.
如果对于满足δδ+<<-00x x x 的一切0x 均有: )()(0x f x f ≥,则称)(0x f 为
)(x f 的一个极小值,0x 称为)(x f 的极小点.
2设],[0b a x ∈,若对于一切],[b a x ∈均有：
)()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥）
则)(0x f 就称为：)(x f 在],[b a 上的最大值或最小值,记为)(max x f 或)(min x f . 必须明确：函数的极值未必是函数的最大值或最小值,由上述定义,我们不难看到,函数的极大（小）值)(0x f 只是在极大（小）点0x 附近的一个局部范围内,函数)(x f 的最大（小）值,因而函数)(x f 在],[b a 的极值不一定是唯一的,而且某一极大值可能小于另一极小值,如图（1）,)()(32x f x f <,可见极值的概念是就局部而言的,而最大（小）值是就函数的整个定义域而言的.
（1）
（二）求极值的几种初等方法 1配方法
考察二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 直接配方可得：
a
b a
c a b x a x f 44)2()(2
2-++=
从而对于一切),(+∞-∞∈x 有:
22)2(44)(a b x a a b ac x f +=--⎩⎨
⎧>≥<≤时
当时当0000a a
等号当且仅当a
b
x 2-