第四章 积分变换法 ppt课件 (2)

所以 U ( , t ) 取傅立叶逆变换，得
ux,t1[xatxat]
2
t是参数
1agat
(x)1 a
t 0
f
ga(t)(x)d
U (,t) () c o s at ()s in at 1tf ˆ(,)s in a( t )d a a0
解得 U,tFe2t.
为了求出原方程的解,下面对 U,t 关于 进行
傅立叶逆变换. t是参数
u x , t f x F 1 e 2t
f x
1
x2
e 4t
2 t
1
s2
f x s e 4tds.
2 t
F fgF fF g F 1 F fF g fg
4.2 傅立叶变换的应用
4.2 傅立叶变换的应用
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
u 2u
t
x2
,
t 0, x R .
u x,0 f x
解：由自变量的取值范 围，对 x 进行傅立叶变换，设
ux,tU, t ux,teixdx
f xF
那么方程转变为
dU,
t 2U,t
dt
U, t|t0 F
4.2 傅立叶变换的应用
b
Ks,x f xdx:Fs
a
定义了一个从 f(x) 到 F(s) 的变换, 称为积分变换, K(s,x) 为变换的核。
常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换 假设 f(x) 在(,)上有定义，在(,) 上绝对 可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小 值，且至多有有限个第一类不连续点，则函数
例 用积分变换法解方程：
u t
x2u2
f
(x,t)
xR,t 0
ux,0x
解： 作关于x的傅立叶变换。设
ux,t U,tux,teixdx
fx,tfˆ,t x
方程变为
dU,
t2U,tfˆ,t
dt
U, t|t0
4.2 傅立叶变换的应用
可解得 U ,t e 2 ttfˆ(,)e 2 (t )d. 0
F f g F (f) F ( g )
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
F eixfxdx.
称为f(t)的傅立叶变换。 记作：F ()F [f(x )]
即是区间[a,b]( , )上，核为 K,xeix
的积分变换
4.1 傅立叶变换的概念和性质
➢傅立叶积分定理：当 f(x) 满足上述条件时，有
21 eixd f(t)eitdt f(t0)f 2 (t)f(t0)
例 用积分变换法求解初值问题：
uutt|t0a2uxxx f(x,t) ut |t0x
(x, t0)
t是参数
解：作关于 x 的傅立叶变换。设
ux,tU,t, fx,tfˆ,t,
(x)(), (x)().
4.2 傅立叶变换的应用
于是原方程变为
d2 U d t 2,t a2 2 U ,tfˆ,t
满足初始条件
第四章 积分变换法
4.1 傅立叶变换的概念和性质 4.2 傅立叶变换的应用 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质 4.4 拉普拉斯变换的应用
4.1 傅立叶变换的概念和性质
定义：假设 I 是数集(实数或者复数)，K(s,x) 为 I[a,b] 上的函数,这里 [a,b]为任意区间。如果 f(x) 在区间 [a,b] 有定义, 且 sI, K(s,x) f(x) 为 [a,b] 上可积函数, 则含参变量积分
U, t|t0 ,
dU,
dt
t|t0
4.2 傅立叶变换的应用
解常微分方程：
ω是参数
d 2 U d t 2,t a 2 2 U ,tfˆ ,t的通解为
U(,t)CcosatDsinat
1 t
a0
fˆ(,)sina(t)d
由初始条件 U(,t)()cosat ()sinat
a
1 t
a 0
fˆ(,)sina(t
1
x2 e 4t
2 t
t
fˆ(,)F
1
x2
e 4(t) d
0
2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t f(x,)*
1
e d 4(x t2)
0
2 (t)
1
(x)2
e 4t d
1
t
d
f( , )e(4x( t )2 )d
2 t
2 0 t
4.2 傅立叶变换的应用
f(x ) g x fx tg td tftg x td t
则 F f g F fF g
4.1 傅立叶变换的概念和性质
5) 乘积运算
Ffg21FfFg.
➢傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立 了一个对偶关系。
6) 平移性质 F [f(x y )] e iy F (f), y R .
而
F
1
x2
e 4t
百度文库
e2t
2 t
则
U ,t F 1e x 4 2 t tf ˆ(,) F 1 e 4 (x t 2 ) d .
2t 0
2( t )
上式两边关于x作逆傅立叶变换，得
4.2 傅立叶变换的应用
u x ,t F 1 U (,t)
F1F
)d
4.2 傅立叶变换的应用
注意到 ()c o sat1 [ ()e ia t ()e ia t]
2
取傅立叶逆变换，得
F 1 [ ( )c o s a t] 1 [x a t x a t] 2
而
F1
sinat
gat
(x)
其中：
gat
(x)
1 2
,
at
x
at
0, 其它
4.2 傅立叶变换的应用
4.1 傅立叶变换的概念和性质
思考： 对于u(x,y), 若以 y 为参数, 对 x 作傅立叶变换
u x ,y F o u x r i e r U ,y
由傅立叶变换的线性性质
u yx ,y F o u x r ie r U y ,y d d y U ,y
是参数
同理, y 2u 2x,y F ou xr ier d dy22U,y
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f作x：f(2x 1) F F 1 [F (e i)x]d
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数