建筑力学5内力内力图

17
2.梁的计算简图 （1） 梁身的简化：用梁的轴线。 （2） 荷载的简化： 集中力—当外力的作用范围与梁的尺寸相比很小时，
可视为作用在一点上。 力偶—当作用在梁上的两个集中力大小相等、反向
相反，作用线相邻很近时，可视为集中力偶。 分布力—连续作用在梁上的全长或部分长度内的荷
载表示为分布荷载。 （3）支座的简化：固定铰支座、可动铰支座、固定
13
5.4平面弯曲梁的内力与内力图
14
5.4平面弯曲梁的内力与内力图
5.4.1弯曲变形的概念
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形 或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
15
1.平面弯曲
常见梁的截面形式
梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲 称为平面弯曲。
16
平面弯曲的特点： *具有纵向对称面 *外力都作用在此面内 *弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
工程中一般不直接给出作用于轴上的外力偶矩，只 给出传动轴的转速及其所传递的功率。它们之间 的关系为：
M e Nm

9549
PkW n r/min
式中： 为作用在轴上的外力偶矩；P为传动轴所 传递的功率；n为传动轴的转速。
通常，输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与 轴的转向相同；输出力偶矩为阻力偶矩，其转向 与轴的转向
x2 (b)
(2)列剪力和弯矩方程：
AC段：FQ(x1)=FAy=Fb/l (0<x1<a)
M(x1)=FAyx1=Fbx/l (0 ≤x1 ≤a)
34
CB段：FQ(x2)=FAy-F=Fb/l – F=-Fa/l (a<x2<l)
M(x2)=FAyx2 –F(x2- a)=Fbx2/l –F(x2-a)
FQ2=-(FBy - q×2)=-(16 - 3×2)=-10kN （逆转） M2=FBy×0 - q×2×1=0 - 3×2×1=-6kN.m (上凸)
32
5.4.3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
1.内力方程
FQ=FQ(x) , M=M(x) 2.剪力图和弯矩图正负号：
.
FQ
.
.
+
.
.
.
-
.
l
直线。
AC段：x1=0时 MA=0 , x1=a时 MC=Fab/l CB段：x2=a时 MC=Fab/l , x2=l时 MB=0.如图(d)。 35
由图(d)可知，在集中力作用处的截面上的弯 矩值最大，其值为
Mmax=Fab/l
A
F
B
l/2 C l/2
若集中力作用在梁的中点，
l
(e)
如图(e)
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN F
FN F
7
例 5-1 试画出图所示直杆的轴力图。
8
例：
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
9
5.3扭转杆件的内力与内力图
5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，
杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。
则：FQmax=F/2 Mmax=FL/4
F/2
FQ图(kN) (f)
F/2
其剪力图和弯矩图分别如
图(f)和(g).
M图(kN.m) FL/4
(g)
36
5.4.4用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
1.荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系
.
y
q(x)
.
q(x)
.
FQ(x)
.
M(x)
C M(x)+dM(x)
=Fa(l-x2)/l
(a ≤x2 ≤l)
（3）画剪力图和弯矩图
FQ图：FQ(x1)和FQ(x2)均为常数， Fb
故，剪力图在AC段和CB段都是 l
平行于x轴的直线。如图(c).
FQ图(kN)(c)
Fa l
M图：M(x1)和M(x2)都是一次函数，
Fab
故，AC段和CB段的弯矩图都是斜
M图(kN.m) (d)
FAy=8kN (↑) 校核 ∑Fiy=FAy+FBy - q ×8
q
A 3m
=16+8 -3×8=0
FAy
1 2m 2
1 6m
(b)
2B
2m FBy
说明支反力计算正确。
（2）计算1-1、2-2截面内力，
30
取1-1截面左端部分为研究对象计算1-1截面上的剪力和弯矩。按 照顺时钟转剪力为正，下凸弯矩为正的原则，可求得:
计算结果相同。
2
q
1
A 3m
FAy=8kN
1 6m
2B
2m FBy=16kN
31
q A
3m
FAy=8kN
1
1 6m
2
2B 2m
FBy=16kN
如果取截面右边为研究对象，结果一样：
取1-1截面右端部分为研究对象
FQ1=-∑F右=-(FBy-q×5)=-(16-3 ×5)=-kN (逆转） M1=FBy×3 - q×5×2.5=16×3 -3×5×2.5= 10.5kN.m(向下凸) 取2-2左面部分为研究对象
M1的真实方向与图(c)中所示 M1 1 q
F
的方向相同，即弯矩和剪力 都是正的。
FQ11
3m
(d)
1m FBy
27
【例5-6】图(a)所示悬臂梁，q=3kN/m,F=10kN。求11截面上的剪力和弯矩。
【解】对悬臂梁可不求支座反力，
1q F
直接选右段为研究对象，截面上 A 2m 1 4m B
的剪力弯矩均按正方向假设，如
.
.
A
BX
.
X
dx
.
dx FQ(x)+Dfq(x)
由 ∑Fiy=0: FQ(x)+q(x)dx-[FQ(x)+dFQ(x)]=0
得
dFQ (x) q(x)
dx
（5-8）
剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度。
37
由 ∑Mc=0:
高阶小量可以略去
-M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx2/2+[M(x)+dM(x)]=0
.
见例题
-
x
x
+
M
33
F
【例5-8】画出简支梁受集中荷 载时的剪力和弯矩图。
A
B
a
Cb
l
【解】（1）求支座反力
(a)
∑MA=0: FBy ×l - F×a=0 FBy=Fa/l kN (↑)
∑MB=0: -FAy × l +F×b=0 FAy=Fb/ l kN (↑)
A
FAy
a
x1
F
B
Cb l
FBy
建筑力学
第五章内力与内力图
教师：邹定祺
1
内容： 1、内力的求解方法 2、内力图的绘制方法 重点： 1、用简易法计算内力
2、利用微分关系绘制内力图的方法，尤其是 平面弯曲梁的剪力图和弯矩图
2
5.1基本概念
5.1.1内力的概念
由于外力作用而引起的物体内部相互作用 力的改变量，称为附加内力，简称内力。
4
截面法求内力的步骤： 1）截开：欲求某一截面上的内力时，就沿着
该截面假想地把构件分成两部分，任意留 下一部分作为研究对象，弃去另一部分。 2）替代：用作用在截面上的内力，代替弃去 部分对保留部分的作用。 3）平衡：根据保留部分的平衡条件，建立平 衡方程，确定未知内力。
5
5.2轴向拉压杆的内力与内力图
5.1.2求内力的截面法 为了显示某一截面的内力，必须用一假
想的截面截开物体，才能显示出作用在该截 面上的内力。
截面上的内力一般有轴力（FN)、剪力 （FQ)和弯矩(M)。
3
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F2
n
M
F1
F4
F2 F1
n n
M
FN n FQ
F3
∑Fix=0 ∑Fiy=0
∑mo(Fi)=0
M1为负号，表示M1的真实方向与图中所示方向相反。 28
2.简易法计算内力 *计算剪力时，根据脱离体建立投影方程∑Fiy=0,
经过移项后可得 FQ=∑Fiy左 或 FQ=-∑Fiy右 。
*计算弯矩时，根据脱离体建立对截面形心o的力 矩平衡方程∑M=0，经过移项后可得
Mo= ∑Mo(Fi左) 或 MO= ∑Mo(Fi右) 当力矩使脱离体产生下凸变形时，其值取正号, 反之，取负号。
若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线； 若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力 一致，且突变的数值等于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连 续无变化。
B FBy 1m
得 FBy=19kN (↑)
3m
(b)
∑MB=0 -FAy×6+(q×6)×3-F×1=0
得 FAy=11kN (↑)
校核 ∑Fix=FAy+FBy-q×6-F=11+19-4×6-6=0
表明支反力计算正确。
26
（2）计算1-1截面的内力。将梁沿1-1截面截开，选
左端为研究对象。截面上的弯矩和剪力按正方向假
*FQ和M的正负号规定：
.
FQ
.
左
+右
.
. ∑mi左 .
∑mi右
.
左 MM
右
.
∑mi左
.
+
FQ 左-右
左
右
MM
-
∑mi右
24
用截面上法计算指定截面剪力和弯矩的步骤： 1) 计算支座反力。 2）用假想的截面在求内力处将梁截成两部分，
取其一（力较少的）部分为研究对象。 3）画出研究对象的受力图，截面上的剪力和
10
5.3.2扭转杆件的内力与内力图
* 扭矩是作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶。杆 件任意两个横截面之间相对转过得角度，称为扭转角。
外力偶
外力偶Me
扭矩Mt
11
*扭矩正负号的规定：用右手螺旋法则，以右手的四 指表示扭矩的转向，当姆指的指向与截面外法线 方向一致时，扭矩为正好；反之，为负号
12
外力偶矩
*一般工程中的拉压杆都是直杆。 *拉压杆横截面上的内力是一个分布力系，其 合力（FN)的作用线与杆轴线重合,称为轴力。 规定，FN箭头指向背离截面（拉力）时为正。 反之取负（使截面受压）。 *轴力图，正值得轴力画在横轴线的上侧，负 值得轴力画在下侧。
6
轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的 轴线重合,用符号 ＦＮ 表示
端支座。
18
1）固定铰支座
螺栓
A FA y
A A FAx
A
FAx A
A
A FA y
FAx A FAy
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2）可动铰支座
. A
.
A FA
垫块 .
20
3）固定端支座
mA
FAx FA y
mA FAx
A
FAy
21
3.梁的类型 1）简支梁
2）外伸梁
3）悬臂梁
22
5.4.2梁弯曲时横截面上的内力—剪力和弯矩
得
(5-9) 弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。
再对x求导得
（5-10）
二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，
• 若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线，
• 若q(x)>0,弯矩为上凸曲线，
• 即弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致
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2、常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系 1）剪力图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，
*剪力和弯矩都按正方向假设。
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【例5-7】图(a)所示外伸梁，q=3kN,用简易内力计算 法求两1-1、2-2截面的剪力和弯矩。
【解】 （1）求支反力 ∑MA=0:FBy ×6 –(q×8)×4=0 A
FBy=16kN (↑)
q1
2
3m 1 6m
(a)
2B 2m
∑MB=0: -FAy ×6+ (q ×8 )×2=0
弯矩一般都先假设为正。 4）建立平衡方程，求内力。
见例题
25
百度文库
【例5-5】如图(a)所示外伸梁，已知 q=4kN/m,
F=6kN,求1-1截面上的剪力和弯矩。
【解】（1）求支反力
1q
F
如图(b)，设A、B处支反力 A 2m 1
B
6m
1m
为FAy、FBy，由平衡方程式
1 q (a)
F
∑MA=0
A
FBy ×6-(q×6)×3-F×7=0 FAy 2m 1 6m
设， 如图（c）。列平衡方程
∑F=0 ：FAy-q×2 - FQ1=0 得 FQ1=FAy-q×2=11- 4×2=3kN ∑M1-1=0: -FAy×2+(q×2)×1+M1=0
A
q 1 M1
2m 1 FQ1
FAy (c)
得 M1=FAy×2-(q×2)×1 =11×2-4×2×1=14kN.m
FQ1、M1都为正号，表示FQ1、
(a)
图(b)所示。列平衡方程 ∑Fiy=0: FQ1-F-q ×4=0
1q
M1 1 4m
FQ1
(b)
F B
FQ1=F+q ×4=10+3 ×4=22kN
∑M1-1=0: -F ×4 - q×4×2 – M1=0
M1=-F ×4 - q×4×2=-10×4 -3×4×2= -64kN.m
FQ1为正号，表示FQ1的真实方向与图(b)中所示相同；
1.剪力和弯矩的概念
.
m
.A
.
am
.
L
. FAy .
mM
.A
.
a m FQ
. FAy M FQ
.
.
m
.
F
F L-a
∑Fiy=0:
B
FAy-FQ=0
FQ=FAy
∑M=0:
FBy
FAy·a-M=0
M=FAy·a
B FBy
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*无论取哪一部分为研究对象，同一截面左右两 面上的剪力和弯矩不仅数值相同，而且符号 也一致。
FQ1=∑F左=FAy - q×3=8-3×3=-1kN (逆转） M1=FAy×3 - q×3×1.5=8×3 -3×3×1.5
=10.5kN.m （向下凸）
同理，取2-2左面部分为研究对象计算2-2截面上的剪力和弯矩：
FQ2=FAy - q×6=8 - 3×6=-10kN （逆转）
M2=FAy×6 - q×6×3=8×6 - 3×6×3=-6kN.m (上凸)