10.2无界函数的反常积分

.
故原广义积分发散.
例5. 讨论瑕积分
解:
1 0
1 dx ( p > 0)的收敛性 . p x
被积函数 f在(0,1] 上连续,x = 0 是瑕点.由于.
1 1 p 1 1 1 p (1 u ), p 1, (0 u 1), 0 x p dx ln u, p 1
2 3
(
0
1
3
)
0
1
dx ( x 1)
2 3
lim 0
0
1
dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
1
3
dx ( x 1)
3
2 3
lim 1
0
3
dx ( x 1)
3
2 3
0
dx ( x 1)
2 3
3(1
2 ).


例4 解
计算广义积分
2
1
2
dx 2 dx lim 1 0 x ln x x ln x
2
1
dx . x ln x
lim 1
0
lim ln(ln x )
0
0
d (ln x ) ln x
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 ))
a c
都收敛, 则定义
a f ( x)dx a f ( x)dx c
lim
c
b
c
b
f ( x)dx
0 a
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx 0 c
b
否则, 就称广义积分 a f ( x) dx 发散.
例1 : 计算广义积分 0
a f ( x )dx a f ( x )dx c
10.2 无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分 二、无界函数敛散性判别法 三、反常积分的主值
一、无界函数的广义积分
定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
0 a
b
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
1
由于
1 1 lim 1 dx 2 1 x 2 dx lim 0 0 1 x x 1
0 0

1 lim ( 1)
0

1 dx dx 即广义积分 2 发散, 所以广义积分 2 发散. 1 x 1 x 0
故当0 p 1 时， 瑕积分收敛 ， 且 1 1 1 1 1 dx ; p 0 x p dx ulim u x 0 1 p
当P 1 时， 瑕积分发散于 .
例6 解
计算广义积分


1
3
dx ( x 1)
dx ( x 1)
2 3
0
2 3
.
0
3
dx ( x 1)
a
y
1 a2 x2
1 a
o
a
a a x
图10-2
a lim arcsin 0 0 a c
arcsin 1
2
dx 1 x 2 的收敛性 . 1 解 : 被积函数f ( x) 2 在积分区间[1,1]上除x 0外连续, x 且 lim 12 x 0 x 例2 : 讨论广义积分
例3 : 证明广义积分
dx a ( x a ) q 当q < 1时, 收敛; 当q 1时, 发散.
b
证: 当q = 1时
b b dx dx dx lim a ( x a) q a x a 0 a x a b lim ln( x a)a
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定
积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有 限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。 广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积
分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极
限值。
a f ( x )dx F (b) F (a 0) a f ( x )dx F (b 0) F (a )
b
0
lim [ln(b a ) ln ]
0

Leabharlann Baidu
当q 1时, b 1 q b dx b ( x a) dx lim a ( x a)q 0 a ( x a)q lim 0 1 q a 1 lim (b a )1 q 1 q 0 1 q (b a )1 q , q 1 1 q q >1 , b dx 因此, 当q <1时,广义积分a q 收敛, ( x a) 1 q 其值为 (b a) b 1 q dx 当q 1时, 广义积分 a ( x a) q 发散.
点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
如果极限 lim
b
0 a
b
f ( x)dx 存在,则定义
b
a f ( x)dx lim 0 a
f ( x)dx
否则, 就称广义积分a f ( x)dx 发散.
b
设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a < c < b) 外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义 积分 c b f ( x)dx与 f ( x)dx
a
dx a2 x2
( a > 0)
y
解 : 因为 lim
x a 0
1 2 2 a x
所以, x=a为被积函数的无穷 间断点. a a dx dx lim 于是:0 a2 x2 a 2 x 2 0 0
x lim arcsin 0 ac
仍然记作 f ( x)dx, 即
b
a b
f ( x)dx a f ( x)dx lim 0 a
这时也称广义积分 f ( x)dx 收敛. 如果上述 a b 极限不存在, 就称广义积分 f ( x)dx 发散.
a
b
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在