空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系

1、直线和平面平行的定义

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类

（1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，

我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．

(3)直线与平面位置关系的图形画法：

①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；

②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四

边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；

③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为 。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是 。

①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α；

②若直线a 在平面α外，则a//α;

③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;

④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。

变式2、下列命题中正确的个数是( )

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0

B.1

C.2

D.3

分析：如图2,

图2

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B

变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5

用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.

变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.

例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )

A.α内的所有直线与a异面

B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.

变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.

分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8

其中真命题是①.

变式2、若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )

(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行

(4)α内不存在与a平行的直线

A.0

B.1

C.2

D.3

分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9

答案：A.

知识点二直线与平面平行

1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑴定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为α

α//

α

a⇒

⊂

b

⊄；

,

,

//a

b

a

⑵该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：

① 直线a 在平面α外，即α⊄a ；②直线b 在平面α内，即α⊂b ；

③直线a ，b 平行，即a ∥b ，这三个条件缺一不可。

⑶定理的作用：将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定。

2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

用符号表示为：若a//α，,,b =⊂βαβα 则a//b ，即“线面平行，则线线平行”。

(1)定理的作用

线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的判定转化为线面平行的判定，因此，我们要证明（或判定）两条直线平行时，若直线证明难以成功，此时，不妨考虑转化为证明（或判定）线面平行的问题．

(2)直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系．直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论．

(3)线面平行的其他性质：

①平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面； ②若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，则此直线在这个平面内。 例4、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，

求证：MN//平面AA 1B 1B 。