三角函数的图像和性质知识点与例题讲解

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x∈[0 ，2π] 的图象中，五个关键点是：(0,0) (

2 ,1) ( ,0) (

3 ,-1)

(2 ,0)

2

余弦函数y=cosx x [0,2 ] 的图像中，五个关键点是：(0,1) ( ,0) ( ,-1) (

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

2 3,0) (2 ,1) 2

性

函

质

数y x y cosx y tan x sin

图象

定

义域R R ,

x x k k

2

值

域

1,1 1,1 R

最值当 2

x k 时，

2

y 1 x 2k

；当

max

2

当x

2k

时，

y max

1；

当

x

2k

时，

y min 1．

既无最大值也无最小

值

时，y．

min 1

周

期 2 2

性

奇

偶奇函数偶函数奇函数性

在 2 ,2

k k

2 2 在2k ,2k 上是增函

单

调

上是增函数；数；在,

k k

2 2

性

在

3

2k ,2k

2 2

在2k ,2k上是减函

数．

上是增函数．

上是减函数．

对称对称中心

k,0

对称中心

,0

k

2

k

对称中心

,0

2

对称轴x k 性

对称轴

x k

无对称轴

2

- 1 -

例作下列函数的简

图

(1)y=|sinx| ，x∈[0，2π]，(2)y=-cosx ，x∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：

(1) sin x 1

2

(2) cos x

1

2

3、周期函数定义：对于函数y f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，

都有： f (x T) f (x) ，那么函数y f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：周期T 往往是多值的（如y sin x 2 ,4 , , ,-2 ,-4 , , 都是周期）周期T 中最小的正数叫做y f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y sin x , y cosx的最小正周期为 2 （一般称为周期）

正弦函数、余弦函数：

2

T 。正切函数：

例求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+ )

2 y=cos2x

3 y=3sin(

3 x

2

+

5

) 4 y=tan3x

例求下列函数的定义域和值域：

（1）y 2 sin x （2）y 3sin x （3）y lg cos x 例5 求函数sin(2 )

y x 的单调区间

3

- 2 -

例不求值，比较大小

23 17

(1)sin( －) 、sin( －) ；(2)cos( －) 、cos( －) ．

18 10 5 4

解：(1) ∵－＜－＜－＜．(2)cos( －

2 10 18 2 23

5

) ＝cos

23

5

＝cos

3

5

且函数y＝sin x，x∈［－］是增函数cos( －

，

2 2 17

4

) ＝cos

17

4

＝cos

4

∴sin( －) ＜sin( －) ∵0＜

＜

10 18 4 3

5

＜π

即sin( －) －sin( －) ＞0 且函数y＝cos x，x∈［0，π］是减函数

18 10

3

∴cos ＜cos

5 4

3

即cos －cos ＜0

5 4

∴cos( －23

5

) －cos( －

17

4

) ＜0

4、函数y sin x 0, 0 的图像：

（1）函数y sin x 0, 0 的有关概念：

①振幅：；②周期：2

；③频率：

1

f ；④相位：x ；⑤初相：．

2

(2) 振幅变换

①y=Asinx ，x R(A>0 且A 1) 的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0

②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A

③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折

A称为振幅，这一变换称为振幅变换新疆王新敞奎屯

(3) 周期变换

①函数y=sin ωx, x R ( ω>0 且ω1) 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1) 或伸

1

长(0< ω<1)到原来的

倍（纵坐标不变）

②若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图

ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换

(4) 相位变换

一般地，函数y＝sin( x＋) ，x∈R(其中≠0) 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左( 当＞0