高等代数 第5章二次型 5.3 二次型的惯性定理

（4）和（5）. 记
yi (c ) sij c j , i 1,2, , n
j 1
n
zi (c ) t ij c j , i 1,2, , n
j 1
n
我们有
y1 (c )2 y p (c )2 y p1 (c )2 yr (c ) 2 z1 (c )2 z p (c ) 2 z p 1 (c )2 z r (c )2 ai j ci c j
1 0 0 0 -2 0
-1 -3 a
-1 a a
经过合同变换可化为标准形
0 0 a 1a 3
所以当 a 1 或 a 3 时，二次型的惯性指标是 0，符号差是－2，其典范形为
2 2 f x1 , x2 , x3 z1 z2
取
1 | c1 | T 0
1 | cr |
0 1 1
那么
Ip T P APT O O O Ir p O O O O
定理9.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式 的一个二次型等价： （ 1）
n sij x j பைடு நூலகம் i 1,2, , p j 1 （ 6） n t x , i p 1, , n ij j j 1 因为 p p , 所以 p n p n, 因此，方程组 （6）在R内有非零解. 令 (c1 , c2 ,, cn ) 是（6）的 一个非零解. 把这一组值代入 yi 和 zi 的表示式
d i 分别表示复数 ci , d i 的一个平方根.
那么 S S , T T ，而
Ir S P APS T QBQT O 因此，矩阵A，B 都与矩阵
Ir O O O
O O
合同，所以A与B合同.
实二次型的典范形
定理 实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下 形式的一个矩阵： （ 1）
j 1 j i n n
然而 y1 (c ) y p (c ) 0, z p 1 (c ) zr (c ) 0 所以
y p1 (c )2 yr (c )2 z1 (c )2 z p (c )2
2 2
因为 yi (c ) 和 zi (c ) 都是非负数，所以必须 y p 1 ( c ) y r ( c ) 0
因此 q2与q1都与同一个典范形式等价，所以它们 有相同的秩和符号差.
1 那么它们也有相同的惯性指标 p ( r s ) . 因此 2 A1 , A2 都与矩阵
反过来，如果 q1 , q2 有相同的秩 r 和符号差s ,
Ip O O
O Ir p O
O O O
2 x1

2 xp

2 x p 1

2 xr
这里 r 是所给的二次型的秩. 二次型（1）叫做实二次型的典范形式，定理 9.2.3 是说，实数域上每一个二次型都与一个典范 形式等价. 在典范形式里，平方项的个数 r 等于二 次型的秩，因而是唯一确定的.
定理 9.2.4（惯性定律）设实数域R上n元二次型
这就证明了 p p . 同理可证得 p p . 所以 p p .
由这个定理，实数域上每一个二次型都与 q( x1 , x2 ,, xn ) 唯一的典范形式（1）等价. 在（1） 中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数p与负项的个数 r – p 的差s = p – (r – p) = 2p – r 叫做所给的二次型的符号差.
例 1 a 满足什么条件时，二次型
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 ax3 2 x1 x2 2ax2 x3 2 x1 x3
的惯性指标是0，符号差是－2 ？写出其典范形。
解 实二次型 f x1 , x2 , x3 的矩阵为
1 A -1 -1
二次型的惯性定理
定理 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必 要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充 分且必要条件是它们有相同的秩.
证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充 分性. 设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A 与B有相同的秩r ，由定理，分别存在复可逆矩阵P 和Q，使得
c1 P AP 0
c2 cr
0 0 0 d1 d2 QBQ dr 0
0 0 0
当r 0时, ci 0, d i 0, i 1,2,, r
sij x j ,
t ij x j ,
j 1
n
i 1,2, , n
i 1,2, , n
（ 5） z i
j 1 n
化为所给的二次型
妨设 p p , 考虑 方程组
aij xi x j , 如果 p p , 不
i 1 j 1
n
n
p n p 个方程的齐次线性
Ip P A1 P O O O Ir p O O O O
如果 q2与 q1等价，那么 A2和 A1 合同. 于是存在实
可逆矩阵Q 使得 A2 QA1Q . 取 T Q 1 P ，那么
T A2T P Q 1QA1QQ 1 P Ip P A1 P O O O Ir p O O O O
一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定 的.
定理9.2.5 实数域上两个 n 元二次型等价的充分 且必要条件是它们有相同的秩和符号差.
证 设 q1 ( x1 , x2 ,, xn ) 和 q2 ( x1 , x2 ,, xn ) 是实数
域上两个n元二次型. 令 A1 和 A2 分别是它们的矩 阵. 那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得
O Ir p O
O O O
由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以 C r , p 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后，p 可以取0， 1，… ，r ；而 r 又可以取0，1，…，n 中任何一 个数. 因此这样的 C r , p 共有
1 1 2 ( n 1) ( n 1)( n 2) 2
aij xi x j
i 1 j 1
n
n
等价于两个典范形式
2 2 2 y1 y2 y y p p 1 r
（ 2） （ 3）
2 2 2 z1 z2 z z p p 1 r 那么 p p
证 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变
换 （ 4） y i
合同. 由此推出 A2和 A1合同，从而 q2与 q1等价. 推论 9.2.6 实数域 R 上一切n元二次型可以分成 1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次型彼此等价， 2 属于不同类的二次型互不等价.
证 给定 0 r n和0 p r . 令
Cr , p
Ip O O
个. 对于每一个 C r , p ，就有一个典范形式
2 x1

2 xp

2 x p 1

2 xr
与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在 一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次彼此等价， 2
属于不同类的二次互不等价.
Ip O O O Ir p O O O O
这里 r 等于A的秩.
证 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得
c1 P AP 0
c2 cr
0 0 0
如果r > 0 ，必要时交换两列和两行，我们总 可以假定 c1 ,, c p 0, cr 0, 0 p r
z1 (c ) z p (c ) 0
又 z p 1 (c ) zn (c ) 0. 所以 c1 , c2 ,, cn 是 齐次线性方程组
t ij c j 0,
j 1
n
i 1,2, , n
的一个非零解.这与矩阵 ( t ij ) 的非奇异性矛盾.
取 n 阶复矩阵
1 c1 S 0
1 0 d1 T 1 0 1 0 1 1
1 cr
1 dr
这里 ci ,