实验四 杨氏模量的测定 (梁弯曲法) 【实验目的】 1、学会用攸英(Ewing ...
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实验四杨氏模量的测定(梁弯曲法)
【实验目的】
1、学会用攸英(Ewing)装置测量长度的微小变化;
2、用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量.
3、研究梁的弯曲程度与梁的长度、宽度、厚度、负重等之间的关系
【实验仪器】
攸英(Ewing)装置,砝码若干(200g/个),螺旋测微计,游标卡尺,百分表.
【实验原理】
材料受外力作用时必然发生形变,其内部应力(单位面积上受力大小)和应变(即相对形变)的比值称为弹性模量,这是衡量材料受力后形变大小的参数之一,是设计各种工程结构时选用材料的主要依据之一。
本实验采用弯曲法测量钢的纵向弹性模量(也称杨氏模量)。实验中涉及较多长度量的测量,应根据不同测量对象,选择不同的测量仪器。如用百分表测量梁的驰垂量。本实验采用逐差法处理数据,该方法的优点在于能充分利用多次测量的数据,减小随机误差。
攸英装置如图4-1所示,在二支架上设置互相平行的钢制刀刃,将待测棒放在二刀口上,在两刀刃间的中点处,挂上有刀刃的挂钩和砝码托盘,往托盘上加砝码时待测棒将被压弯,通过放在金属框上的百分表测量出棒弯曲的驰垂量。
图4-1 实验装置图
百分表的构造如图
4-2,测棒D 缩入后,指针则指出D 缩入的长度。刻度零
点的调整方法为:松开固定螺丝,旋转刻度表,可将0刻度点移至指针所指的位置,再旋紧固定螺丝即可。数据读取时,外面大圈每格代表0.01mm ,而小圈每格为1.0mm 。图4-2中小圈指针在3-4之间而外圈在31-32之间,所以读数为:3.314mm ,最后一位为估读数值。
将宽度为a 、厚度为b 的规则矩形长梁,两端自由地放在相距为L 的一对在同一水平面内的平行刀口上,在梁上两刀口的中点处(L/2处)悬挂质量为m 的砝码(如图4-3),梁受压弯曲,中点处下垂,设其驰垂量为λ。在梁的弹性限
图4-3 梁受压弯曲
度内,如不计梁本身的重量,则有
3
34E a b
m g L =λ (4-1) 式中E 为梁的弹性模量。由(4-1)式得
图4-2百分表
3
34ab
mgL
E λ= (4-2) 只要测出(4-2)式右边各有关物理量就可求出E 。(4-2)式的详细推导如下:
图4-4为梁的纵断面的一部分,在相距dx 的21A A 二点上的横断面,弯曲后成一小角度θd ,显然梁的上半部分为压缩状态,下半部为拉伸状态。而中间层尽管弯曲但长度不变。
图4-4 金属压缩拉伸示意图
设距中间层为y 、厚度为dy ,形变前长度为dx 的一段,弯曲后伸长量为yd θ,它所受拉力为dF 。根据胡克定律有
dx yd E ds dF
θ=
式中ds 表示形变层的横截面积,即ds =ady 。于是
ydy dx d Ea
dF θ
=
此力对中间层的转矩为dM 。即
dy y dx d Ea
dM 2
θ=
而整个横断面的转矩M 为
dx
d a
Eb dy y dx d Ea dM M b
b
θθ320220
12122===⎰⎰
(4-3)
若将梁的中点O 固定在O 点两侧各为
2
L
处,分别施以向上的力mg 21(如图
4-5),则梁的弯曲程度应当同图4-2所示的完全一致。
图4-5 弯曲梁受力分析图
梁上距中点O 为x 、长为dx 的一段,由弯曲而下降的d λ等于
θλd x L
d )2(
-= (4-4)
当梁平衡时,外力mg 2
1
在dx 处产生的力矩应当等于由式(4-3)求出的M ,即
dx
d a Eb x L mg θ3121)2(21=- 由此式求出d θ代入式(4-4)中并积分,求出弛重量,即
3320
2
3
4)2(6E a b
m g L dx x L Eab mg
L =-=
⎰
λ (4-5) 即3
34ab
mgL
E λ= 【实验方法与步骤】
1、将攸英(Ewing)装置放置在水平的桌面上,并调节底座旋钮,直至水平位置
2、将待测金属杆放在两支座上端的刀口上,套上金属框并使刀刃刚好在仪器两刀口的中间。
3、将百分表安置在金属框上(具体按实验室仪器的要求)。并将测棒D 压至表中的读数为2mm 左右。
4.在砝码盘上依次加砝码,共加5次,每次加砝码重为200克,百分表初始读数为0n ,依次为54321,,,,n n n n n ,并将数据记录表格中(见后面数据记录部分)。
5.按相反的次序,依次减去砝码,并读出百分表的读数并记录。
6. 用相对应的长度测量工具,分别测量梁的长度L ,梁的厚度a 和梁的宽度 b 。其中b 、a 分别取不同位置5次测量取平均值。
7.将所测量出的数据带入式(4-2),即可求出该待测梁的杨氏模量E 。为减小测量误差,除多次测量取平均值外,可用逐差法处理数据。用分组逐差法计算令
)(0n n i -=λ,3
)
()()(2514030n n n n n n n n i -+-+-=
-,此时g m 600=,所以由
(4-2)式就可以计算杨氏模量E ;并计算误差E ∆。(误差公式为:
, 其中不计砝码质量的误差)。
参考数据表格: 1、数据测量记录:
光杆干平面镜到尺子的距离L= 每个砝码的质量m= g
2、梁的厚度和宽度
0)(33n n n n a a b b L L E E i i --∆+∆+∆+∆=∆3)(5
432100
n n n n n n n n i ∆+∆+∆+∆+∆+∆=-∆