曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析11第十一章

根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk/k =
∫
∞
−∞
) ψ k( 0 ' dx
（3）
( 0) 式中ψ k ( x) =
a π k!2
k
H k (ax ) ， a =
µω ℏ
~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
xψ k( 0 ) =
1 k ( 0) { ψ + α 2 k −1
~448~
−
a2 ( k ' + k )πx a cos }0 (k ' − k ) 2 π 2 a
'
4k 'ka ( −1) k + k − 1 = ⋅ π 2 (k ' 2 − k 2 ) 2
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元 x k ' k ≠ 0 ， k ' + k 必需要是奇数。但这个规律也可以用别种 方式叙述，当 k ' + k 是奇数时
∫ dϕ
ϕ =0
=
e
32πa 4 27 *5 ae 35
⋅ห้องสมุดไป่ตู้4!⋅(
π − 2a 5 1 ) ⋅ ( − cos 3 θ ) 2π 3 3 0
（11）
=
将三种值分别代入（7） ，得 C211,100 = 0, C21−1,100 = 0
C210 ,100 =
2 7⋅ 5 ⋅a i 35 ℏ[(ω k ' − ω k ) + ] τ
Wk 'k =
2 4π 2 q 2 x ρ (ω k ' k ) ' kk 3ℏ 2 2
' 64a 2 q 2 k' k 2 = ⋅ ⋅ [( −1) k + k − 1] 2 ⋅ ρ (ω k ' k ) 2 2 2 3π ℏ ( k ' − k 2 ) 4
（4）
k ' ± k = 偶数时 Wk 'k = 0 ， k ' ± k = 奇数时
1
[ er cos θ ][
1
r
πa 3
e a ] ⋅ r 2 sin θdrd θdϕ
（9） ~452~
r π 2π e 4 −3 2 2a =∫ r e dr ⋅ ∫ sin θ cos θdθ ⋅ ∫ e i ϕ dϕ 4 8πa r θ =0 ϕ =0
同理可求
( ez ) 211,100 = ∫
ψ k ( x) =
2 kπx sin a a
（1）
根据此式计算矩阵元：
xk'k
2 a k 'πx kπx = ∫ sin ⋅ x ⋅ sin dx x = 0 a a a
=
1 a (k ' − k )πx ( k ' + k )πx x [cos − cos ]dx a ∫x =0 a a
利用不定积分公式：
256π 2 q 2 k' k2 = ⋅ ρ ( ωk ' k ) 3π 2 h 2 ( k ' 2 − k 2 ) 4
2
Wk ' k
（5）
粒子从基态 k = 1 ，跃迁到任何一个偶数态 k '
= 2n 的速率：
W2 n ,1 =
1024 qa 2 n2 ( ) ρ ( ω 2 n ,1 ) 3 πℏ ( 4n 2 − 1) 4
代入 （4）中知道 C200 ,100 = 0,W 200,100 = 0即自 1s 向2s 的跃迁不存在。再考察 (1s → 2 p ) 的 跃迁，由于 2p 有三种不同态，自 1s 跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总 和。
( ez ) 211,100 = ∫
r
∫
θ
∫[
ϕ
−
r −r ( )e 2 a sin θe i ϕ ] 8 πa 3 a
ε 0e
⋅
（12）
相应的跃迁几率（自ψ 100 态 — —ψ 210 态 ）因 ω k ' =
E2 − e 2 E −e2 = ωk = 1 = ℏ 8a ℏ 2a
~453~
量子力学题解（P454—P473）
W 210 , 100
= | C 210 , 100
|2 =
2 e2 Ε 0 a2 2 ℏ 2 [ (ω k ' − ω ) +
（10）
( ez ) 200 ,100 = ∫ [ er cos θ ][ 1
∫
3
r − 2ra ∫ [ 32πa 3 ( a ) a cos θ ]
1
e a ] ⋅ r 2 sin θdrd θdϕ
− 3r 2a
−
r
πa
=
e 32πa 4
r =∞
π
2π
∫
r =0
r4e
dr ⋅
∫
θ =0
cos 2 θ sin θdθ ⋅
1
r
（3a ）
（3b）
ψ 210 =
r −r ( ) e 2 a cos θ 32πa 3 a
1
（3c）
~450~ 这些公式后面都要用来计算几率。 从题意看来， 原子所受的微扰是个随时间变化的函 数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的） ， 因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1 公式（24）
k + 1 (0 ) ψ } 2 k +1
（4）
代入（3） ，利用波函数的正交归一化关系：
∫ψ
x
( 0) * n
( 0) ψn dx = δ mn
x k ' k = ∫ ψ ( 0' ) ⋅
−∞
∞
*
k
1 k (0 ) k + 1 ( 0) { ψ k −1 + ψ k +1 }dx α 2 2
=
1 α
~451~
t [ i ( ω ' − ω k ) t − ]t k τ
=
ε0 i ℏ[(ω k ' − ω k ) + ] τ
k
(ez ) k ' k
（7）
（前式中利用了 e
i (ω ' − ω k ) t
= 1）
其次计算偶极矩阵元与无关部分 ( ez) k 'k ，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：
k ' + k − 2k = k ' − k
必然也是奇数， 因此一维无限深势阱受光照的选择定则是： 表示初态和末态的量子数之和 （或差）应是个奇数
k ' ± k = ( 2n − 1)
( n = 0,1, 2, ⋯⋯)
因此 k , k ' 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1）
Λ
H
=
'
kk
'
=
∫∫∫ ψ
τ
−
* k'
H ' ψ k dτ
t
* ∫∫∫ψ k ' [ε 0 e τ er cos θ ]ψ k dτ
τ t τ
= ε 0e
−
∫∫∫ψ
τ
* k'
(er cos θ )ψ k dτ
（6） 表达：
= ε 0 e (ez ) k ' k
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞
（2 ）
C k 'k ( t ) =
Λ →
1 ℏi
−
∫
t
0
H k' ' k e i ( ωk −ωk ) dt
→
'
（4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
H ' = ε0 e
Λ
t τ
⋅ e r = ε 0e τ er cos θ
−
t
（5）
微扰算符 H ' 在初态ψ k （即ψ 100 ）以及末态（即 ψ 200 或ψ 21 m ） ψ k ' 之间的矩阵元是：
（解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：
Ak
'
k
=
4 e ω kk 3ℏ c
'
2
3
2
|
� r
k 'k
|
2
（1）
第一激发态是指 E2 的态 （四度简并的） ， 从第一激发态只能跃迁到基态 E 1。 关于偶极矩阵元， 应注意到：
|
2 2 2 2 � = | + | | + |z ' | | | y ' ' ' rkk xk k k k k k
k 1 δ k ' , k −1 + 2 α
k +1 δ ' 2 k , k +1
（5）
由此知道，对指定的初态 k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态 k ' 和初 态 k 的关系必需是：
k ' = k − 1, 这时 x k ' k = x k −1 , k = k ' = k + 1, 这时 x k ' k = xk +1 , k =
~449~
[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、电场沿 z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
⎧ ⎪ ε (t ) = ⎨ − 1 τ ⎪ ⎩ε 0 e
0
(t < 0) (t > 0) (τ为常数)
求时间充分长后，氢原子跃迁到 2s ，或 2p 态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k 态）的波函数是：ψ 100 ，末态（ k ' 态）的波函 数是ψ 200 或ψ 21m ，它们的显式是如下：
1s 态
ψ 100 =
1
π a3
1
e
−
r a
（1）
2s 态
ψ 200
r − = ( 2 − ) e 2a a 32πa 3
1
r
（2）
2p 态
r − 2ra ψ 211 = ( )e sin θ ⋅ e iϕ 3 a 8 πa ψ 21, −1 = r − ( )e 2 a sin θ ⋅ e − iϕ 8 πa 3 a
1 α 1 α
k 2 k +1 2
（6）
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是 1。 （2）每秒钟从基态 k = 0 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：
W10 =
4π 2 q 2 1 ( 3ℏ 2 α
1 2 ) ρ (ω10 ) 2
=
2π 2 q 2 ρ (ω10 ) 3ℏ 2 µω10
15 ⋅ 2 1 ω ] 3 2 τ
2 15 e2 Ε 0 a2τ 2 ⋅ 2 2 ω ℏ 2 [1 + ( ω k ' − ω k ) τ 2 ] 3 2 2 15 1 e a Ε 0 2 = ⋅ 2 2 2 ω 3e τ 3 ⋅ℏ 1 + ( ) =
2
τ
2
8aℏ
#
[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。
第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷 q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射 光能量密为 ρ (ω ) ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰， 可以用专门的公式（12） （§11.4，P396）
1 1 −τt i( ω C k k (t ) = i ∫ ε 0 e (ez ) k k ⋅ e ℏ 0
' '
k
' − ωk
)
dt
=
t =∞ 1 [i (ω ' − ω k ) − ]t ε0 k τ ( ez ) e dt ' kk ∫ ℏi t =o
=
t =∞ ε0 e ( ez ) ' kk 1 t=0 ℏi i (ω k ' − ω k ) − τ
r
∫
θ
∫[
ϕ
−
r −r ( ) e 2 a sin θ e −i ϕ ] 8 πa 3 a
1
[ er cos θ ][
1
r
πa 3
e a ] ⋅ r 2 sin θdrdθ dϕ
=
3r π 2π e 4 −2 2 a r e dr ⋅ sin θ cos θ d θ ⋅ e − iϕ dϕ ∫ 8πa 4 ∫ ∫ 0 ϕ =0
~447~
[2]设有一带电 q 的粒子，质量为 µ ，在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光 照射下发生跃迁，波长 λ >> a 。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1 一维无限深势阱定态波函数是： （原点取在势阱左端）
(1s → 2 s) 跃迁，即从态ψ 100 跃迁到ψ 200 的几率： ( ez ) 200 ,100 = ∫
r
∫
θ
3
r − 2ra ∫ [ 32πa 3 ( 2 − a ) a ] ϕ
1
[ er cos θ ][ 1
∞
1
e ] ⋅ r 2 sin θdrd θdϕ
（8）
−
r a
πa
=
r π 2π r − 2ra − a 3 ( 2 − ) e r d r ⋅ cos θ sin θ d θ dϕ = 0 ∫ ∫ ∫ a 32πa 3 r = 0 0 0
∫
x
x cos pxdx =
sin px cos px ⋅ x+ p p2
(2)
1 ax ( k ' − k )πx xk'k = { ' sin a ( k − k )π a + −
a2 ( k ' − k )πx cos (k ' − k) 2 π 2 a ax ( k ' + k )πx sin (k ' + k )π a
Wk 'k
4π 2 q 2 → = r / ρ (ω k /k ) 3ℏ 2 k k
→ 2
2
（1）
→
式中 rk ' k 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形， rk / k
仅有一项
x k /k
2
Wk 'k =
2 4π 2 q 2 x k /k ρ (ω k / k ) 2 3ℏ
（2）