量子力学(第十一章)

(t ) b(t )
(12)
按初始条件 a(0) 1, b(0) 0 把式代入 Schrodinger方程 0 1 a d a i L (13) dt b 1 0 b 得
a i Lb, b i L a
i (t ) H (t ) t
(2)
由于它是含时间的一次导数的方程，当体系 的初态 (0) 给定之后，原则上可以从方程求 解出以后任何时刻t的状态 (t ) 。 11.1.1 Hamilton量不含时的体系 如体系的Hamilton量不显含t (H t 0) 则体系能量为守恒量。此时， (t ) 的求解是 比较容易的。方程的解形式上可以表示成
为外电场强度，
n 0 ( En E0 ) n
利用
n x0 2
n1
可知在一级微扰近似下，从基态只能跃迁到 第一激发态。容易计算出 q t 2 2 it (1) Cn 0 ( ) dt e i 2
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1 2 2 4 iq e 2 2 2 q 所以 2 2 2 2 P ( ) e (36) 10 2 振子仍然停留在基态的概率为1 P () 。 10 可以看出，如 ，即微扰无限缓慢地
(t ) U (t ) (0) e
iH t
(0)
(3)
是描述量子态随时间演化的算 符。如采取能量表象，把 (0) 表示成
U (t ) e
iHt
(0) an n
(4) (5)
n 是包括H在内的一组守恒量完全集的共同
本征态，即
an ( n , (0))
加进来,则 P 0 ,粒子将保持在基态,即 10
不发生跃迁.与此相反,如 也保持在原来状态. 然加上(突发微扰),同样也有 P 0 ,粒子 10
0
即微扰突
11.1.3 量子跃迁理论与定态微扰论的关系 用不含时的微扰论来处理实际问题时，有 两种情况： (a) 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧， H 即人为地把H分成两部分， H 0 H ,其中 H 0 的本征值问题已有解或较容易解出，然后逐级 把H 的影响考虑进去， 以求得H的更为精确的 解。例如粒子在势场 V ( x) 的极小点（势能谷） x0 附近的振动[ 为极小点， V ( x0 )]可表示 0 1 成 ( x )( x x ) 2 V ( x) V ( x ) V

n
nk
n

n
nk
n
* k ，并积分，利用本征函数的 上式两边乘 正
交归一性，得
eiknt k H n C iCk k nk
n
(25)
(26) 其中 k n ( Ek En ) 方程(25)与(23)等价，只是表象不同而已[（25） Schrodinger H0 式即 表象的 方程]。求解(25)时， 要 用到初条件(22) 当然，对于一般的 H (t ) ，问题求解是困难 的。但如 H 很微弱（从经典力学来 H H 0 ）， 2 将随时间很缓慢地变 2 Cnk (t ) 1, (n k ) Cnk (t ) 化，体系仍有很大的概率停留在原来状态，
在弹性散射过程中，粒子从初态（动量为 pi 的本征态）跃迁到末态（动量为 p f 的本征 态），状态改变了（动量方向），但能量并 未改变（ p f pi ）。 量子态随时间的演化，遵守 Schrodinger方程 i (t ) ( H 0 H ) (t ) (23) t 用式（19）代入，得 i C (t )eiEnt C (t )eiEnt H (24)
2
(20)
经测量之后，体系从初始状态 k 跃迁到 n
态，跃迁几率为 Pnk (t ) ，而单位时间内跃迁的几 率，即跃迁速率为
d d 2 nk Pnk (t ) Cnk (t ) dt dt
(21)
于是问题归结为在给定的初条件（1）下，即
Cnk (0) nk
(22)
时如何去求解Cnk (t ) 。 应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然是 指末态不同于初态的情况。但应注意，由于能级 往往有简并，所以量子跃迁并不意味着末态能量 一定与初态能量不同。弹性散射就是一个例子。
两式相加，减，得
d d (a b) i L (a b), (a b) i L (a b) dt dt
所以
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
两式相加，减，得
iL t
i L t
a(t ) cos Lt , b(t ) i sin Lt
此即微扰论一级近似下的跃迁几率公式。此公式 成立的条件是 P ' (t ) 1, ( 对k k ) (33)
kk
即跃迁几率很小，体系有很大概率仍停留在初始 状态。因为，如不然，在求解一级近似解时，就 不能把Cnk (t ) 近似代之为 nk 。 由式（32）可以看出，跃迁几率与初态k 、 末态 k 以及微扰 H 的性质都有关。特别是，如 果 H 具有某种对称性，使 H k 'k 0 ，则 ， Pk 'k 0 即在一级微扰近似下，不能从初态 跃迁到末 态 ，或者从 态到 态的跃迁是禁戒的， k
即
cos L t (t ) i sin L t
(14)
解2 体系的能量本征态，即 x 的本征值和本 征态分别为 1 1 x 1, E E L , 2 1 (15) 1 1 x 1, E E L , 2 1 1 电子自旋初态为 (0) ，按式(7)和式 0 (5), ，t时刻自旋态为
第十一章 量子跃迁
本章所讲的主要内容
量子态随时间的演化(11.1) 突发微扰与绝热微扰(11.2) 周期微扰，有限时间内的常微扰(11.3) 能量－时间不确定关系(11.4) 光的吸收与辐射的半经典理论(11.5)
11.1 量子态随时间的演化
量子力学中，关于量子态的问题，可 分为两类： (a) 体系的可能状态的问题，即力学量的本 征态和本征值的问题。量子力学的基本假定 是：力学量的观测值即与力学量相应的算符 的本征值。通过求解算符的本征方程可以求 出它们。特别重要的是Hamilton量（不显 含时间t）的本征值问题，可求解不含时 Schrodinger方程
H E
(1)
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特 别注意，在大多数情况下，能级有简并，仅 根据能量本征值 并不能把相应的本征态完 E 全确定下来，而往往需要找出一组守恒量完 全集F（其中包括H），并要求 是它们的 共同本征态，从而把简并态完全标记清楚。 (b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学 的另一个基本假定是：体系状态随时间的演 化，遵守含时Schrodinger方程
k
k
k
例1 考虑一维谐振子，荷电 q 。设初始 (t ) 时刻处于基态 0 。设微扰 t 2 2 (35) H q xe
为参数。当 t 时， n 测得振子处于激发态 的振幅为 1 t 2 2 in 0t (1) Cn 0 () (q ) n x 0 e dt i
一级近似。按微扰论精神，在式（25）右边， (0) 令 ，由此得出一级近似 Cnk (t ) Cnk (t ) nk 解 i ' t (1) ' e k k H ' i C k k (28) kk
积分，得
C
(1) k 'k
1 t ik 'k t e H k 'k dt i 0
在此情况下 ，可以用微扰逐级近似的方法，即 含时微扰论来求解。 零级近似，即忽略H 影响，按照式（25）， (0) Ck(0) (t ) 0 即 Ck k 常数（不依赖于t）。所以 k Ck(0) (t ) Ck(0) (0) Ck k (0) 。再利用初条件 k k （22），得 (0) (27) Ck k (t ) kk
n
H n En n
(6)
（n代表一组完备的量子数），把式(4)代入式 (3)，利用式(6) ，得 (7) iEnt (t ) ane n
n
特例:如果
(0) k
(8)
即初始时刻体系处于能量本征态 k ，相应 能量为 Ek , 按式 (5)， an nk 。此时 (t ) k eiEk t (9)
2! 1 ( x0 )( x x0 )3 V 3!
0 0 0
(37)
对于小振动，保留 ( x x0 ) 项就是好的近似。 此时粒子可近似视为做简谐振动。但对于振幅 较大（能量较高）的振动，则需要考虑非简谐 3 ( x x0 ) 。我们不妨把它们视为微 ,... 项 扰，用定态微扰论来处理。 (b) 真正加上了某种外界的微扰。例如， H Stark效应，Zeeman效应等。在此过程中， 实际上是随时间t而变化的。但是人们通常仍 用不含时的微扰动论来处理。其理由如下 设 t ( t 0) (38) H (t ) H e
eB eB H s B Sx x L x (10) c 2 c eB L ( Larmor频率) 2 c
设初始时刻电子自旋态为 S z 的本征态S z 2 即（采用 S z 表象）
1 (0) 0
(11)
在t时刻电子自旋态 (t ) ？ 解1 令 a(t )
即体系将保持在原来的能量本征态。这种量子态， 称为定态。 如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本 征态, 则以后也不处于该本征态，而是若干能量 本征态的叠加，如(7)式所示，式中 an ( n , (0)) 由初态 (0) 决定(见式（5））。
例 1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀
磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子 内禀磁矩与外磁场的作用为
(t ) a e
i L t
a e
i Lt
1 i Lt i L t (e e ) 2
cos L t i sin L t
与式(14)相同
(16)
11.1.2 Hamilton量含时体系的量子跃迁的微扰论 在实际问题中，人们更感兴趣的往往不 是泛泛地讨论量子态度随时间的演化，而是想 知道在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁 几率。 设无外界作用时候，体系的Hamilton量 （不显含时间t）为 H 0 。包括 H 0 在内的一组 力学量完全集F的共同本征态记为 n （n标记 一组完备的量子数）。设体系初始时刻处于 (17) (0) k 当外界作用 H (t ) 加上以后，
(18) 并非完全集F中所有的力学量都能保持为守 恒量，因而体系不能保持在原来的的本征 态，而将变成F的各个本征态的叠加，
H H 0 H (t )
(t ) Cnk (t )e
n
iEnt
n
(19)
按照波函数的几率解释，在时刻t去测量力 学量F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t ) Cnk (t )
(29)
因此，在准到微扰一级近似下 1 t ik 'k t (0) (1) Ck 'k (t ) Ck 'k Ck 'k (t ) kk e H k 'k dt i 0 (30) 当k k （末态不同于初态）， 1 t ik 'k t Ck 'k (t ) e H k 'k dt (31) i 0 2 t i ' t 1 而 (32) Pk 'k (t ) 2 e k k H k 'k dt 0