第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
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（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中 53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参 数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t 分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值 为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜 率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零 的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
的0均值假设是否可以表示为？为什么？ （答：严格来说，随机干扰项的0均值假设是关于X的条件期望为0，线 性回归模型：中的0均值假设不可以表示为：，因为前者表示取完所的 可能的样本组合后的平均状态，而后者只是一个样本的平均值。）二者 是两个完全不同的概念。 2.5、假设已经得到关系的最小二乘估计，试回答： 假设决定把X变量的计量单位扩大10倍，这样对远回归的斜率和截距 有何影响？如果Y变量的单位扩大10倍，又会怎样？ 答：
(解：⑴， ⑵ ， ， ⑶， ⑷，自由度为8 ，解得：的95%的置信区间。 同理，，解得：为的95%的置信区间。由于不在的置信区间内，故拒 绝零假设：。 2-11.表中列出中国1978-2000年的财政收入Y和国内生产总值GDP的统 计资料。要求： 1.作出散点图（略）建立Y随X变化的一元线性回归方程，并解释斜率 的经济意义； 2.对所建立的回归方程进行检验； 3.若2001年中国GDP为105709亿元，求财政收入的预测值及预测区 间。 答：1.， 斜率的经济意义是：在1978-2000年间中国国内生产总值每增加一亿 元，财政收入平均增加0.1198亿元。 2.在5%的显著性水平下，自由度为23-2=21的t分布临界值为2.08。因此 从参数的t检验值看，截距项和斜率项都显著不为零。另外拟合优度 0.9609表明，财政收入的96%的变化可以由GDP的变化来解释，拟合情 况良好。 3.当2001年GDP为105709亿元，预测的财政收入为 556.65+0.1198*105709=13220.59（亿元）；预测区间（参考书中公式首 先算出随机扰动项的方差）： 财政收入的均值预测区间为[13220.59-2.08*425.75, 13220.59+2.08*425.75]
如果Y变量的计量单位扩大10倍，斜率和截距系数都将为原始模型 回归系数的1/10 2.10、下面数据是对X和Y的观察值得到的。 ∑Yi=1110； ∑Xi=1680； ∑XiYi=204200∑Xi2=315400； ∑Yi2=133300假 定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求： （1）b1和b2？ （2）b1和b2的标准差？ （3）r2？ （4）对B1、B2分别建立95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接 受零假设：B2=0吗？
例4．对于人均存款与人均收入之间的关系式使用美国36年的年度数 据得如下估计模型，括号内为标准差：
＝0.538 （1）的经济解释是什么？ （2）和的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如 果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？ （3）对于拟合优度你有什么看法吗？ （4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。 同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零 假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答：
本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归 函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计 推断都是建立在这些基本假设之上的。其二，参数估计量统计性质的分 析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构 成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明 OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预
第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回 归模型
一、内容提要
本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回 归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开 始，建立了回归分析的基本思想。总体回归函数是对总体变量间关系的 定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理 论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数， 并用它对总体回归函数做出统计推断。
三、教材中部分习题
2.1、为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？ 计量经济模型考察的是具有因果关系的随机变量间的具体联系方式。由 于是对基变量，意味着影响被解释变量的因素是复杂的除了解释变量的 影响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响。这样，模 型中就必须使用一个随机干扰项变量来代表所有这些在模型中无法独立 表示出来的影响因素。（或见第一章习题） 2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
财政收入的个值预测区间为[13220.59-2.08*846.13, 13220.59+2.08*846.13]
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通 最小二乘法（OLS）来自百度文库学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计法 （ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统 计推断，即进行所谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验 样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体 回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对 被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成； 第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值 的“区间检验”完成。
测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算 及其变化特征。
二、典型例题分析
例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受 过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为
（1）随机扰动项包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关 吗？ （2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下 的影响吗？请解释。 解答： （1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的 重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之 中。有些因素可能与教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相 关、年龄大小与教育水平呈负相关等。 （2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平 educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下 的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4 不满足。 例2．已知回归模型，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金 （元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项的分布未知，其他所 有假设都满足。 （1）从直观及经济角度解释和。 （2）OLS估计量和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理 由。 （3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答： （1）为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平 均薪金为，因此表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。是每单位N
变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增 加值。
（2）OLS估计量和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质 的的成立无需随机扰动项的正态分布假设。
（3）如果的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与 F检验是建立在的正态分布假设之上的。
例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改 为100元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水 平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？ 解答：
（1）为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄
的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储
蓄为负，因此符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加
而增加，因此预期的符号为正。实际的回归式中，的符号为正，与预期
的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形 造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截 距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
首先考察被解释变量度量单位变化的情形。以E*表示以百元为度量 单位的薪金，则 由此有如下新模型 或 这里，。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。
再考虑解释变量度量单位变化的情形。设N*为用月份表示的新员工 受教育的时间长度，则N*=12N，于是 或 可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 其中带“＾”者表示“估计值”。
答：错；正；错；错；错；正，正，错。 2.3、线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型
是否就不可估计？ 答：线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本
假设）有两大类：一类是关于解释变量的，解释变量是确定性变量，而 且如果是随机变量则解释变量与随机干扰项之间互不相关；一类是关于 随即干扰项的，随机误差项具有0均值和同方差；随机误差项在不同样 本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相 关；随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量 经济学模型还是可以估计的，只是不能使用普通最小二乘法进行估计。 2.4、线性回归模型
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参 数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t 分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值 为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜 率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零 的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
的0均值假设是否可以表示为？为什么？ （答：严格来说，随机干扰项的0均值假设是关于X的条件期望为0，线 性回归模型：中的0均值假设不可以表示为：，因为前者表示取完所的 可能的样本组合后的平均状态，而后者只是一个样本的平均值。）二者 是两个完全不同的概念。 2.5、假设已经得到关系的最小二乘估计，试回答： 假设决定把X变量的计量单位扩大10倍，这样对远回归的斜率和截距 有何影响？如果Y变量的单位扩大10倍，又会怎样？ 答：
(解：⑴， ⑵ ， ， ⑶， ⑷，自由度为8 ，解得：的95%的置信区间。 同理，，解得：为的95%的置信区间。由于不在的置信区间内，故拒 绝零假设：。 2-11.表中列出中国1978-2000年的财政收入Y和国内生产总值GDP的统 计资料。要求： 1.作出散点图（略）建立Y随X变化的一元线性回归方程，并解释斜率 的经济意义； 2.对所建立的回归方程进行检验； 3.若2001年中国GDP为105709亿元，求财政收入的预测值及预测区 间。 答：1.， 斜率的经济意义是：在1978-2000年间中国国内生产总值每增加一亿 元，财政收入平均增加0.1198亿元。 2.在5%的显著性水平下，自由度为23-2=21的t分布临界值为2.08。因此 从参数的t检验值看，截距项和斜率项都显著不为零。另外拟合优度 0.9609表明，财政收入的96%的变化可以由GDP的变化来解释，拟合情 况良好。 3.当2001年GDP为105709亿元，预测的财政收入为 556.65+0.1198*105709=13220.59（亿元）；预测区间（参考书中公式首 先算出随机扰动项的方差）： 财政收入的均值预测区间为[13220.59-2.08*425.75, 13220.59+2.08*425.75]
如果Y变量的计量单位扩大10倍，斜率和截距系数都将为原始模型 回归系数的1/10 2.10、下面数据是对X和Y的观察值得到的。 ∑Yi=1110； ∑Xi=1680； ∑XiYi=204200∑Xi2=315400； ∑Yi2=133300假 定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求： （1）b1和b2？ （2）b1和b2的标准差？ （3）r2？ （4）对B1、B2分别建立95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接 受零假设：B2=0吗？
例4．对于人均存款与人均收入之间的关系式使用美国36年的年度数 据得如下估计模型，括号内为标准差：
＝0.538 （1）的经济解释是什么？ （2）和的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如 果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？ （3）对于拟合优度你有什么看法吗？ （4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。 同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零 假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答：
本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归 函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计 推断都是建立在这些基本假设之上的。其二，参数估计量统计性质的分 析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构 成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明 OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预
第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回 归模型
一、内容提要
本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回 归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开 始，建立了回归分析的基本思想。总体回归函数是对总体变量间关系的 定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理 论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数， 并用它对总体回归函数做出统计推断。
三、教材中部分习题
2.1、为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？ 计量经济模型考察的是具有因果关系的随机变量间的具体联系方式。由 于是对基变量，意味着影响被解释变量的因素是复杂的除了解释变量的 影响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响。这样，模 型中就必须使用一个随机干扰项变量来代表所有这些在模型中无法独立 表示出来的影响因素。（或见第一章习题） 2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
财政收入的个值预测区间为[13220.59-2.08*846.13, 13220.59+2.08*846.13]
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通 最小二乘法（OLS）来自百度文库学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计法 （ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统 计推断，即进行所谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验 样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体 回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对 被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成； 第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值 的“区间检验”完成。
测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算 及其变化特征。
二、典型例题分析
例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受 过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为
（1）随机扰动项包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关 吗？ （2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下 的影响吗？请解释。 解答： （1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的 重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之 中。有些因素可能与教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相 关、年龄大小与教育水平呈负相关等。 （2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平 educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下 的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4 不满足。 例2．已知回归模型，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金 （元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项的分布未知，其他所 有假设都满足。 （1）从直观及经济角度解释和。 （2）OLS估计量和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理 由。 （3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答： （1）为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平 均薪金为，因此表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。是每单位N
变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增 加值。
（2）OLS估计量和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质 的的成立无需随机扰动项的正态分布假设。
（3）如果的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与 F检验是建立在的正态分布假设之上的。
例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改 为100元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水 平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？ 解答：
（1）为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄
的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储
蓄为负，因此符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加
而增加，因此预期的符号为正。实际的回归式中，的符号为正，与预期
的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形 造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截 距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
首先考察被解释变量度量单位变化的情形。以E*表示以百元为度量 单位的薪金，则 由此有如下新模型 或 这里，。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。
再考虑解释变量度量单位变化的情形。设N*为用月份表示的新员工 受教育的时间长度，则N*=12N，于是 或 可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 其中带“＾”者表示“估计值”。
答：错；正；错；错；错；正，正，错。 2.3、线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型
是否就不可估计？ 答：线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本
假设）有两大类：一类是关于解释变量的，解释变量是确定性变量，而 且如果是随机变量则解释变量与随机干扰项之间互不相关；一类是关于 随即干扰项的，随机误差项具有0均值和同方差；随机误差项在不同样 本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相 关；随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量 经济学模型还是可以估计的，只是不能使用普通最小二乘法进行估计。 2.4、线性回归模型